2018-2019学年辽宁省辽阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={𝑥|1<𝑥≤4}，𝐵={1,2，3，4，5}，则𝐴∩𝐵=( )A. {1,2，3，4}【答案】DB. {1,2，3}C. {2,3}D. {2,3，4}【解析】解：集合𝐴={𝑥|1<𝑥≤4}，𝐵={1,2，3，4，5}，则𝐴∩𝐵={2,3，4}．故选：D．根据交集的定义写出𝐴∩𝐵．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2.下列命题正确的是( )A. 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B. 一条直线与一个平面可能有无数个公共点C. 经过空间任意三点可以确定一个平面D. 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行【答案】B【解析】解：由题意得，A选项中如两条直线异面，两条直线没有公共点，不是平行关系；B选项直线在平面内时，直线和平面有无数个公共点；C选项中经过不在同一条直线上的三点可确定一平面，题中没有指明三点不共线；D选项中三点分布在平面两侧时不符合题意；故选：B．运用空间中直线和平面的有关概念可解决此问题．本题考查空间中直线和平面的有关概念．3.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎‒𝑥+2+1，若𝑓(‒1)=9，则𝑎=( )A. 2【答案】AB. ‒2C. 8D. ‒8【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)=𝑎∴𝑓(‒1)=𝑎3+1=9，解得𝑎=2．故选：A．‒𝑥+2+1，𝑓(‒1)=9，3推导出𝑓(‒1)=𝑎+1=9，由此能求出a的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知圆台的轴截面为上底为4，下底为8的等腰梯形，且圆台的母线长为4，则圆台的高为( )A. 3【答案】CB. 3C. 23D. 4【解析】解如图为圆台轴截面，由题意，𝑂1𝑀=2，𝑂2𝑁=4，𝑀𝑁=4，∴𝑁𝑃=2，∴𝑀𝑃=16‒4=23，故选：C．作出轴截面图形，在梯形内，易得梯形的高，即为圆台的高．此题考查了圆台，属容易题．5.设函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2𝑥，若𝑓(𝑎+1)<2，则a的取值范围为( )A. (‒1,3)【答案】AB. (‒∞,3)C. (‒∞,1)D. (‒1,1)【解析】解：由题意知，𝑙𝑜𝑔2(𝑎+1)<2，即𝑙𝑜𝑔2(𝑎+1)<𝑙𝑜𝑔24，所以0<𝑎+1<4，解得‒1<𝑎<3．a的取值范围是(‒1,3)．故选：A．由题意不等式化为𝑙𝑜𝑔2(𝑎+1)<2，求出a的取值范围即可．本题考查了对数函数的性质与应用问题，是基础题．6.在下列函数中，最小值为2的是( )A. C. 𝑦=𝑥+𝑥𝑥2+61B. 𝑦=𝑙𝑛𝑥+𝑙𝑛𝑥(𝑥>01，且𝑥≠1)𝑦=𝑥2+5𝑥‒𝑥D. 𝑦=4+4【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：𝑦=𝑥+𝑥对于A，当𝑥<0时，为负值，最小值不是2，不符合题意；对于B，当0<𝑥<1时，𝑙𝑛𝑥<0，此时对于C，则𝑦=1𝑥2+6𝑥2+56551𝑦=𝑙𝑛𝑥+𝑙𝑛𝑥1为负值，最小值不是2，不符合题意；=𝑥2+5+1𝑥2+5，设𝑡=𝑥2+5≥5，𝑦≥5+=5，其最小值不是2，不符合题意；14对于D，𝑦=4𝑥+4‒𝑥=4𝑥+𝑥≥24×𝑥14𝑥=2，其最小值为2，符合题意；故选：D．根据题意，由基本不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式成立的条件，属于基础题．7.设函数𝑓(𝑥)={𝑥2𝑙𝑜𝑔3𝑥,𝑥>0+2𝑥‒2,𝑥≤0，若𝑓(𝑎)=1，则𝑎=( )A. 3【答案】BB. ±3C. ‒3或1D. ±3或1𝑥2+2𝑥‒2,𝑥≤0，𝑓(𝑎)=1，【解析】解：∵函数∴当𝑎>0时，𝑓(𝑎)=𝑙𝑜𝑔3𝑎=1，解得𝑎=3；2当𝑎≤0时，𝑓(𝑎)=𝑎+2𝑎‒2=1，𝑓(𝑥)={𝑙𝑜𝑔3𝑥,𝑥>0解得𝑎=‒3或𝑎=1，(舍去)．