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最新七年级数学上册辅导讲义

来源：易榕旅网

最新七年级数学上册培优辅导讲义

第1讲与有理数有关的概念

考点·方法·破译

1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.

3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.

经典·考题·赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”

解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】

01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）

A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )

A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨

03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京

时间15：00，纽约时问是_ ___

.22

【例２】在－，π，0，0.0333这四个数中有理数的个数（ )

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

正整数正有理数正分数【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0；

负整数负有理数负份数正整数整数0负整数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，（2）按整数、分数分类，有理数正分数分数负分数22

因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－

7是分数，0.0333是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．

. 2

【变式题组】

01．在7，0，15，－，－301，31.25，－，100，1，－3 001中，负分数为，

整数为，正整数 .

1213

02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－，，－，0.1，－5.32，123,

9158

2.333

11111

【例３】（宁夏）有一列数为－1，，－，，－，，…，找规律到第2007个数是 .

23456【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归

纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以1

第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－.

2007

【变式题组】

01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5

＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为__ __ .

【例４】（2008年河北张家口）若1＋的相反数是－3，则m的相反数是____.

2【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反

数，本题＝2,m＝4，则m的相反数－4。

2【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )

A．5 B． C．－5 D．－

02．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b＋cd＝______

03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为( )

A．－ 1 ,2，0 B． 0，－2，1 C．－2，0，1 D． 2，1，0

【例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|b|＞a，则a,b、－a,－b的大小顺序是( ) A． b＜－a＜a＜－b B． –a＜b＜a＜－b C． –b＜a＜－a＜b D． –a＜a＜－b＜b 【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离,

a(a0)

即|a|,用式子表示为|a|＝0(a0).本题注意数形结合思想，画一条数轴

a(a0)

标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A．

【变式题组】

01．推理①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若 |a|≠|b|，则a≠b，其中正确的个数为（）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 |a||b||c|

02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则＋＋＝ .

abc

03．a、b、c为不等于O的有理数，则＋＋的值可能是____.

|a||b||c|a+b

【例６】（江西课改）已知|a－4|＋|b－8|＝0，则的值.

ab【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a－4|≥0，|b－8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.

解：因为|a－4|≥0，|b－8|≥0，又|a－4|＋|b－8|＝0，∴|a－4|＝0，|b－8|＝0a+b123

即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故＝＝

ab328

【变式题组】

01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C． 02．（毕节）若|m－3|＋|n＋2|＝0，则m＋2n的值为( )

A．－4 B．－1 C． 0 D． 4

03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a－b|＝b－a，求a和b的值

【例７】（第18届迎春杯）已知(m＋n)＋|m|＝m，且|2m－n－2|＝0．求mn的值．

【解法指导】本例的关键是通过分析(m＋n)＋|m|的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问

题转化为(m＋n)＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径.

222

解：∵(m＋n)≥0，|m|≥O ∴(m＋n)＋|m|≥0，而(m＋n)＋|m|＝m

∴ m≥0,∴(m＋n)＋m＝m，即(m＋n)＝0

∴m＋n＝O ① 又∵|2m－n－2|＝0 ∴2m－n－2＝0 ②

224

由①②得m＝，n＝－，∴ mn＝－

339

【变式题组】 2

01．已知(a＋b)＋|b＋5|＝b＋5且|2a－b–1|＝0，求a－b． 02．（第16届迎春杯）已知y＝|x－a|＋|x＋19|＋|x－a－96|，如果19＜a＜96．a≤x≤96,

求y的最大值.

演练巩固·反馈提高

111111

01．观察下列有规律的数,,,,,…根据其规律可知第9个数是( )

2612203042

1111A． B． C． D．

56729011002．（芜湖）－6的绝对值是( )

A． 6 B．－6 C． D．－

.22

03．在－,π,8.0.3四个数中，有理数的个数为( )

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 04．若一个数的相反数为a＋b，则这个数是( )

A． a－b B． b－a C． –a＋b D． –a－b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )

A． 0和6 B． 0和－6 C． 3和－3 D． 0和3 06．若－a不是负数，则a( )

A．是正数 B．不是负数 C．是负数 D．不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a＝b,则|a|＝|b| ②若a＝－b,则|a|＝|b|③若|a| ＝|b|，则a＝－b ④若|a|＝|b|,则a＝b

A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③

08．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a、b，－a，|b|的大小关系正确的是( )

A． |b|＞a＞－a＞b B． |b| ＞b＞a＞－a C． a＞|b|＞b＞－a D． a＞|b|＞－a＞b

09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.

10．已知|x＋2|＋|y＋2|＝0，则xy＝__ __.

|a||b||abc||c|

11．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，求＋＋＋=

ababcc

12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、的形式，试求a、

ab的值.

13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－c．

14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－1|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.

15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．

回答下列问题:

⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；

⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝； ⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是．

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01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多9能盖住的整数点的个数是( )

A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 2001 02．（第18届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc＜0;②|a－b|＋|b－c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正确的结论有( )

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

abcabc

03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么＋＋ - 的所有可能

|a||b||c||abc|的值为（）

A．－1 B． 1或－1 C． 2或－2 D． 0或－2 04．已知|m|＝－m，化简|m－1 |－|m－2|所得结果( )

A．－1 B． 1 C． 2m －3 D． 3－ 2m

05．如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( )

A． 30 B． 0 C． 15 D．一个与p有关的代数式 06．|x＋1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为 .

07．若a＞0，b＜0，使|x－a|＋|x－b|＝a－b成立的x取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m，n)

共有组 |m||n||p|2mnp

09．若非零有理数m、n、p满足＋＋＝1．则＝ .

mnp|3mnp|10．（19届希望杯试题）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|的最小值.

11．已知(|x＋1|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋1|）＝36，求x＋2y＋3z的最大值和最小值.

12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2 个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.

13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.

第02讲有理数的加减法

考点·方法·破译

1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.

2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算. 3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题. 4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.

经典·考题·赏析

【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）

A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．

【变式题组】

01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，

这一天延安市的最低气温比西安低（）

A．8℃ B．－8℃ C．6℃ D．2℃

02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为

__________ 03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为

__________

【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）

【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.

解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85

【变式题组】 01．（－2.5）＋（－3

131）＋（－1）＋（－1） 244

02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）

03．0.125＋3

【例３】计算

112＋（－3）＋11＋（－0.25） 4831111223341

20082009【解法指导】依

111进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.

n(n1)nn111111解：原式＝(1)()()2233411111 ＝12233411() 200820091412181161164321112008 ＝1＝ 2008200920092009【变式题组】

01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）

02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为

11的长方形，接着把面积为的长22方形等分成两个面积为

111的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，44811111111＝248163264128256如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算

__________.

【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（）

A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－b C．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a 【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.

解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是异号两数之和又a＋b＜0，∴a、b中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b | 将a、b、－a、－b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b＞a

【变式题组】

ab0-b01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）

02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）

03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小【例５】4

-a238－（－33）－（－1.6）－（－21） 51111【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数

变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.

解：4

238238－（－33）－（－1.6）－（－21）＝4＋33＋1.6＋21 511115111138＋21）＝6＋55＝61 1111 ＝4.4＋1.6＋（33【变式题组】

01．()()()()(1)

02．4

231256131231－（＋3.85）－（－3）＋（－3.15） 448

03．178－87.21－（－43

219）＋153－12.79 2121

【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.

【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证. 解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)

⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.

⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169

【变式题组】 01．(杭州)观察下列等式1－

1128327464＝，2－＝，3－＝，4－＝…依你发225510101717现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母

的和是多少？

02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的

自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.

【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求

112123123＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋2334445554124849）＋ … ＋（＋＋…＋＋） 550505050【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.

解：设S＝

112123124849＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋） 23344450505050则有S＝

121321494821＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋） 233444505050509

将原式的和倒序再相加得 2S＝

1112211233211＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋ … ＋（＋2233334444445024849494821＋…＋＋＋＋＋…＋＋） 50505050505050即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝

49(491)1225＝1225∴S＝

22【变式题组】

2345678910

01．计算2－2－2－2－2－2－2－2－2＋2

02．（第8届希望杯试题）计算（1－

11111111－－…－（＋＋＋…＋）＋）23200323420032004－（1－

1111111－－…－）（＋＋＋…＋） 2320042342003

演练巩固·反馈提高

01．m是有理数，则m＋|m|（）

A．可能是负数 B．不可能是负数 C．必是正数 D．可能是正数，也可能是负数 02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）

A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）

A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）

A．两数一定都是正数 B．两数都不为0 C．至少有一个为负数 D．至少有一个为正数 05．下列等式一定成立的是（）

A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）

A．－4℃ B．4℃ C．－3℃ D．－5℃ 07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）

A．－a B．0 C．2a D．－2a

08．设x是不等于0的有理数，则

|x|x||值为（） 2xA．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________

10．用含绝对值的式子表示下列各式： ⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝

__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________ ⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________ 11．计算下列各题：

⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25

⑶－0.5－3

12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99

13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？

14．将1997减去它的

11＋2.75－7 42 ⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－

23| 101111，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的……以此类23451，最后的得数是多少？ 1997推，直到最后减去余下的

15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如＋

13121131来表示，用＋＋表示15547287等等.现有90个埃及分数：

111111，，，，…，，你能从中挑出10个，加上正、2345909111

负号，使它们的和等于－1吗？

培优升级·奥赛检测

01．（第16届希望杯邀请赛试题）

12341415等于（）

24682830

C．

A．

1 4

B．1 41 2

D．1 202．自然数a、b、c、d满足

11111111＋＋＋＝1，则＋＋＋等于（） 22562234cdcdabab3 16

C．

A．

18 B．

7 32 D．

15 6403．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋

b＋c＋d值是（） A．30 B．32 C．34 D．36 04．（第7届希望杯试题）若a＝

199519951996199619971997，b＝，c＝，则a、b、c

199619961997199719981998C．c＜b＜a

D．a＜c＜b

大小关系是（）

A．a＜b＜c B．b＜c＜a 05．(1111)(1)(1)132435(111)(1)的值得整数部分为

1998200019992001（）

A．1 B．2 C．3 D．4

20042003

06．(－2)＋3×(－2)的值为（）

2003200320042004

A．－2 B．2 C．－2 D．2

2004

07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m＋1，则(4m＋1)＝__________ 08．

1121231259＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋）＝__________ 2334446060601919197676＝__________

767676191912

09．

10．1＋2－2－2－2－2－2－2－2－2＋2＝__________

200120022003

11．求3×7×13所得数的末位数字为__________

12．已知(a＋b)＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求ab

13．计算(

11111－1)(－1) (－1) … (－1) (－1)

10011998199719961000

3333333333

14．请你从下表归纳出1＋2＋3＋4＋…＋n的公式并计算出1＋2＋3＋4＋…＋100的

值.

1312345

23246810

考点·方法·破译

334353346912158121620510152025第03讲有理数的乘除、乘方

1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.

2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.

3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.

4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.

5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.

经典·考题·赏析

【例１】计算⑴

111111() ⑵ ⑶()() ⑷25000

2424241937 ⑸()()(1)()

【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.

