辽阳市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为（ ） A．0
B．1
C．﹣1
D．2
2． 对于区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f（x）﹣g
2
（x）|≤1，则称函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m（x）=x﹣3x+4
与n（x）=2x﹣3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（ ）
A．[3，4] B．[2，4] C．[1，4] D．[2，3]
3． 如图，棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F 是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ ）
13322 B． C. D． 244224． 已知角的终边经过点(sin15,cos15)，则cos的值为（ ）
A．A．
31313 B． C. D．0 42424 个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（ ）
D．
5． 将函数f=sin2x的图象向右平移（x）A．
B．
C．
6． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A．
B．
C．
）=（ ）
D．
+x）=f（﹣x），则f（
7． 若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（A．2或0
B．0
C．﹣2或0 D．﹣2或2
8． 已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（ ） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，
] C．（﹣∞，
] D．（﹣∞，
]
9． 下列给出的几个关系中：①a,b；②④0,正确的有（ ）个
a,ba,b；③a,bb,a；
A.个 B.个 C.个 D.个
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10．设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数
y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A．p为假
B．￢q为真 C．p∨q为真 D．p∧q为假
=1（a是常数）则下列结论正确的是（ ）
B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线
11．若方程C：x2+
A．∀a∈R+，方程C表示椭圆
C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆 D．∃a∈R，方程C表示抛物线
12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（ ） A．16
B．6
C．4
D．8
二、填空题
2
13．M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，已知点F是抛物线y=4x的焦点，则△MNF
的重心到准线距离为 ． 14．已知a=
15．设f(x)（
cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是 ．
x，在区间[0,3]上任取一个实数x0，曲线f(x)在点x0,f(x0)处的切线斜率为k，则随机ex事件“k0”的概率为_________. 16．已知点M（x，y）满足是 ． 17．设函数
，其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=ax有三个不同，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值
的实数根，则实数a的取值范围是 ．
18．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．
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三、解答题
19．求函数f（x）=
20．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
﹣4x+4在[0，3]上的最大值与最小值．
（1）当θ=
时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定θ 的值，使得∠MPN取得最大值．
21．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2点
（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论． （Ⅱ）证明：AM⊥PM．
，M为BC的中
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22．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
（1）画出散点图； （2）求线性回归方程；
23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点． （1）求证：AC⊥BC1； （ 2）求证：AC1∥平面CDB1．
（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．
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24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，CP3.
16，求CE的长； 5（2）若连接OP并延长交圆O于A,B两点，CDOP于D，求CD的长.
（1）若PE交圆O于点F，EF
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辽阳市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
，∴1+x=
，解得x=0
【解析】解：由题意=故选A
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
2． 【答案】D
2
【解析】解：∵m（x）=x﹣3x+4与n（x）=2x﹣3，
22
∴m（x）﹣n（x）=（x﹣3x+4）﹣（2x﹣3）=x﹣5x+7． 2
令﹣1≤x﹣5x+7≤1，
，
则有∴2≤x≤3． 故答案为D． 础题．
3． 【答案】B 【解析】
【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组，本题的计算量不大，新定义也比较容易理解，属于基
试题分析：在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD12，设AFx，则2x1x2，2322，即菱形BED1F的边长为2，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边44433为，高为的平行四边形，其面积为，故选B. 44解得x考点：平面图形的投影及其作法. 4． 【答案】B 【解析】
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考
点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义. 5． 【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移考察选项不难发现： 当x=∴（
时，sin（2×
﹣
）=0；
个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣
）]=sin（2x﹣
）；
，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
6． 【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
．
．
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线， 所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2． 又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a， 所以|PF2|=2a﹣c． 所以2a﹣c=故选D．
，所以e=
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
7． 【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ）， ∵f（
+x）=f（﹣x），
=
，
可知函数的对称轴为x=
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根据三角函数的性质可知， 当x=∴f（
时，函数取得最大值或者最小值． ）=2或﹣2
故选D．
8． 【答案】D
【解析】解：x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立， 所以（x+y）（+）=10+当且仅当
≥10
=16，
；
时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m
]；
故m的取值范围是（﹣故选D．
9． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：a,bb,a和0是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 10．【答案】C
【解析】解：函数y=sin（2x+当x=0时，y=sin故命题p为假命题；
函数y=|2﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
x
）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，