综上𝑎=±3．故选：B．2当𝑎>0时，𝑓(𝑎)=𝑙𝑜𝑔3𝑎=1，当𝑎≤0时，𝑓(𝑎)=𝑎+2𝑎‒2=1，由此能求出a的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.若命题“∃𝑥0∈𝑅，𝑥0+2𝑚𝑥0+𝑚+2<0”为假命题，则m的取值范围是( )2A. (‒∞,‒1]∪[2,+∞)C. [‒1,2]【答案】CB. (‒∞,‒1)∪(2,+∞)D. (‒1,2)2【解析】解：∵命题：“∃𝑥0∈𝑅，使得𝑥0+2𝑚𝑥0+𝑚+2<0”为假命题，∴命题的否定是：“∀𝑥∈𝑅，𝑥2+2𝑚𝑥+𝑚+2≥0”为真命题，∴△≤0，即4𝑚2‒4(𝑚+2)≤0，解得‒1≤𝑚≤2．∴实数m的取值范围是[‒1,2]．故选：C．2由于命题：“∃𝑥0∈𝑅，使得𝑥0+2𝑚𝑥0+𝑚+2<0”为假命题，可得命题的否定是：“∀𝑥∈𝑅，𝑥2+2𝑚𝑥+𝑚+2≥0”为真命题，因此△≤0，解出即可．本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系，属于基础题．9.若l，n是两条不相同的直线，𝛼，𝛽是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是( )A. 若𝛼//𝛽，𝑙⊂𝛼，则𝑙//𝛽C. 若𝑙⊥𝑛，𝑛⊥𝛽，则𝑙//𝛽【答案】AB. 若𝛼⊥𝛽，𝑙⊥𝛼，则𝑙//𝛽D. 若𝑙//𝛼，𝛼//𝛽，则𝑙//𝛽【解析】解：A，两个平面平行，其中一个平面内的直线平行另一个平面，故A正确．故选：A．A，依两面平行的性质可知正确；B，C，D都缺少𝑙⊂𝛽的情况．此题考查了线面平行，属容易题．10.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2(𝑥+1)+3𝑥+𝑚的零点在区间(0,1]上，则m的取值范围为( )A. (‒4.0)C. (‒∞,‒4]∪(0，+∞)【答案】DB. (‒∞,‒4)∪(0,+∞)D. [‒4,0)【解析】解：因为𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2(𝑥+1)+3𝑥+𝑚在区间(0,1]上是单调递增，函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2(𝑥+1)+3𝑥+𝑚的零点在区间(0,1]上，所以{𝑓(1)≥0，即故选：D．利用函数的单调性，以及函数的零点判断定理，列出不等式组求解即可．本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查．𝑓(0)<0{𝑙𝑜𝑔22+3+𝑚≥0，解得‒4≤𝑚<0．𝑚<011.函数𝑓(𝑥)=𝑥⋅2𝑥1‒𝑥2的部分图象大致为( )A. B. C. 【答案】A【解析】解：当𝑥=2时，当𝑥=‒2时，故选：A．𝑓(‒2)=𝑓(2)=2×221‒21D. =‒3<028，排除B，C‒2×2‒21‒(‒2)2=6>0，故排除D，利用排除法，分别令𝑥=2或𝑥=‒2，即可判断答案本题考查了函数图象的识别，考查了函数值，属基础题．12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎(2𝑥2‒𝑎𝑥)(𝑎>01且𝑎≠1)在[1,2]上为减函数，则a的取值范围为( )A. (0,2)1B. (0,2]1C. (2,1)1D. [2,1)1【答案】A【解析】解：当排除B，D，当𝑎=1𝑓(𝑥)4时，𝑎=1𝑓(𝑥)2时，=𝑙𝑜𝑔1[2(𝑥2‒𝑥)]21，在𝑥=1时无意义，故不可能在[1,2]上递减，据此=𝑙𝑜𝑔1(2𝑥2‒4𝑥)411在[1,2]上递减，符合题意，据此排除C，故选：A．用用𝑎=2𝑎=411代入𝑓(𝑥)，不满足定义域，排除B，D代入𝑓(𝑥)验证单调性，满足题意，故排除C本题考查了复合函数的单调性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）𝑥13.