357613

解：⑴

1111111111()() ⑵() 242482424812351411241 ⑷250000 8371031)

56973⑶()()()⑸()()(1)()(【变式题组】

76193701．⑴(5)(6) ⑵()1 ⑶(8)(3.76)(0.125)

⑷(3)(1)2(6)0(2) ⑸12(2 2．(9

4．(5)323(6)3

【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）

A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0

C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大

【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.

解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．

【变式题组】

01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）

A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0

02．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|_________|b|. 03．(山东烟台)如果a＋b＜0，12141111111) 42612241111)50 3．(2345)() 252345131313b0，则下列结论成立的是（） a14

A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0

04．(广州)下列命题正确的是（）

A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0 C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算

⑴(72)(18) ⑵1(2) ⑶(1313)() ⑷0(7) 1025【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再

确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.

解：⑴(72)(18)72184 ⑵1(2)1()1()1373373 7⑶(131255)()()() ⑷0(7)0 10251036【变式题组】

01．⑴(32)(8) ⑵2

02．⑴293 03．

11113(1) ⑶0(2) ⑷()(1) 36378131153 ⑵()(3)(1)3 ⑶0() 352435113()(10.2)(3) 245

【例４】（茂名）若实数a、b满足

abab＝___________. 0，则abab【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结

果.

ab2(a0,b0)abab解：当ab＞0，；当ab＜0，0，∴ab＜0，从而

ab2(a0,b0)abab＝－1.

【变式题组】

01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）

A．正数 B．0 C．负数 D．非负数

02．若A．b都是非零有理数，那么

abab的值是多少？ abab03．如果

xxyy20，试比较x与xy的大小. y2008【例５】已知x(2),y1⑴求xy23x3的值； ⑵求2008的值.

y【解法指导】an表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 解：∵x(2),y1 ⑴当x2,y1时，xy当x2,y1时，xy200822320082(1)20082

(2)(1)20082

x323x3(2)3⑵当x2,y1时，20088,x2,y1时，20088 20082008y(1)y(1)【变式题组】

01．（北京）若mn(m2)20，则m的值是___________.

02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求(x)y的值，这里n是正整数.

【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（）

6677

A．0.135×10 B．1.35×10 C．0.135×10 D．1.35×10 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．

【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（）

5543

A．1.03×10 B．0.103×10 C．10.3×10 D．103×10 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数

法表示正确的是（）

5647

A．25.3×10亩 B．2.53×10亩 C．253×10亩 D．2.53×10亩【例７】（上海竞赛）

nnn1222k2992222 21100500022005000k100k50009999005000【解法指导】找出k100k5000的通项公式＝(k50)50

22216

1222k2992原式＝ 22222222(150)50(250)50(k50)50(9950)501299222982][] ＝[(150)2502(9950)2502(250)2502(9850)2502492512502[] ＝222+1＝99 222222(4950)50(5150)50(5050)5049个【变式题组】 1.

3333+++=( )

2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006A．

3311 B． C． D． 100310043341000111111111.求25811204111016402．（第10届希望杯试题）已知

11111111的值. 2581120411101640

演练巩固·反馈提高

01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）

A．互为相反数 B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数 C．都是负数 D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（）

A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（）

A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0 05．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式mcdab的值m为（）A．－3 B．1 C．±3 D．－3或1

06．若a＞1，则a的取值范围（） aA．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞1 07．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④a1，b其中能判断a、b互为相反数的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 08．若ab≠0，则

ab的取值不可能为（） abA．0 B．1 C．2 D．－2 09．(2)(2)的值为（）

A．－2 B．(－2) C．0 D．－2

10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正

确的是（）

7654

A．2.89×10 B．2.89×10 C．2.89×10 D．2.89×10 11．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________. 12．(1)2n121

1110(1)2n(1)2n1（n为自然数）＝___________.

xy2，试比较x与xy的大小. 13．如果xyyabcabc14．若a、b、c为有理数且abc1，求的值.

abc

15．若a、b、c均为整数，且abca1.求accbba的值.

培优升级·奥赛检测

01．已知有理数x、y、z两两不相等，则

xyyzzx,,中负数的个数是（） yzzxxyA．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个 02．计算211,213,217,2115,2131归纳各计算结果中的个位

数字规律，猜测22010123451的个位数字是（）

A．1 B．3 C．7 D．5

03．已知abcde＜0，下列判断正确的是（）

A．abcde＜0 B．abcde＜0 C．abcde＜0 D．abcde＜0 04．若有理数x、y使得xy,xy,xy,2

2345x这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（） yA．113 B．0 C． D．

22224816326405．若A＝(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)，则A－1996的末位数字

是（）

A．0 B．1 C．7 D．9 06．如果(ab)20011,(ab)20021，则a2003b2003的值是（）

A．2 B．1 C．0 D．－1 07．已知a22,b33,c55,d66，则a、b、c、d大小关系是（）

A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c 08．已知a、b、c都不等于0，且

55443322abcabc2005的最大值为m，最小值为n，则(mn)abcabc＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘

积的总和是___________.

11155,3,4.25,5.752,2.25,,4 第一组：第二组：第三组：33151210．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果

得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？

11．（湖北省竞赛试题）观察下列规律排成一列数：，，，，，，，，，

1112211322311423324122451，，，，，，，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)1543216＝

1时，求m的值和这m个数的积. 2001 20

12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：,,1,2,4,8,16,32,64填入

方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.

13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且

64 x 1142111111A(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233mm 111111B(1)(1)(1)(1)(1)(1).

2233nn证明：⑴Am1n11,B; ⑵AB，求m、n的值. 2m2n26

第04讲整式

考点·方法·破译

1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.

2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.

4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.

经典·考题·赏析

【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数. (1)𝑥+1 (2)𝑥 (3)𝜋𝑟2 (4)−2𝑎2𝑏

【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，π是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.

解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算； ⑵不是，因为代数式是与x的商；

⑶是，它的系数为π，次数为2； ⑷是，它的系数为【变式题组】

01．判断下列代数式是否是单项式

(1)𝑎 (2)− (3)

1+𝑥2

3，次数为3. 2 (4) (5)𝑥𝑦 (6)

𝜋

𝑥2𝜋𝑥

02．说出下列单项式的系数与次数

(1)−𝑥2𝑦 (2)𝑚𝑛 (3)5𝑎2 (4)−𝑎𝑏2𝑐

32【例２】如果2𝑥𝑛𝑦4与𝑚2𝑥2𝑦|𝑚−𝑛|都是关于x、y的六次单项式且系数相等，求m、n的值.

【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别

的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.

解：由题意得𝑛+4=6,2+|𝑚−𝑛|=6,2=𝑚2

∴𝑚=−2,𝑛=2 【变式题组】

01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为

32，求这个单项式. 02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________. 【例３】已知多项式−5𝑥2𝑦2+3𝑥4𝑦3−𝑥𝑦+1 ⑴这个多项式是几次几项式？ ⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？

【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.

解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是3𝑥4𝑦3,二次项系数为－1，常数项是1. 【变式题组】

01．指出下列多项式的项和次数

⑴𝑎3−𝑎2𝑏+𝑎𝑏2−𝑏3 (2)3𝑛4−2𝑛2+1 02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项

⑴𝑥3+𝑥2−𝑥−2 (2)−4𝑥3−𝑥2+𝑥−4

【例４】多项式7𝑥𝑚+𝑘𝑥2−(3𝑛+1)𝑥+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.

解：因为7𝑥𝑚+𝑘𝑥2−(3𝑛+1)𝑥+5是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为7𝑥3,一次项为－7x，常数项为5，又多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.

【变式题组】

01．多项式3𝑥|𝑚|𝑦2+(𝑚+2)𝑥2𝑦−1是四次三项式，则m的值为（）

A．2 B．－2 C．±2 D．±1

02．已知关于x、y的多项式𝑎𝑥2+2𝑏𝑥𝑦+𝑥2−𝑥−2𝑥𝑦+𝑦不含二次项，求5a－8b的值.

03．已知多项式−𝑥2𝑦𝑚+2+𝑥𝑦2−𝑥3+6是六次四项式，单项式𝑥3𝑛𝑦5−𝑚𝑧的次数与这个

多项式的次数相同，求n的值.

【例５】已知代数式3𝑥2−2𝑥+6的值是8,求𝑥2−𝑥+1的值.

【解法指导】由3𝑥2−2𝑥+6=8，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.

解：由3𝑥2−2𝑥+6=8得由3𝑥2−2𝑥=2

𝑥2−𝑥+1=（3𝑥2−2𝑥+2)=×(2+2)=2

【变式题组】

01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）

A．28 B．－28 C．32 D．－32 02．（同山）若𝑎2+𝑎=0,则2𝑎2+2𝑎+2008的值为_______________. 03．（潍坊）代数式3𝑥2−4𝑥+6的值为9,则𝑥2−3𝑥+6的值为______________.

【例６】证明代数式16+𝑚−{8𝑚−[𝑚−9−(3−6𝑚)]}的值与m的取值无关.

【解法指导】证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可. 证明：原式＝16+m−8m+[m−9−(3−6m)]=16+m−8m+m−9−3+6m=4

∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关. 【变式题组】

01．已知𝐴=2𝑥2+3𝑎𝑥−2𝑥−1,𝐵=−𝑥2+𝑎𝑥−1,且3𝐴+6𝐵的值与x无关，求a的值. 02．若代数式(𝑥2+𝑎𝑥−2𝑦+7)−(𝑏𝑥2−2𝑥+9𝑦−1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值.

【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）

A．4 B．12 C．15 D．25

【解法指导】首先写出符合题意的单项式𝑎𝑥𝑏𝑦𝑐𝑧,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.

解：𝑎𝑥𝑏𝑦𝑐𝑧为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．

【变式题组】 01．已知m、n是自然数，𝑎𝑚−3𝑏2𝑐−7𝑎2𝑏𝑛−3𝑐4+12𝑎𝑚+1𝑏𝑛−1𝑐是八次三项式，求m、n值.

02．整数n＝___________时，多项式5𝑥𝑛+2−2𝑥2−𝑛+2是三次三项式.

演练巩固·反馈提高

01．下列说法正确的是（） A．

𝑥−𝑦2

是单项式 B．3𝑥2𝑦3𝑧的次数为5 C．单项式𝑎𝑏2系数为0 D．𝑥4−1是四次二项式

02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个

三位数是（） A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b 03．若多项式2y2+3x的值为1，则多项式4𝑦2+6𝑥−9的值是（）

A．2 B．17 C．－7 D．7

04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m

元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）

A．(5𝑛+5𝑚)元 B．(5𝑛−5𝑚)元 C．(1−5𝑚)元 D．(5𝑛−𝑚)元 05．若多项式𝑘(𝑘−1)𝑥2−𝑘𝑥+𝑥−3是关于x的一次多项式，则k的值是（）

A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定 06．若（1−𝑛2)𝑥𝑛𝑦3是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________. 07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_____个座位. 08．若3𝑎𝑚𝑏3+4𝑎𝑛+1𝑏𝑚+2=7𝑎𝑥+1𝑏𝑦,则代数式xy+mn值为________.