=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，
故命题q为假命题； 则￢q为真命题； p∨q为假命题； p∧q为假命题， 故只有C判断错误， 故选：C
11．【答案】 B
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【解析】解：∵当a=1时，方程C：
+
22
即x+y=1，表示单位圆
∴∃a∈R，使方程C不表示椭圆．故A项不正确； ∵当a＜0时，方程C：
表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确 ∵不论a取何值，方程C：
中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确 综上所述，可得B为正确答案 故选：B
12．【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC=∴S△ABC=absinC=故选：D．
=8．
=，
二、填空题
13．【答案】
．
2
【解析】解：∵F是抛物线y=4x的焦点， ∴F（1，0），准线方程x=﹣1， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6， 解得x1+x2=4，
∴△MNF的重心的横坐标为， ∴△MNF的重心到准线距离为． 故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
14．【答案】 240 ．
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【解析】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2， •2r•x12﹣3r，
•24=240，
2626
则二项式（x﹣）=（x+）展开始的通项公式为Tr+1=
2
6
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x﹣）展开式中的常数项是故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15．【答案】
3 5【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
kf(x0)1x02k0，由得，，∴随机事件“”的概率为． f(x)0x1003ex016．【答案】 4 ．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12， 此时：3a+4b=12，即+=1， ∴+=（+）（+）=2+当且仅当3a=4b时“=”成立， 故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
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+≥2+2=4，
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17．【答案】 （﹣1，﹣]∪[，） ．
【解析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2． 当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．
当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x． 当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．
当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2． 当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3． 设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），
坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图： 2个不同的交点， 则OA的斜率k=
当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有
，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，
或
，
故满足条件的斜率k的取值范围是故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）
【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．
18．【答案】乙 ，丙
【解析】【解析】
丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得
三、解答题
19．【答案】
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【解析】解：∵∵x∈[0，3]，∴x=2，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x 0 （0，2） 2 （2，3） f′（x） ﹣ 单调递减 0 极小值 + 单调递增 f（x） 4 3 1 2
，∴f′（x）=x﹣4，
2
由f′（x）=x﹣4=0，得x=2，或x=﹣2，
由上表可知， 当x=0时，f（x）max=f（0）=4， 当x=2时，
．
20．【答案】
【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ， 从而当
时，PQ=50﹣50cos
=75．
即点P距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ． 又PQ=50﹣50cosθ，所以tan
从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）=
，tan
．
=．
令g（θ）=则
．θ∈（0，π）
，θ∈（0，π）． ．
时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得当数．
时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x
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所以当θ=因为
时，g（θ）有极大值，也是最大值．
．所以
．
从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值． 即当
时，∠MPN取得最大值．
【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP； 证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形， 所以CM平行且相等于DN， 所以四边形MCNA为矩形，
所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP， 所以CN∥平面AMP．
（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，
因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2所以PE⊥平面ABCD，CM=所以PE⊥AM， 在△AME中，AE=
222
所以AE=AM+ME，
，M为BC的中点
， =3，ME=
=
，AM=
=
，
所以AM⊥ME， 所以AM⊥平面PME 所以AM⊥PM．
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【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．
22．【答案】
【解析】解：（1）
（2）
设回归方程为=bx+a 则b=
﹣5
/
﹣5
=1380﹣5×5×50/145﹣5×52=6.5
故回归方程为=6.5x+17.5
（3）当x=7时， =6.5×7+17.5=63，
所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）． 这是解答正确的主要环节．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AC…
∵AC=3，BC=4，AB=5，
222
∴AB=AC+BC，∴AC⊥CB …
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，
又C1C∩CB=C，
∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，
∴AC⊥BC1…
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（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形， ∴E为C1B的中点…
又D为AB中点，∴AC1∥DE… DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1…
【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．
24．【答案】（1）CE4；（2）CD【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP∽EFC，由相似三角形性质知EF:CECE:EP,可得CE4；（2）由切割线定理可得CPBP(4BP)，求出BP,OP,再由CDOPOCCP,求出CD的值. 1 试题解析：
（1）因为CP是圆O的切线，CE是圆O的直径，所以CPCE，CFE90，所以ECP∽EFC,
0613. 132设CEx，EP所以x2x29，又因为ECP∽EFC，所以EF:CECE:EP，
162x9，解得x4. 5考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.
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