定义在[‒5,5]上的奇函数𝑓(𝑥)，当𝑥∈(0,5]时，𝑓(𝑥)=6，则𝑓(0)+𝑓(‒1)=______．【答案】‒6【解析】解：根据题意，𝑓(𝑥)为定义在[‒5,5]上的奇函数，则𝑓(0)=0，𝑓(‒1)=‒𝑓(1)，𝑥1当𝑥∈(0,5]时，𝑓(𝑥)=6，则𝑓(1)=6=6，则𝑓(‒1)=‒𝑓(1)=‒6；则𝑓(0)+𝑓(‒1)=‒6；故答案为：‒6．根据题意，由奇函数的性质可得𝑓(0)=0，由函数的解析式分析可得𝑓(1)的值，结合函数的奇偶性可得𝑓(‒1)的值，相加即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析𝑓(0)的值．14.已知圆柱的上、下底面的中心分别为𝑂1，𝑂2，过直线𝑂1𝑂2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为______．【答案】6𝜋【解析】解：由截面正方形面积为4可得，底面半径为1，母线长为2，故表面积为2𝜋+2𝜋×2=6𝜋，故答案为：6𝜋．利用轴截面为正方形可得底面半径和母线长，易得表面积．此题考查了圆柱表面积，属容易题．15.已知幂函数𝑦=(|𝑚|‒2)𝑥𝑚在(0,+∞)上是减函数，则𝑚=______．【答案】‒3【解析】解：由题意知，|𝑚|‒2=1，解得𝑚=‒3或𝑚=3；当𝑚=3时，𝑦=𝑥3在(0,+∞)上是增函数，不满足题意；当𝑚=‒3时，𝑦=𝑥‒3在(0,+∞)上是减函数，所以𝑚=‒3．故答案为：‒3．根据幂函数的定义与性质，即可求出m的值．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．16.如图，在直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷‒𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱𝐵𝐵1的中点，点F是棱𝐶𝐶1上靠近𝐶1的三等分点，且三棱锥𝐴1‒𝐴𝐸𝐹的体积为2，则四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷‒𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的体积为______．【答案】12【解析】解：设矩形𝐴𝐵𝐵1𝐴1的面积为S，平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1与平面𝐷𝐶𝐶1𝐷1的距离为d，𝑆则△𝐴𝐴1𝐸的面积为2，∵𝑉𝐴1‒𝐴𝐸𝐹=3×2𝑆×𝑑=2111，∴𝑆𝑑=12，𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷‒𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1=𝑆𝑑=12．故答案为：12．求四棱柱的体积应以四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1为底，以前后侧面间距离为高；由已知三棱锥𝐴1‒𝐴𝐸𝐹的体积化为三棱锥𝐹‒𝐴𝐴1𝐸的体积，问题得解．此题考查了转化法求体积，难度适中．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)计算3𝑙𝑜𝑔32+27+1𝑔50+1𝑔2；13(2)已知2𝑎=3，4𝑏=6，求2𝑏‒𝑎的值．【答案】解：(1)原式=2+3+1+𝑙𝑔5+𝑙𝑔2=7；(2)由2=3得𝑎=𝑙𝑜𝑔23，由4𝑏=6得𝑏=𝑙𝑜𝑔46=2𝑙𝑜𝑔26，𝑎1所以2𝑏‒𝑎=𝑙𝑜𝑔26‒𝑙𝑜𝑔23=𝑙𝑜𝑔23=𝑙𝑜𝑔22=16．【解析】(1)根据有理指数幂和对数的运算性质运算可得；(2)将指数式化对数式后，再用对数的运算性质运算可得．本题考查了对数的运算性质，属基础题．18.已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=1‒𝑥．(1)求𝑓(0)+𝑓(‒2)；(2)求𝑓(𝑥)的解析式；(3)求关于x的不等式‒2≤𝑓(𝑥)≤0的解集．