09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________. 10．(河北)有一串单项式𝑥,−2𝑥2,3𝑥3,−4𝑥4,⋯,−10𝑥10,⋯ (1)请你写出第100个单项式； ⑵请你写出第n个单项式.

11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.

12．（天津）已知x＝3时多项式𝑎𝑥3+𝑏𝑥+5的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？

13．若关于x、y的多项式2x2y−3x3y4+(2a−3)x3y5与多项式−𝑥2𝑏𝑦4+3𝑥2𝑦−1的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.

14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.

培优升级·奥赛检测

01．（扬州）有一列数𝑎1、𝑎2、𝑎3⋯𝑎𝑛,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若𝑎1=2,则𝑎2007为（）

A．2007 B．2 C．2 D．－1

02．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即a∗b=

a+b2

,则下列等式

中对于任意实数a、b、c都成立的是（）

①𝑎+(𝑏∗𝑐)=(𝑎+𝑏)∗(𝑎+𝑐) ②𝑎∗(𝑏+𝑐)=(𝑎+𝑏)∗𝑐

③𝑎∗(𝑏+𝑐)=(𝑎∗𝑏)+(𝑎∗𝑐) ④(𝑎∗𝑏)+𝑐=2+(𝑏∗2𝑐)

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 03．已知−1<𝑏<0,0<𝑎<1,那么在代数式𝑎−𝑏,𝑎+𝑏,𝑎+𝑏2,𝑎2+𝑏中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）

A．𝑎−𝑏 B．𝑎+𝑏 C．𝑎+𝑏2 D．𝑎2+𝑏

04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（）

A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定 05．（广安）已知4𝑚=𝑎,4𝑛=𝑏,则42𝑚+𝑛−1=_____________.

06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.

07．已知𝑎−𝑏=2004,𝑏−𝑐=2005,𝑐−𝑑=2007.则

(𝑎−𝑐)(𝑏−𝑑)

𝑎−𝑑

𝑎

＝_____________.

08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，|a+b|+|c−a|+|b−c|化简后的结果是

______________.

09．已知−𝑚+2𝑛=5,则5(𝑚−2𝑛)2+6𝑛=3𝑚−60＝______________. 10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均

数为P，若a＞b＞c，则M与P大小关系______________.

11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝________________． 12．（安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2，5，22五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2+3＝5.

1.观察图形，填写下表：

钉子数(n×n) 2×2 3×3 4×4 n=2

n=3

n=4

n=5

5×5

S值 2 2+3 2＋3＋( ) ( ) 2.写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)

3.对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式.

13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC

DP和△DBC的面积之间有什么关系？ A探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

⑴当AP＝AD时（如图②）：

12B图①C∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

12APD∴S△ABP＝

12S△ABD ．

B图②C∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

1225

∴S△CDP＝

12S△CDA ．

∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－

12S△ABD－

12S△CDA

＝S四边形ABCD－

12(S四边形ABCD－S△DBC)－

12(S四边形ABCD－S△ABC) ＝S△DBC＋

1122S△ABC ．

⑵当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；

13⑶当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；

16⑷一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，

1n写出求解过程；

问题解决：当AP＝___________．

mnAD（0≤

mn≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：

第05讲整式的加减

考点·方法·破译

1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.

2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.

3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.

经典·考题·赏析

【例１】（济南）如果

1a23xy和-3x3y2b1是同类项，那么a、b的值分别是（） 3B．A．a1

b2a0

b2C．a2a1 D．

b1b1【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，

且相同字母的指数是否相同有关.

解：由题意得【变式题组】

a1a23，∴

b22b13 27

01.（天津）已知a＝2,b＝3,则（）

A．ax3y2与b m3n2是同类项 B．3xay3与bx3y3是同类项

＋＋

C．Bx2a1y4与ax5yb1是同类项 D．5m2bn5a与6n2bm5a是同类项 02．若单项式2Xym与－xny是同类项，则m＝___________，n＝___________. 03．指出下列哪些是同类项 22222

⑴ab与－ab ⑵xy与3yx (3)m－n与5（n－m） ⑷5ab与6ab 【例２】若多项式合并同类项后是三次二项式，则m应满足的条件是___________.

【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

解：因为化简后为三次二项式，而5x＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m－2＝0,∴m＝－1

【变式题组】

222

01.计算：－（2x－3x－1)－2(x－3x＋5)＋(x＋4x＋3)

02．(台州）（2x－4y）＋2y 03．（佛山）m－n－(m＋n)

【例３】（泰州）求整式3x－5x＋2与2x＋x－3的差.

【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项．

22222

解：（3x－5x＋2)－（2x＋x－3)＝3x－5x＋2－2x－x＋3＝x－6x＋5 【变式题组】

01．一个多项式加上－3x＋2xy得x－3xy＋y,则这个多项式是___________．

02．减去2－3x等于6x－3x－8的代数式是___________．【例４】当a＝-2

133

133122

，b＝时，求5（2a＋b)－3(3a＋2b)＋2(3a＋2b)的值. 422

【解法指导】将（2a＋b)，（3a＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代

入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.

222

解：5（2a＋b)－3(3a＋2b)－3(2a＋b)＋2(3a＋2b)＝(5－3)(2a＋b)＋(2－3)(3a＋2b)＝2(2a＋b)－(3a＋2b)∵a＝-2

3113

，b＝∴原式＝424【变式题组】

01．（江苏南京）先化简再求值：（2a＋1)－2(2a＋1)＋3,其中a＝2.

2222

02．已知a＋bc＝14,b－2bc＝－6,求3a＋4b－5bc．

【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.

【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除.

证明：设此四位数为1000a＋100b＋10c＋d,则

1000a＋100b＋10c＋d－（a＋b＋c＋d)＝999a＋99b＋9c＝9(111a＋11b＋c)

∵111a＋11b＋c为整数，∴1000a＋100b＋10c＋d＝9(111a＋11b＋c)＋（a＋b＋c＋d) ∵9(111a＋11b＋c)与（a＋b＋c＋d)均能被9整除 ∴1000a＋100b＋10c＋d也能被9整除

【变式题组】

01．已知a＜b＜c,且x＜y＜z,下列式子中值最大的可能是（）

A．ax＋by＋cz B．ax＋cy＋bz C．bx＋cy＋az D．bx＋ay＋cz 02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.

2612112

【例６】将（x－x＋1)展开后得a12x＋a11x＋……＋a2x＋a1x＋a0,求a12＋a10＋a8＋……＋a4＋a2＋a0的值.

【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x项，如何消去x项，可采用赋特殊值法.

解：令x＝1得a12＋a11＋……＋a1＋a0＝1

令x＝－1得a12－a11＋a10－……－a1＋a0＝729 两式相加得2（a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0）＝730 ∴a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0＝365 【变式题组】

55432

01.已知（2x－1)＝a5x＋a4x＋a3x＋a2x＋a1x＋a0(1)当x＝0时，有何结论; (2)当x＝1时，有何结论;(3)当x＝－1时，有何结论;(4)求a5＋a3＋a1的值.

4324

02.已知ax＋bx＋cx＋dx＋e＝(x－2)(1)求a＋b＋c＋d＋e. (2)试求a＋c的值.

3223

【例７】(希望杯培训题）已知关于x的二次多项式a(x－x＋3x)＋b(2x＋x)＋x－5,当x＝2时的值为－17.求当x＝－2时，该多项式的值.

【解法指导】设法求出a、b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a、b的等式.

322332

解：原式＝ax－ax＋3ax＋2bx＋bx＋x－5 ＝(a＋1)x＋(2b－a)x＋(3a＋b)x－5

∵原式中的多项式是关于x的二次多项式∴∴a＝－1又当x＝2时，原式的值为－17.

∴(2b＋1)2＋3（-1）b25＝－17,∴b＝－1

a10

2ba0∴原式＝－x－4x－5∴当x＝－2时，原式＝－（－2）－4（－2）－5＝－1 【变式题组】

01．（北京迎春杯）当x＝－2时，代数式ax－bx＋1＝－17.则x＝－1时，12ax－3bx－5

＝___________．

753

02．(吉林竞赛题）已知y＝ax＋bx＋cx＋dx＋e,其中a、b、c、d、e为常数，当x＝2,y＝

2,x＝－2,y＝－35,则e为（） A．－6 B． 6 C．－12 D．12

演练巩固·反馈提高

01．（荆州）若－3x2my与2xyn是同类项，则mn的值是（）

A．0 B．1 C．7 D．－1

2222

02．一个单项式减去x－y等于x＋y,则这个单项式是（）

A．2x2 B．2y2 C．－2x2 D．－2y2

03．若M和N都是关于x的二次三项式，则M＋N一定是（）

A．二次三项式 B．一次多项式 C．三项式 D．次数不高于2的整式

04．当x＝3时，多项式ax＋bx＋cx－10的值为7.则当x＝－3时，这个多项式的值是（）

A．－3 B．－27 C．－7 D．7

222222

05．已知多项式A＝x＋2y－z,B＝－4x＋3y＋2z,且A＋B＋C＝0,则多项式c为（）

A．5x2－y2－z2 B．3x2－y2－3z2 C．3x2－5y2－z2 D．3x2－5y2＋z2 06．已知

y3xy43，则等于（）A． xx3

B．1 C．2

3 D．0

07．某人上山的速度为a千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b千米/时，那么这个人上

山和下山的平均速度是（）

A．

ab千米/时 22

B．

abab千米/时 C．千米/时 22ab2

D．

2ab千米/时 ab08．使（ax－2xy＋y)－(－ax＋bxy＋2y)＝6x－9xy＋cy成立的a、b、c的值分别是（）

A．３，７，１ B．－３，－７，－１ C．３，－７，－１ D．－３，７，－１ 09．k＝___________时，多项式3x2－2kxy＋3y2＋

1xy－4中不含ｘy项． 210．(宿迁）若2a－b＝2,则6＋8a－4b＝___________ 11某项工程，甲单独做需m天完成，甲乙合作需n天完成，那么乙独做需要_______天完成．

2222

12．x－xy＝－3,2xy－y＝－8,则2x－y＝___________．

13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为ｘ，再把ｂ放a的左边，也组成一个五位数，设为y,试问x－y能被9整除吗？请说明理由.

14．若代数式（x＋ax－2y＋7)－(bx－2x＋9y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值.

222222

15．设A＝x－2xy－y,B＝－2x＋xy－y,B＝－2x＋xy－y,当x＜y＜0时，比较A与B的值的大小.

培优升级·奥赛检测

01．A是一个三位数，b是一位数，如果把b置于a的右边，则所得的四位数是（）

A．ab B．a＋b C．1000b＋a D．10a＋b

02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位

数中，质数有（） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个

03．有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a、b、c，那么x1＋y1－z1,x2＋

y2－z2,x3＋y3－z3的平均数是（）

A．

ab-cabc B． C．A＋b－c D．3(a＋b－c)

3304．如果对于某一特定范围内x的任何允许值P＝12x＋1-3x＋……＋1-9x＋1-10x的值恒为一常数，则此值为（） A．2

B．3 C．4 D．5

05．（江苏竞赛）已知a＋b＝0,a≠0,则化简b(a1)a(b1)得（）

abA．2a B．2b C．2 D．－2

06．如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬a块砖，所需的小时数（）

c2A．2

ababc2B． C．2

abc＋2

－2

＋2

a2bD．2

＋2

07．如果单项式3xayb与5xya的和为8xya,那么abba＝_________． 08．（第１６届“希望杯”邀请赛试题）如果x＋2x＝3则x＋7x＋8x－13x＋15＝_________． 09．将1,2,3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式

1（abab）中进行计算，求出其结果，250组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时_________．

＋43－3＋4432

10．已知两个多项式A和B，A＝nxn＋xn－x＋x－3,B＝3xn－x＋x＋nx－2x－1,试判断是否存在整数n,使A－B为五次六项式．

11．设xyz都是整数，且11整除7x＋2y－5z.求证：11整除3x－7y＋12z.

12．(美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数abc(a、b、

c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数acb，bac，bca，cab与cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc，现在设N＝3194，请你当魔术师，求出abc来.

13．(太原市竞赛题）将一个三位数abc的中间数去掉，成为一个两位数ac，且满足abc＝9ac＋4c（如155＝915＋45）.试求出所有这样的三位数.

第06讲一元一次方程概念和等式性质

考点·方法·破译

1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析． 2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．

经典·考题·赏析

【例１】下面式子是方程的是( )

A．x＋3 B． x＋y＜3 C．2x2 ＋3 ＝0 D．3＋4 ＝2＋5

【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．

【变式题组】 01在①2x ＋3y－1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－x＝x＋1，④2x ＋y＝3中方程的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 02．（安徽合肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是( )

A． 272＋x＝ (196－x) B．

1313131 (272－x) ＝196 –x 3 32

C．

11×272 ＋x ＝196－x D． (272 ＋x) ＝196－x 2303．根据下列条件列出方程：

⑴3与x的和的2倍是14 ⑵x的2倍与3的差是5 ⑶x的与13的差的2倍等于1

【例２】下列方程是一元一次方程的是( )

A．x－2x－3＝0 B．2x－3y＝4 C．

151＝3 D．x＝0 x【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．

【变式题组】 01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy；④x＝2；⑤3x ＝1；⑥

x3＝4x；x⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有_______个；一元一次方程有__________个． 02．（江油课改实验区）若（m－2）xm23＝5是一元一次方程，则m的值为( )

A．±2 B．－2 C．2 D．4 03．（天津）下列式子是方程的是( ) A．3×6＝ 18 B．3x－8 c．5y＋6 D．y÷5＝1 【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5 ＝0的解，则k的值是( )

A．8 B．3 C．88 D． 3383【解法指导】方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，k＝故选择D．【变式题组】 01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解( )

A．3x＝2x－1 B．3x －2x＋2 ＝0 C．3x －1 ＝2x＋1 D．3x＝2x－2 02．（自贡）方程3x ＋6 ＝0的解的相反数是( )

A．2 B．－2 C．3 D．－3 03．（上海）如果x＝2是方程

1xa1的根，那么a的值是( ) 2A．0 B．2 C．－2 D．－6 04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解： (1)某数的3倍比这个数大4； (2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？

(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A

型电机多少台？

【例4】（太原）c为任意有理数，对于等式等式的是( )

A．两边都减去－3c B．两边都乘以 C．两边都除以2c D．左边乘以2右边加上c 【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．

【变式题组】 01．（青岛）如果ma＝ mb，那么下列等式不一定成立的是( )

A．ma＋1＝mb＋1 B．ma−3＝mb−3 C．1a＝2×0.25a进入下面的变形，其结果仍然是21c11ma＝mb D．a＝b 2202．（大连）由等式3a −5 ＝2a＋b得到a＝11的变形是( )

A．等式两边都除以3 B．等式两边都加上（2a －5） C．等式两边都加上5 D．等式两边都减去（2a －5） 03．（昆明）下列变形符合等式性质的是( )

A．如果2x−3 ＝7，那么2x ＝7−x B．如果3x−2＝x＋1，那么3x−x ＝1−2

C．如果－2x ＝5，那么x＝－5＋2 D．如果－x ＝1，那么x＝－3 【例5】利用等式的性质解下列方程：

⑴ x ＋7 ＝19 ⑵－5x ＝30 ⑶ －x−5 ＝4 ⑴解：两边都减去7得 x＋7 −7 ＝19 −7合并同类项得 x＝12 ⑵解：两边都乘以13131得x＝－6 51313⑶解：两边都加上5得－x−5＋5 ＝4 ＋5 合并同类项得－x ＝9

两边都乘以－3得x＝－27

【解法指导】要使方程x＋7 ＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．

【变式题组】 01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是v1，回来的速度是v2，则他的

平均速度为( )

A．

2vvvv2vvv1v2 B．12 C．1 D．12

v1v22v1v2v1v22x1是方程2x−ay＝3的一个解，那么a的值是( ) y102．（杭州）已知A．1 B．3 C．－3 D．－1

03．（郑州）下列变形正确的是( )

A．由x＋3＝4得x＝7 B．由a＋b＝0，得a＝b C．由5x＝4x－2得x＝2 D．由

x＝0，得x＝0 604．（南京）解方程23x ( ) 32A．同乘以2333 B．同除以 C．同乘以－ D．同除以 3222【例6】根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为

20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）【解法指导】生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．

解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.1x×20%＝0.02x元，根据题意得：x ＋0. 1 x−0.02x＝ 1080．【变式题组】 01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销

售，则该商品现在售价是( )

A．160元 B．128元 C．120元 D．8元 02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之： (1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，

【例7】（“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1．求代数式40p ＋101q ＋4的值．

【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．

解：把x＝1代入方程px ＋5q ＝97，得p＋5q ＝97，故p与5q中必有一个数是偶数： (1)若p＝2，则Sq＝ 95，q＝19，40p ＋l01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003；

(2)若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋l01q ＋4

的值为2003.

【变式题组】

01．（广东省竞赛题）已知x＝3x ＋1，则（64x2 ＋48x ＋9）2009＝_______．

02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：

ab＝ ad− cdbc，已知

2x4＝18，则x＝( ) A．－1 B．2 C．3 D．4

x1 演练巩固反馈提高

01．下面四个式子是方程的是( )

A．3 ＋2 ＝5 B．x＝2 C．2x −5 D．a2 ＋2ab≠b2 02，下列方程是一元一次方程的是( )

A．x2 −2x−3＝0 B．2x−3y＝3 C．x2−x−1＝ x2＋1 D．03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是( )

A．

110 x1111x ＝7−x B．x＋7 ＝−x C．＋7 ＝x D．＝x＋7 222204．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余

四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为( )

A．5x ＋15＝ 1200 B．5x －15 ＝1200 C．4x ＋15＝ 1200 D．4（x＋15)＝1200 05．在方程①3x−4 ＝7；②

x＝3；③5x−2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的2方程是( )

A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 06．如果方程2n＋b＝n−1的解是n＝－4，那么b的值是( )

A．3 B．5 C．－5 D．－13

07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝ a2 ＋b则（－2）△x＝10中x为( )

A．－6 B．6 C．8 D．－8 08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是( )

A．(a＋10)(b－1) ＝ab B．（a−10)(b＋l) ＝3000

C．

30003000＝a＋10 D．＝b−1 b1a1009．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．

10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x−2＝ 10 ＋x的解是_______．

11．（福州）已知

33m−1＝n，试用等式的性质比较m、n的大小． 44

12.（西宁）已知方程a−2x＝－4的解为x＝4，求式子a3−a2−a的值．

13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．

14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？

15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？

培优升级奥赛检测

01．下列判断中正确的是( )

A．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x同解，

B．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x没有相同的解． C．方程x(2x －3)＝x的解是方程2x －3 ＝1的解． D．方程2x −3 ＝1的解是方程x(2x －3)＝x的解． 02．方程

xxx•••2009的解是( ) 122320092010A．2008 B．2009 C．2010 D．2011

03．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中 (1)方程ax ＝0的解是x＝1 (2)方程ax ＝a的解是x＝1 (3)方程ax ＝1的解是x＝

1 (4)axa的解是x＝±1结论正a确的的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程(3a ＋8b)x＋7 ＝0无解，则ab是( )

A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3−3 a2−5a ＋4有整数解，则a的值共有( )

A．1个 B．3个 C．6个 D．9个 06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程x5＋（x−5）＝0的解的个数为( )

A．不确定 B．无数个 C．2个 D．3个 07．若x＝9是方程

解是______． 08．方程

11x2a的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程x2a的33x13y22y0的解是_____，方程3x11的解是_____． 35509．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知3990x1995 ＝1995，那么x＝____． 10．（“希望杯”邀请赛试题）已知xx2，那么19x99 ＋3x＋27的值为____．

11．（广西竞赛）解关于x的方程

12．a为何值，方程

xabxbcxac＝－3． cabax1xax6有无数个解． 326

13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共有几人？有多少本书？

14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？

第07讲一元一次方程解法

考点·方法·破译

1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．

2．会用一元一次方程解决实际问题

经典·考题·赏析

【例１】解方程：5x＋2＝7x－8

【解法指导】当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．

解：移项，得 5x－7x＝－8－2 合并同类项，得－2x＝－10 系数化为1，得 x＝5 【变式题组】

01．(广东)关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（）

A．4 B．－4 C．2 D．－1 02．（陕西）如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（）

A． a－b B．－a－b C． b－a D． b＋a

03．解下列方程： ⑴2x＋3x＋4x＝18 (2)3x＋5＝4x＋1

【例２】解方程： 11－2(x＋1)＝3x＋4(2x－3)

【解法指导】此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．

解：去括号，得 11－2x－2＝3x＋8x－12

移项，得－2x－3x－8x＝－12－11＋2 合并同类项，得－13x＝－21

系数化为1，得 x21 13【变式题组】 01．（广州）下列运算正确的是（）

A．－3（x－1）＝－3x－1 B．－3(x－1)＝－3x＋1 C．－3(x－1)＝－3x－3 D．－3(x－1)＝－3x＋3

02．(黄冈)解方程：－2(x－1)－4(x－2)＝1去括号结果，正确的是（）

A．－2x＋2－4x－8＝1 B．－2x＋1－4x＋2＝1 C．－2x－2－4x－8＝1 D．－2x＋2－4x＋8＝1 03．（广州）方程2x＋1＝3(x－1)的解是（）

A． x＝3 B． x＝4 C． x＝－3 D． x＝－4

04．解下列方程：⑴7(2x－1)－3(4x－1)＝5(3x＋2)－1 (2)3(100－2x)＝400＋15x

【例３】解方程：

2x110x12x11 364【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母

时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项

解：去分母时，得 4(2x－1)－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12

去括号，得 8x－4－20x＝6x＋3－12 移项，得 8x－20x－6x＝3－12＋4＋2

合并，得－18x＝－3 系数化为1，得 x1 6回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：（1）.去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1．这五个步骤要注意灵活运用．

【变式题组】 01．（厦门）如果关于x的方程

2xa4xb的解不是负值，那么a与b的关系是（） 35A． a33b B． ba C． 5a≥3b D． 5a＝3b 5502．(银川)甲、乙两船航行于A、B两地之间，由A到B航行的速度为每小时35千米，由

B到A航速为每小时25千米，今甲船由A地开往B地，乙船由B地开往A地，甲先航行2小时，两船在距B地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x千米，根据题意可列方程（）

A．

x120120x1201202 B．2 35253525x120120x1201202 D．2 2535253546x2x11 32C．03．（四川）解方程：

04．（大连）若方程

x12x116axax1与方程2x2x的解相同，求25223a22a的值． a

【例４】解方程：

0.1x0.2x13

0.020.5【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方

程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式

的左边、右边而言，要注意区别防止出错．

解：原方程变形为：

100(0.1x0.2)10(x1)3

1000.02100.5即 50（0.1x－0.2）－2(x＋1)＝3 去括号，得 5x－50－2x－2＝3

移项，得 5x－2x＝3＋10＋2 合并，得 3x＝15 系数化为1，得 x＝5 【变式题组】 01．对方程

x10.1x0.22x变形正确的是（） 0.30.7A．

x1x2x1x22x20x B． 373710x1x210x10x22x2x D． 3737x1x21.2 0.30.5C．

02．（郑州）解方程：

【例５】解方程：

12x107x92x8x9 21201514【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接

去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．

解：移项得

12x108x92x7x9 2114152073525x175x 即  解得 x＝1 4260612两边分别通分得：

【变式题组】 01．(大连)解方程

45(x30)7，较简便的是（） 5444 D．先两边都乘以 55A．先去分母 B．先去括号 C．先两边都除以

02．解方程：

111x24)6]81 [(975303．解方程：

1xxxxx6 26122042

【例６】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．1.小明拿到了哪3张卡片？ 2.你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？

【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．

解：设小明拿到的三张卡上的数字为x,x＋6,x＋12

（1）依题意得： x＋x＋6＋x＋12＝342 合并，得 3x＋18＝342

移项，得 3x＝324 系数化为1，得x＝108 答：这三个数为108，114，120

（2）不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是

（3）假设 x＋x＋6＋x＋12＝86 合并，得 3x＋18＝86

移项，得 3x＝324 系数化为1，得 x68 3 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为

68． 3【变式题组】

01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 …

⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数；

⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？

× × × × × × × × × 41

【例７】（河南省竞赛题）关于x的方程9x－17＝kx的解为正整数，则k的值为k＝_____ 【解法指导】把x的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值.

解：∵ 9x－17＝kx ∴ (9－k)x＝17

∴ x17 ∵ x为正整数，∴9－k为17的正整数因数 9k ∴ 9－k＝1 或 9－k＝17 ∴ k＝8 或 k＝－8 故k＝±8 【变式题组】

01．(成都)要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（）

A．可取一切数 B． k＜ 0 C． k≠0 D． k＞0

02．(“五羊杯”竞赛题)已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝___________

演练巩固·反馈提高

01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（）

A． 40元 B．35元 C． 28.9元 D． 5.1元 02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（）

A． 2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×20＝4×340 C． 2x＋4×72＝4×340 D． 2x－4×20＝4×340

03．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x

元，根据题意，下面所列的方程正确的是（） A．600×0.8－x－20 B.600×0.8＝x－20 C．600×8－x＝20 D．600×8＝x－20 04．(长沙)一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（）

A． 18千米/时 B． 15千米/时 C． 12千米/时 D． 20千米/时 05．（武汉）已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是（）

A．2

B．－2

C．

2 7D． 2 706．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x元，则所列方程正确的是（） A． x－5000＝5000×30.6% B．x＋5000×20%＝5000(1＋3.06%)

C． x＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%) D．x＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6% 07．(南通)关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是（）

A． m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2

08．若x＝2不是方程2x＋b＝3x的解，则b不等于（）

A．1 2B．

1 2C．2

D．－2

09．（天津）若kx3k22k3是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为x＝_______

10．(广东)若2x－1＝3,3y＋2＝8，则2x＋3y＝_________

11．(南京)x为何值时，式子

xx3与式子1满足下列条件 ⑴相等 ⑵互为相反数

32⑶式子

xx3比式子1的值小1

12．（随州）一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解． ⑴设十位数上的数为x； ⑵设个位数上的数为y.

13．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的

3少0.34cm，4求甲、乙两组同学平均身高的增长值．

14．（北海）某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？

15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每螺栓配两个螺帽）

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01．（南昌）把a千克的纯酒精溶在b千克水里，再从中取b千克溶液，在这b千克溶液中含酒精的千克数为（）

A． a

abb2B． C．

abab D．

2b ab02．下列四组变形中属于移项变形的是（）

A． 5x＋4＝0 则5x＝－4 B．

5得y＝10 2

C．

114y(32y)4则y32y4 D．3x＝4则x 553

xxxx1的解是x＝____ 315352005200703．（第18届“希望杯”赛题）方程

A．

2006200720071003 B． C． D． 20072006100320072

04．(广西竞赛题)若方程(m－1)x－mx＋8＝x是关于 x的一元一次方程，则代数式m－|m

－1|的值为（）

A． 1或一1 B．1 C．－1 D．2

05．如果2005－200.5＝x－20.05，那么x等于（）

A．1814.25 B． 1824.55 C．1774.45 D．1784.45 06．若x＝0是关于x的方程x－3n＝1的根，则n等于（）

A．1 3B．

13 C．3 D．－3

07．（“五羊杯”竞赛题）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（）米

A． 2070 B． 1575 C． 2000 D．1500

08．（武汉市选拔赛试题）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行（）

A．0.5小时 B．1小时 C． 1.2小时 D．1.5小时

09．（北京市“迎春杯”竞赛题）光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385

本，一班与二班捐出的本数之比为4：3，班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐出_________本． 10．（武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了______ ____千米． 11．（宁波）已知关于x的方程

axbx3ab的解是x＝2，其中a≠0且b≠0,求代数式23ba的值．

12．（湖北孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？

13．（“希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？

第08讲实际问题与一元一次方程

考点·方法·破译

1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型• 2．熟练掌握运用方程解决实际问题•

经典·考题·赏析

【例１】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但

老板们常以高出进价50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为300元的服装，应在什么

范围内还价？

【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝

商品利润；⑶商品售价＝进价×（1+利润率）

商品进价解：设原进价为x元，根据题意得

① 当利润为50%时：（1+50%)x＝300 解得x＝200 ② 当利润为100%时：（1+100%)x＝300 解得x＝150

所以：150×（1+20%）＝180元） 200×（1+20%）＝240（元）答：应在180～240元范围内还价•

【变式题组】 01．（黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；⑵一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；⑶一次性购物超过300元一律八折，王波两次购物分别付款80元、252元。如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（）

A．288元 B．322元 C．288或316元 D．332或363元 02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元售价是每件10元，为了扩大销售量把每件商品的售价降低百分之x出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之90，则x等于（）

A．1 B．1.8 C．28 D．29 03．（菏泽）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（）

A．26元 B．27元 C．28元 D．29元【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、小型汽车各有多少辆？

【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费

解：设中型车辆有x辆，则小型车辆有(50－x)辆，根据题意得6x+4(50－x)＝230，解得x＝15 50－x＝35 答：中小型车辆分别是15辆、35辆。

【变式题组】

01．(东营) 学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（）

A．144 人 B．72人 C．48 人 D．36人 02．(湖南) 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生的积极响应,实际赠书3780册其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册

03．(佛山) 小敏准备用21元钱买笔和笔记本，已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他买了两本笔记本之后，还可以买几支笔（）

A．1支 B．2支 C． 3支 D．4支

【例3】(北京) 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津

间单程直达运行的时间为半小时。某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同。如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系

解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，由天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米

根据题意得

3061x（x+40）解得x＝200 602答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米•

【变式题组】 01．(长沙) 汽车在中途受阻耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提为每小时50千米，那么要想将耽误的时间补上，则需要这样走（）

A．10千米 B．20千米 C．40千米 D．50千米 02．(南昌) 某市出租车的收费标准时：起步价5元，（即路程不超过3km的车费为5元），3km后每千米收费1.2元，某人乘出租车共付了11元，那么此人坐车行驶的路程最多是（） A．8km B．9km C．6km D．10km

03．(南宁) 小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地二人都均速前进，已知二人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，二人又相距36km，求A、B两地间的路程•

【例４】(课本变形题) 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40 m2墙面•每名一级技工比二级技工一天多粉刷10 m2墙面，求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？

【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率x工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1•

解：设每一名一级技工一天刷xm2的墙面，则每名二级技工一天刷(x－10) m2的墙面.

根据题意得

3x505(x10)40＝解得x＝122 则x－10＝122－10＝112 810答：每一名一级技工一天刷122m2的墙面，则每名二级技工一天刷112 m2的墙面.

【变式题组】

01．(随州) 某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长

20%，则两年后城市绿化面积是原来的（） A．1.2倍 B．1.4倍 C．1.44倍 D．1.8倍

02．(天津) 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，2小时可把空池灌满，单独

开乙水龙头，3小时可把空池灌满，则灌满水池的

22/3要同时开甲、乙两龙的时间（） 3A．小时 B．

8348小时 C．4小时 D．小时 3503．(乐山) 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力

是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工、几天粗加工？

【例５】在一次有12个队参加的足球单循环赛中（每两队之间只比赛一场），规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在打完循环赛后，所胜场数比负场数多2场，而总积分为18分，问：该队战平了几场？【解法指导】根据题意分别用含一个未知数的式子表示胜的场次和负的场次，再根据总共几分列出方程•

解：设该队负x场，则胜(x+2)场，平的场数为11－x－(x+2)＝ (9－2x)场根据题意得3(x+2)+1x(9－2x)＝18 解得x＝3 ∴9－2x＝9－2×3＝3 答：该队战平了3场. 【变式题组】

01．(长沙) 足球比赛的积分规则为胜一场得3分,平一场得1分，负一场得0分,一支足球队赛14场，负5场共得19分，那么这支球队胜了（）

A．3场 B．4场 C．5场 D．6场

02．在一场篮球比赛中，某队员得了23分（不含发球得分）已知他投进的3分球比2分球

少4个，则他投进了几个3分球和几个2分球？

【例６】(聊城) 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售.方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.你认为选择哪种获利多？为什么？

【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解•

解：对方案一：获利为4500X140＝630000(元)

对方案二：15天细加工：6X15＝90(吨) 说明还有50吨需要在市场上直接销售，

故可获利7500X90+1000X50＝725000(元)

对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则(140－x)吨进行粗加工，根据题意得解得x＝60 140－x＝140－60＝80

故获利为7500×60+4500×80＝810000(元) 由此，选择方案三【变式题组】

01．(第17届“希望杯”竞赛题)老师带两名学生到离校36千米的博物馆参观、老师骑一辆摩托车，车速为25千米/时，这辆摩托车可带一名学生，带人速度为20千米/时，学生步行速度为5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间不超过3小时。

02.A市和B市分别有某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台，已知从A市调一台到C市和D市的运输费分别为400元和800元；已知从B市调一台到C市和D市的运输费分别为300元和500元，问共有几种调运方案？其中最低费用是多少元？

【例７】(黄冈竞赛)某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？

【解法指导】根据“路程＝速度×时间”，所以当路程相同时与时间成正比•

解：设站点每隔x分钟开出一辆根据题意，得

x412x，解得x＝6 412答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆•

【变式题组】 01．（美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长x米，以等速前进，它进入300米的隧道经历

了25秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求x 02．（武汉选拔赛）若关于x的方程||x－2|－1|＝a有三个整数解，则a的值为（） A． 0 B． 2 C．1 D．3 03．（第16届江苏竞赛）如果|x－2|+x－2＝0,那么x的取值范围是（）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2

演练巩固·反馈提高

01．（天津）东方商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍可获利10%,则该商品

的标价为（）

A． 2160元 B．2613.6元 C．2640元 D．2722.5元 02．（武汉）某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（）

A．不赔不赚 B．赚了8元 C．赔了8元 D．赚了32元 03．（太原）国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，今年小刚取出一年到期的本息时，交纳了13.5元的利息税，则小刚一年前存入银行的本金为（）

A．1000元 B．2000元 C．4000元 D．3000元 04．（宁夏）某乡中学现有学生500人，计划一年后女生增加3%，男生在校生增加4%，这样在校学生将增加3.6%，那么该校现有女生和男生人数分别是（）

A．200和300 B．300和200 C．320和180 D．180和320 05．（石家庄）课外活动中，一些学生分别参加活动，原来每组8人，后来由于器材不够重新编组，每组12人，这样比原来少2组，问这些学生有（）

A． 48人 B．24人 C．36人 D．60人 06．（银川）一列火车通过890米的大桥需要55秒，同样的速度穿过690米隧道需要45秒，则这列火车长（）

A．210米 B．230米 C．250米 D．270米 07．（重庆）国家规定个人发表文章，出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：⑴稿费不高于800元不纳税；⑵稿费高于800元，但不高于4000元应缴纳超过800的那一部分的14%的税；⑶稿费高于4000元缴纳全部稿费的11%的税。今知王教授出版了一本著作获得了一笔稿费，他缴纳了550元的税，王教授的这笔稿费是_______元 08．（重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合。如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克• 09．（福州）小明去文具店购买2B铅笔，店主说“如果多买一些给你打八折•”小明算了一下，如果买50支，比按原价购买便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少？ 10．（北京）甲、乙两地相距416千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，汽车开出1小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的1.5倍，摩托车开出几小时后，才能与汽车相遇？ 11．（山西）某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信0.1元/条，发送网际短信0.15元/条，该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准

共支出短信费19元，小王该月发送网内、网际短信息各多少条？

12．某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7：1:2:4.7，现要配制这种中药2100克，四种草药成分分别需要多少克？

13．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是500元，本季度销售了m件，为了进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调查，预测下季度这种商产品每件销售价降低4%，销售量提高10%，要使利润保持不变，该产品每件的成本应该降低多少元？

14．某商品出售一种会员卡，花20元买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌店享受折上折优惠，若1月份八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算• 15．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，学校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你帮助设计购买方案，并说明理由•

培优升级·奥赛检测

01．（第十五届江苏省竞赛）某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装成本不变），销售数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润比9月份的利润总额增长（）

A．2% B．8% C．40.5% D．60% 02．（北京市竞赛题）甲、乙两种茶叶，以x：y（重量比）相混合成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元，乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，则x：y等于（）

A．1：1 B．5：4 C．4：5 D．5：6

03．（全国初中数学联赛题）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方

米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份这用户应交煤气费（）

A． 60元 B．66元 C．75元 D．78元 04．（四川省竞赛题）植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（）棵•

A．9 B．10 C．12 D．14

05．已知四个矿泉水空瓶子可换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶子，若不交钱则最多可以喝矿泉水（）

A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶

06．某商场的电视机按原价9折销售，要使销售总收入不变，那么销售量应增加（）

A．

1 11B．

1 10C．

11 D． 9807．（黑龙江省竞赛题）一个六位数1abcde的3倍等于abcde1，则这个六位数为______ 08．（“希望杯”邀请赛试题）某人以4千米/时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/

时的速度从乙地返回甲地，那么此人往返一次平均速度是______千米/时• 09．（重庆市竞赛）某出租车汽车停车站已有6辆出租车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租车开出，在第一辆车开出2分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租车回站，回站的出租车，在原有的出租车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租车开出后，经过最少多少时间，车站不能正常发车？ 10．（第十三届“希望杯”邀请赛试题）为鼓励居民用电，某电力公司规定了如下电费计算方法：每月用电不超过100度，按每度0.5元元计算；每月用电超过100度，超出部分每度0.40元计算•⑴若某用户2002年1月份交电费68元，那么该用户1月份用电多少度？⑵若某用户2002年2月份平均每度电费0.48元，那么该用户2月份用电多少度？应交电费多少元？ 11．（安徽）某人将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖价1200元，盈利20%，乙种股票卖家也是1200元，但亏损20%，此人此次交易共盈利多少元？

12．（江西）剃须刀由刀片和刀架组成，某时期，甲、乙两厂分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可以更换）有关销售策略与售价等信息如下表所示：售价成本老式剃须刀 2.5元/把 2元/片新式剃须刀刀架 1元/把 5元/片刀片 0.55元/片 0.05元/片某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂获得的利润是甲厂的两倍，问这段时间内，乙厂销售了多少把刀架？多少片刀片？

13．（孝感）要把100克浓度为80%的酒精配制成浓度为60%的酒精，某同学未经考虑先加300克水•⑴试通过计算说明该同学加水是否过量？⑵如果加水不过量，则还应加入浓度20%的酒精多少克？如果加水过量，则需要再加入浓度为95%的酒精多少克？

第09讲多姿多彩的图形

考点·方法·破译

1．会识常见的几何图形，并了解它们的名称．

2．会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，以根据三视图描述基本几何体或实物原型．

3．了解基本几何体与其三视图、展开图之间的关系．

经典·考题·赏析

【例1】根据下图回答问题(1)请说出①～⑥中几何体的名称，并简要叙述它们的一些特征．

(2)将①～⑥中的几何体分类．

【解法指导】认识几何体，以直观观察为主，一般特征也以观察者获得的形象加以表述即可．但对几何体尽可能地进行深入观察，全方位发现每个几何体的特征，从而逐步揭示其本质．

解： (1) ①圆柱：特征如，两个底面是圆的几何体． ②圆锥：特征如，像锥体，且底面是圆． ③正方形：特征如，所有面都是正方形． ④长方体：特征如，其侧面均为长方形． ⑤棱柱：特征如，底面为多边形，侧面为长方形．⑥球：特征如，圆的实体．

(2) ①③④⑤为一类，它们都是柱体． ②是一类，它是锥体．⑥是一类，它是球体．

【变式题组】

01． (黄冈)下图四个几何体分别为长方体、圆柱体、球、三棱柱，这四个几何体中有三个

从某个角度看到的图形都是一种几何图形，则另一个几何体是( )

02． (宜昌)下列物体的形状类似于球体的是( ) A．茶杯 B．羽毛球 C．乒乓球 D．白炽灯泡 03． (广东茂名)用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是( )

A．球 B．圆锥 C．圆锥 D．正方体 04． (武汉)如图，立方体各面上的数字是连续的整数，如果相对的两个面上的两个数14的和都相等，那么这三对数的总和是( ) 1511A．76 B．78 C．80 D．81 【例2】 (深圳)如图所示，仔细观察图中的两个物体，则它的俯视图是( )

正面 A． B． C． D．

【解法指导】注意结合立体图形的形状并注意从某一方向看到图形的对应关系，抓住其主要特征，同时要分清不同视图的异同．故选择A．

【变式题组】

01．(重庆)由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是( )

D．

A． B． C． 02．(昆明)如图，这个几何体从上面看到的平面图形是( )

03．(沈阳)如图所示，圆柱从上面看到的图形是图中的( )

04．(成都)如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从正面、左面、上面看到的图形，

那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( )

A．3个 B．6个 C．7个 D．8个

从正面看从左面看从上面看【例3】 (湛江)将如右图所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体从左面看到的是( )

【解法指导】以直角三角形的直角边AC、BC为旋转轴得到的都是圆锥，故选择A．

【变式题组】

01．(广州)将右图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是( )

02．(南京)若一个棱柱有12个顶点，则在下列说法正确的为( )

A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有5条侧棱 C．这个棱柱的底面是六边形 D．这个棱柱的是一个12棱柱 03．(安徽)四棱柱的顶点数、棱数、面数分别为( )

A．8，12，6 B．8，10，6 C．6，8，12 D．8，6，12 【例4】 (福建泉州)观察下列图形，其中不是正方体的展开图的为( )

A． B． C． D．

【解法指导】学习立体图形的展开图，要养成动手实验的好习惯，动手折一下往往会一目了然，故本题选择D．

【变式题组】

01．(武汉)一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下图中的( )

A．只有图① B．图①、图② C．图②、图③ D．图①、图③

①

② ③

02．(唐山)如图所示的是一个由白纸拼成的立体图形，但有两面刷上黑色，将该立体图形展

开后应该是 ( )

A． B． C． D．

03．(陕西)下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体盒的是

( )

A．

B．

C．

D．

04．(北京)如图所示是三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么

这个展开图是 ( )

A．

B．

C．

D．

【例5】 (山西)一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如右图的形状，然后他把露出的表面涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为( ) A．19平方米 B．21平方米 C．33平方米 D．34平方米

【解法指导】本题把涂上颜色的面积一块一块加起来计算很麻烦，应从整体角度出发，把立体转化为平面，观察题图所给的几何体，从前、后、左、右四个方向都只能看到6个1×1的正方形，从上面看可以看到一个3×3的大正方形轮廓，所以被涂上颜色的总面积应为4×6×1×1+3×3×1×1＝33(平方米)，故选C．

【变式题组】

01．(宜宾)如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体．那么其三种视图中面积最小的是 ( )

A．正视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样

02．(益阳)将一个底面直径为2 cm，高为2 cm的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为( )

A．2πcm2 B．3πcm2 C．4πcm2 D．5πcm2 03．(青岛)一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3， 1，1那么这个大长方体的表面积可能有______种不同的值，其中最小值为

______．

【例6】李明为好友制作一个(右图)正方形礼品盒，六个面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是( )

【解法指导】本例主要考查立方体的展开图中对面、邻面的分布规律，可动手折叠发现答案，故应选择C．【变式题组】 12A1301．(资阳)已知一个正方体的每一面都填有唯一一个数字，且各相对面上所

B填的数互为倒数，若这个正方体的平面展开图如右图所示，则A、B的

值分别是( )

111111A．， B．，1 C．， D．1，

23323302．(南宁)在下图中添加一个小正方形，使该图经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有( )

A．7种 B．4种 C．3种 D．2种

03．(沈阳)将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折后，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是( )

【例7】 (第21届江苏省竞赛题)设5 cm×4 cm×3 cm长方体的一个表面展开图的周长为n cm，则n的最小值是______．

【解法指导】把展开图的周长用相应的代数式表示．长方体的展开图的周长为8c +4b +2a．故周长最小值为8×3+4×4+2×5＝50，故填50 cm．

【变式题组】

01．(广州)将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，如图现有一个边长为4 厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大?

02．(南京)如图是几个小立方块所搭成的几何体．从上面看图形，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，那么是这个几何体从正面看的图形的是( )

2121

A．

B．

C．

D．

03．(烟台)如图①是由若干个小正方体所搭成的几何体， ②是①从上面看到的图形，则①

从左面看到的图形是( )

①

②

A．

B．

C． D．

演练巩固反馈提高

01．(连云港)水平位置的下列几何体，从正面看的图形不是长方形的是( )

02．(邯郸)有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造从外部看不到，当分别用一组平面沿水平方向(自上而下)和竖直方向(自左而右)截这个物体时(如图)，得到了如图所示的(1)、(2)两组形状不同的截面，则这个物体的内部构造是( )

A．空心圆柱 B．空心圆锥 C．空心球 D．空心半球

03．(唐山)将如图所示图形折叠成立方体后，下面四个选项正确的是( )

04．(河南)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是( )

12321

A．

B．

C．

D．

05．(湖州)一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所在面的对面所标的字是( )

A．上 B．海 C．世 D．博

006．(芜湖)一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )

上海世博会★58

A．

B．

C．

D．

07．(安徽)如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是( )

08．(哈尔滨)如下图所示的某一几何体的三视图，则这个几何体是( )

A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．球正视图左视图俯视图

09．(泰州)如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据(单位： cm)可求得这个几何体的体积为 ( )

A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 主视图左视图俯视图

2211华南虎之乡美1

10．如图所示是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计)则盒子的容积为( )

A．4 B．6 C．12 D．15

11．(宜黄)宜黄素有“华南虎之乡”的美誉，将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”字相对的字是______． 12．(黄冈)如图是由棱长为1的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是______．

主视图左视图俯视图

13．设有一个边长为1的正三角形，记作A1，将A1的每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2；将A2的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作 A3，现将A3的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作A4，则A4的周长是多少?

14．(温州)由3个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的主视图和俯视图．

主视方向

15．一个五棱柱如图，它的底面边长都是4厘米，侧棱长6厘米，回答下列问题．

(1)这个五棱柱一共有多少个面?它们分别是什么形状?哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个五棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少?

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01．(成都)如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该

位置上小立方块的个数，那么该几何体的从正面看到的图形为( )

342112

A．

B．

C．

D．

02．(鄂尔多斯)将圆柱形纸筒沿母线AB剪开铺平，得到一个矩形(图1)；如果将这个纸筒沿线路BMA(图 2)剪开铺平，得到的图形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．三角形 D．半圆

03．(长春)一根单线从纽扣的4个孔中穿过(每个孔只穿过一次)，其正面情形如图所示，下面4个图形可能是其背面情形的是( )

04．(河北)用M、N、P、Q各代表四种简单几何图形(线段、正三角形、正方形、圆)中的一种，下图①至④是由M、N、P、Q中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示)．那么下列组

合图形表示P&Q的是 ( )

05． (第11届“华罗庚杯”竞赛试题)如图是一个立体图形的主视图，左视图(图中单位为厘米)，则立体图形的体积为( )立方厘米．

A．π B．2π C．3π D．4π

06．(太原)如下左图是一个正方体的平面展开图，这个正方体是( )

A．

B．

C．

D．

07．(第18届“希望杯”邀请赛试题)某人特制了4个同样的立方块，并将它们如图(a)放置，然后又如图(b)放置，则图(b)中四个底面正方形中的点数之和为( )

A．11 B．13 C．14 D．16

08．(重庆市竞赛题)把10个相同的小正方形按如图的位置堆放，它的外表会有若干个小正方形，如果将图中标有字母P的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬运前相比( )

A．不增不减 B．减少1个 C．减少2个 D．减少3个 09．(威海)如图，可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方

6体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小值是______． 310．(第21届江苏省竞赛)设5 cm ×4 cm ×3 cm长方体的一个表面展开图的周长为n cm，则n的最小值是______．

11．画出如图的几何体从正面、上面、左面看到的平面图形．

12．下面图形如图，线直线l旋转一周后形成什么图形?

P124561

13．(杭州)已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形，高为h，体积为V，表面积等于S． (1)当a＝2， h＝3时，分别求V和S；

(2)当V＝12，S＝32时，求

21+的值． ah

第10讲直线、射线、线段

考点·方法·破译

1．会正确地画出和表示直线、射线、线段；会用中点解题．

2．应用“两点之间，线段最短”解决实际问题，会求两点之间的距离．

经典·考题·赏析

【例1】指出图中的直线、射线和线段．

FEABCD

【解法指导】本题紧扣直线、射线、线段的概念及性质，注意它们的表示方法的不同，找直线、射线时，注意直线两端可以无限延伸，而射线只有一端可以无限延长，线段是无法延长的，只有当两条射线的端点和方向相同时，两条射线才表示同一条射线，在同一直线上，不同两点间的部分表示不同的线段．

解：直线有一条是直线AD，射线有六条，分别是射线BA、BD、CA、BE、CD、EF．线段有三条，分别是线段BC、BE、CE．

【变式题组】

01．（兰州）下列语句表述正确的是（）

A．延长射线OC C．作直线AB＝BC

B．射线BA与射线AB是同一条射线

D．已知线段AB，作线段CD＝AB

02．（南京）如图，可以用字母表示出来的不同射线有（）

CBA

A．4条 B．6条 C．5条 D．1条 03．（秦皇岛）如图，直线l、线段a及射线DA，能相交的图形是（）

laallAaDaADADADl

A．①③④ B．①④⑥ C．①④⑤ D．②③⑥ 【例2】（云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为________．

【解法指导】因为3点不共线，任意两点都可能确定一条直线，从政个点中任选出两个点，共有3种情况，所以共可作直线的条数为3条．

【变式题组】 01．（丹东）根据语句“点M在直线a外，过M有一直线b交直线a于点N，直线b上另

一点Q位于M、N之间”画图，正确的是（）

NQMaNQbMbaNQMbaNQMa① ② ③ ④ ⑤ ⑥b

02．（北京）根据下列语句画出图形 ⑴直线AB经过点C； ⑵经过点M、N的射线NM； ⑶经过点O的两条直线m、n； ⑷经过三点E、F、G中的每两点画直线． 03．（温州）如图A、B、C表示3个村庄，它们被三条河隔开，现在打算在每两个村庄之间都修一条笔直公路，则一共需架多少座桥？请你在图上用字母标明桥的位置．

A． B． C． D．

【例3】已知：线段AB＝10cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5cm，求AP的长．

【解法指导】题中已说明P在AB所在直线上，即说明P点可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上（不可能在BA的延长线上），故应分类讨论．

解：⑴如图①，当点P在线段AB上时，点N在点M的左侧，则AP＝2AN＝2（AM－1

MN）＝2（AB－MN）＝2×（5－1.5）＝7（cm）；

①ANMPB

⑵当点P在线段AB的延长线上时，N点在M点的右侧如图②，则AP＝2AN＝2（AM1

＋MN）＝2（AB＋MN）＝2×（5＋1.5）＝13（cm）；

②AMNBP

所以AP的长为7cm或13cm 【变式题组】 01．（昆明）已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离是（）

A．8cm B．9cm C．10cm D．8cm或10cm 02．（十堰）如图C、D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（）

ADCB

A．3cm B．6cm C．11cm D．14cm 03．（青海）已知线段AB，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（）

A．CD＝AB－BD

B．CD＝AD－BC

C．CD＝AB－BD

D．CD＝AB

【例4】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问：⑴要有多少种不同的票价？

⑵要准备多少种车票？【解法指导】首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题，把车站和三个停方点当作一条直线上的五个点，票价视路程的长短而变化，实际上就是要找出图中有多少条不同的线段．因为不同的线段就是不同的票价，故求有多少种票价即求有多少条线段，而要求有多少种车票即是求有多少条射线．

ABCDE

解：因为图中有10 条不同的线段，故票价有10种；有20条不同的射线，故应准备20种车票．

【变式题组】 01．（河南）如图从A到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中、从A到B有2

条水路、2条陆路；从B地到C地有3条陆路可供选择；走空中从A不经B地直接到达C地，则从A地到C地可供选择的方案有（） AEHOGD

BA．20种 B．8种 C．5种 D．13种

F02．（海南）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连

C接EG与FH交于点O，则图中的菱形共有（） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（佛山实验区）A车站到B车站之间还有3个车站，那么从A车站到B车站方向发出的

车辆，一共有多少种不同的车票（）

A．8 B．9 C．10 D．11

【例5】如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．

ABCD

【解法指导】由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，可设AB＝2x，CD＝3x，CD＝4x，由CD＝4x＝8，而求得x的值，进而求出MC的长．

解：设AB＝2x，由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，得CD＝4x，CD＝3x，AD＝（2＋3＋4）1

x＝9x，∵CD＝8，∴x＝2，∴AD＝9x＝18，∵M是AD的中点，∴MC＝MD－CD＝AD－

B MCCD＝×18－8＝1A2

【变式题组】 01．（河北）如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分MC∶CB＝1∶2，

则线段AC的长度为（） A．2cm B．8cm C．6cm D．4cm 102．（随州）已知线段AB＝16cm，点C在线段AB上，且BC＝AC，M为BC的中点，则

3AM的长为________. 03．（黄冈）已知线段AB＝12cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，M是线段AC的中点，

求线段AM的长．

【例6】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A爬行相距它最远的另一个顶点B，哪条路径最短？说明理由．

AABB图（1）图（2）

【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短．解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB即为最短路线．【变式题组】 01．（天津）下列直线的说法错误的是（）

A．经过一点可以画无数条直线 B．经过两点可以画一条直线 C．一条直线上只有两个点 D．两条直线至多只有一个公共点 02．（湘潭）如图所示，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走

中间的直路，而不会走其他的曲折的路线，这是因为（） A．两点之间线段最短 B．两直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【例7】（第五局“华罗庚金杯”赛试题）摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？

AECDB

【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，

借助图形思考它们之间的关系．

111

解：设小镇为D，傍晚汽车在E休息，则AD＝DC，EB＝CE，AD＋EB＝DE＝200，

222∴AB＝AD＋EB＋DE＝200＋400＝600．

答：A、B两市相距600千米．【变式题组】 01．（哈尔滨）已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，

E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为_ ___cm． 02．（银川）AB、AC是同一条直线上的两条线段，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，线段BC与MN的大小有什么关系？请说明理由． 03．（河南）如图，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此，很轻松地求得CD＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原有的结论“CD＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．

ACODB

演练巩固反馈提高

01．当AB＝5cm，BC＝3cm时，A、C两点间的距离是（）

A．无法确定 B．2cm C．8cm D．7cm 02．下列说法正确的是（）

A．延长直线AB B．延长线段AB C．延长射线AB D．延长线段AB 03．若PA＋PB＝AB，则（）

A．P点一定在线段AB上 B．P点一定在线段AB外 C．P点一定在AB的延长线上 D．P点一定在线段BA的延长线上

04．已知点C是线段AB上的一点，下列说法中不能说明点C是线段AB的中点是（）

A．AC＝BC

B．AC＝AB

C．AC＋BC＝AB

D．2AC＝AB

05．如图，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（）

ACDB

A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定 06．（黄冈）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（）

C．C区

A．A区 B．B区

D．A、B两区之间

07．（广州）线段AB＝4cm，在直线AB上截取BC＝1cm，则AC＝________.

08．（云南）延长线段AB到点C，使BC＝AB，D为AC的中点，且DC＝6cm，则AB的

3长是________cm．

09．在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的

中点E的距离． 10．线段AB上有两点M、N，点M将AB分成2∶3两部分，点N将AB分成4∶1两部分，且MN＝3cm，求AM、NB的长．

11．如图，C是线段AB上一点，D是线段BC的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度是多少？

ACDB

12．如图B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．

ABMCD

13．指出图中的射线（以O为端点）和线段．

OABC

14．判断下列语句是否正确：⑴直线l有两个端点A、B；

⑵延长射线OA到C； ⑶已知A、B两点，经过A、B两点只有一条线段．

15．已知A、B、C三点：⑴AB＝10cm，AC＝15cm，BC＝5cm；⑵AB＝5.2cm，AC＝9cm，BC＝3.8cm；⑴AB＝3.2cm，AC＝1.5cm，BC＝4.5cm．A、B、C三点是否在一条直线上？

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01．（全国初中数学联赛试题）在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D的距离

之和最小小的点（）

A．可以是直线AD外的某一点 B．只有点B或点C C．只是线段AD的中点 D．有无穷多个 02．（“五羊杯”邀请赛）如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于（）

AQPMNBC

A．1 B．2 C．3 D．4 03．（海南省竞赛题）如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，若想求出MN的长度，则只需条件（）

ClAMBN

A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 04．（第18届江苏省竞赛题）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a＜b＜c，abc＜0和a＋b＋c＝0，那么线段AB与BC的大小关系是（） 05．（江苏省竞赛题）如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点，已知AC＝p，且p、q、r为质数，p＜q，p＋q＝r，又知图中所有线段长度之和为27，则线段AB的长是（）

ACDB

A．8 B．7 C．6 D．非上述答案

06．（襄樊）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 07．平面上有四个点，经过其中每两点画一条直线，那么一共可以画直线（）

A．6条 B．1条或3条或6条 C．1条或4条 D．1条或4条或6条 08．（第十六届江苏省竞赛题）如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（）

ABGCDEF

A．A处 B．C处 C．G处 D．E处

09．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝a，BC＝b，则AD＝（）

AMBCND D．2a－b

A．a＋b B．a＋2b C．2b－a

10．如图AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（）

ACEDB 1

D．

1A． 6

1B．

1C． 12

11．（“希望杯”邀请赛试题）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_____个，最多为______个．

12把线段AB延长到D使BD＝AB，再延长BA到C，使CA＝AB，则BC是CD的___倍.

213．已知A、B、C三点在一条直线上，若线段AB＝60，其中点为M，线段BC＝20，其中点为N，求MN的长．

第11讲角

考点•方法•破译

1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算．

2．了解角平分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等．

经典•考题•赏析

例1：如图AOE是直线，图中小于平角的角共有（）

A．7个 B．9个 C．8个 D．10个

【解法指导】公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角注意抓住概念，表示角用大写字母表示或希腊字母及数字表示，故选择B．

【变式题组】

01．在下图中一共有几个角？它们应如何表示．

02．下列语句正确的是（）

A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角 B．两条直线相交组成的图形叫做角 C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角 D．两条线段相交组成的图形叫做角 03．关于平角和周角的说法正确的是（）

A．平角是一条直线 B．周角是一条射线

C．反向延长射线OA，就是成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角例2：38.33°可化为（）

〃〃〃

A．38°30′3 B．38°33＇ C．38°30′30″ D．38°19′48″

【解法指导】注意度、分、秒是60进制的，把度转化成分要乘60，把分转化成秒要乘60；反之把秒化成分要除以60，把分化成度要除以60，把秒化成度要除以3600，故选择D．

【变式题组】

01．把下列各角化成用度表示的角：

〃〃〃

⑴15°24′36″ ⑵36°59′96″ ⑶50°65′60″

02．⑴3.76°＝度分秒 ⑵3.76°＝分秒

⑶钟表在8：30时，分针与时针的夹角为度．

〃

03．计算：⑴23°45′36＋66°14′24″； ⑵180°－98°24′30″；

⑶15°50′42″×3； ⑷88°14′48″÷4 例3：若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝．

【解法指导】两个角的和等于90°叫做余角，两个角的和等于180°叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．

解：根据题意得90°－∠α＋180°－∠α＝180°，所以∠α＝45° 【变式题组】 01．如图所示，那么∠2与

A．互补

1（∠1－∠2）之间的关系是（） 2B．互余 C．和为45° D．和为22.5°

02．55°角的余角是（）

A．55° B．45° C．35° D．125°

03．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②

11∠α－90°；③（∠α＋∠β）④（∠α－∠β）（）

22A．4个 B．3个 C．2个 D．1个例4：如图，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝．

【解法指导】注意找出图中角的和、差、倍、分关系，图中有∠AOD＋∠BOD＝180°，∠

AOD＝2∠AOC．

解：因为∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°，又因为OC平分∠AOD，所以∠

11AOC＝∠AOD＝×150°＝75°．

22【变式题组】 01．已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于（）

A．20° B．40° C．50° D．80°

02．如图直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2等于（）

A．50° B．60° C．140° D．160° 03．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）

A．45° B．60° C．75° D．80°

例5：如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（）

A．160° B．180° C．120° D．150°

【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针的旋

11＝30°，1分钟转过的角度为30°×＝0.5°，12601分针转一圈是1个小时，分针每分钟转过的角度为360°×＝6°．故选择A．

60【变式题组】

01．钟表上12时15分，时针与分针的夹角为（）

A．90° B．82．5° C．67.5° D．60° 02．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是．

例6：考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．

【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线OA，OB是关键．

转一圈12小时，则它1小时转的角度为360°×

解：如图，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA，以O为顶点，正南

方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°－（45°＋60°）＝75°．

【变式题组】 01．如图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针旋转

周．

14⑴指针所指方向为；

⑵图中互余的角有对，与∠BOC互补的角是．

02．轮船航行到C处时，观察到小岛B的方向是北偏西35°，同时从B观察到轮船C的方

向是（）

A．南偏西35° B．北偏西35° C．南偏东35° D．南偏东55° 03．如图下列说法不正确的是（）

A．OA的方向是东偏北30° B．OB的方向是西偏北60° C．OC的方向是西偏南15° D．OD的方向是西南方向例7：如图，O是直线 AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有对．

【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数入手，故共有6对．

【变式题组】

101．如图所示，A、O、B在一条直线上，∠AOC＝∠BOC＋30°，OE平分∠BOC，

2则∠BOE＝．

02．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度数． 03．如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．

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01．已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）

A．55° B．45° C．145° D．135° 02．如图直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若∠α＝44°，则∠β等于（）

A．56° B．46° C．45° D．44° 03．把一张长方形的纸片按图的方位折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB＇的延长线上，则∠EMF的度数是（）

A．85° B．90° C．95° D．100°

04．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用A、B、C表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应是（）

A．65° B．35° C．165° D．135° 05．如果∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，则必有（）

1213A． ∠β＝∠θ B． ∠β＝∠θ C． ∠β＝∠θ D． ∠β＝∠θ

234306．某校初一年级在下午3：00开展“阳光体育”活动，下午3：00这一时刻，时针上分针与时针所夹角等于 °．

07．已知∠AOB＝30°，又自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB ＝4：3，那么∠BOC等于（）

A．10° B．40° C．45° D．70°或10° 08．已知∠AOB＝120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3，那么∠AOC的度数是（）

A．40° B．40°或80° C．30° D．30°或90° 09． ⑴如图所示，已知∠AOB是直角，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

求∠MON的度数；

⑵如果⑴中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数； ⑶你从⑴⑵的结果中，能发现什么规律？

10．如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．

⑴若∠AOD＝70°，∠MON＝50°，求∠BOC的大小； ⑵ 若∠AOD＝α，∠MON＝β，求∠BOC的大小．（用字母α、β的式子表示）

11．如图所示，已知∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，求∠

EOF的度数．

12．如图所示，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线． ⑴求∠DOE的度数；⑵若只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数会改变吗？

13．如图，根据图回答下列问题：

⑴∠AOC是哪两个角的和； ⑵∠AOB是哪两个角的差．

14．如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，根据图形回答问题：

⑴图中哪些角是∠2的2倍； ⑵图中哪些角是∠3的3倍；

1⑶图中哪些角是∠AOD的倍；

2⑶ 射线OC是哪个角的三等分线．

15．如图直线AB与CD相交于点O ，那么∠1＝∠2吗？试说明理由．

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1是6°，则这个角是（） 17A．68° B．78° C．88° D．98° 02．用一副三角板可以画出大于0°且小于180°的不同角度数有（）种．

A．9种 B．10种 C．11种 D．12种

01．一个角的补角的

03．如图，∠AOB＝180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠BOD＝α，

则与α余角相等的是（）

A．∠COD B．∠COE C．∠DOA D．∠COA

04．4点钟后，时针与分针第二次成90°，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）．

A．60 B．30 C．40 D．33 05．OM、ON、OP分别是∠AOB、∠BOC、∠AOC的平分线，则下列各式中成立的是（）

A．∠AOP ＞∠MON

C．∠AOP ＜∠MON

B．∠AOP ＝∠MON D．以上情况都有可能

06．如图，∠AOC是直角，∠COD＝21.5°，且OB、OD分别是∠AOC、∠BOE的平分线，

则∠AOE等于（）

A．111．5° B．138° C．134．5° D．178° 07．下列说法不正确的是（）

A．角的大小与角的边画出部分的长短无关 B．角的大小与它们的度数的大小是一至的 C．角的平分线是一条线段

D．角的和、差、倍、分的度数等于它们度数的和、差、倍、分

08．一艘轮船由A地向南偏西45°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西15°方

向行驶40海里到达C地，则A、C相距（）海里．

A．30 B．40 C．50 D．60 09． ∠A的补角是125°12＇，则它的余角是（）

A．54°18＇ B．35°12＇ C．35°48＇ D．54°48＇ 10．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（）

11A．2倍 B．倍 C．5倍 D．倍

2511．一个角的补角与这个角的余角的度数之比为3：1，则这个角是度．

12． α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算

1（α＋β＋γ）的值时，15 76

有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确答案，则α

＋β＋γ＝．

13．已知∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，求∠MOC的

度数．

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