【答案】解：(1)根据题意，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=1‒𝑥．则𝑓(0)=1‒0=1，𝑓(2)=1‒2=‒1，又由函数为偶函数，则𝑓(‒2)=𝑓(2)=‒1，则𝑓(0)+𝑓(‒2)=‒1+1=0，(2)设𝑥≤0，即‒𝑥≥0，则𝑓(‒𝑥)=1‒(‒𝑥)=1+𝑥，又由函数为偶函数，则𝑓(𝑥)=𝑓(‒𝑥)=1+𝑥，则𝑓(𝑥)={1‒𝑥,𝑥≥01+𝑥,𝑥<0，(3)根据题意，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=1‒𝑥，则𝑓(3)=1‒3=‒2，𝑓(1)=1‒1=0，且𝑓(𝑥)在[0,+∞)上为减函数，则‒2≤𝑓(𝑥)≤0⇒𝑓(3)≤𝑓(|𝑥|)≤𝑓(1)⇒1≤|𝑥|≤3，解可得：‒3≤𝑥≤‒1或1≤𝑥≤3，即不等式‒2≤𝑓(𝑥)≤0的解集为(‒3,‒1)∪(1,3)．【解析】(1)根据题意，由函数的解析式可得𝑓(0)与𝑓(2)的值，又由函数为偶函数，可得𝑓(‒2)=𝑓(2)即可得答案；(2)根据题意，设𝑥≤0，即‒𝑥≥0，分析可得𝑓(‒𝑥)的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；(3)根据题意，由函数的解析式可得𝑓(3)=‒2，𝑓(1)=0，结合函数为偶函数可得‒2≤𝑓(𝑥)≤0⇒𝑓(3)≤𝑓(|𝑥|)≤𝑓(1)⇒1≤|𝑥|≤3，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性以及单调性的综合应用，关键是求出函数的解析式，属于基础题．19.在三棱锥𝑃‒𝐴𝐵𝐶中，D，E分别为AB，AC的中点，且𝐶𝐴=𝐶𝐵，𝑃𝐴=𝑃𝐵．(1)证明：𝐵𝐶//平面PDE；(2)证明：𝐴𝐵⊥平面PCD．【答案】证明：(1)∵𝐷，E分别为AB，AC的中点，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，又𝐷𝐸⊂平面PDE，𝐵𝐶⊄平面PDE，∴𝐵𝐶//平面PDE．(2)∵𝐶𝐴=𝐶𝐵，D为AB的中点，∴𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，∵𝑃𝐴=𝑃𝐵，D为AB的中点，∴𝐴𝐵⊥𝑃𝐷，又𝑃𝐷∩𝐶𝐷=𝐷，∴𝐴𝐵⊥平面PCD．【解析】(1)由D，E分别为AB，AC的中点，得𝐷𝐸//𝐵𝐶，由此能证明𝐵𝐶//平面PDE．(2)推导出𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝑃𝐷，从而𝐴𝐵⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．20.已知𝑎>1，函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎(2𝑥+1)+𝑙𝑜𝑔𝑎(2‒2𝑥)131．(1)求𝑓(𝑥)的定义域；(2)若𝑓(𝑥)在【答案】解：[‒1,2]5上的最小值为‒2，求a的值．131(1)𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎(2𝑥+1)+𝑙𝑜𝑔𝑎(2‒2𝑥)，必有{1𝑥+1>0231‒𝑥>022，解可得‒2<𝑥<3，即函数的定义域为(‒2,3)；(2)𝑓(𝑥)=设1𝑙𝑜𝑔𝑎(2𝑥𝑥24𝑥+1)+33𝑙𝑜𝑔𝑎(25‒1𝑥)2=𝑙𝑜𝑔𝑎(‒𝑥24+4+2)1𝑥3，𝑔(𝑥)=‒+4+2，5𝑥∈[‒1,2]9，其对称轴为𝑥=2，𝑔()=16则𝑔(𝑥)的最小值为2，又由𝑎>1，则当𝑔(𝑥)取得最小值时，𝑓(𝑥)也取得最小值，此时𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑙𝑜𝑔𝑎[𝑔(2)]=𝑙𝑜𝑔𝑎(16)=‒2𝑎=3459，解可得：故𝑎=34；．【解析】(1)根据题意，由对数函数的定义域可得(2)根据题意，𝑓(𝑥)=𝑥∈[‒1,2]51𝑙𝑜𝑔𝑎(2𝑥{1𝑥+1>0231‒𝑥>022，解可得x的取值范围，即可得答案；=‒𝑥24+1)+3𝑙𝑜𝑔𝑎(2‒1𝑥)2=𝑙𝑜𝑔𝑎(‒𝑥24++𝑥43)𝑔(𝑥)2，设5+4+29𝑥3，，解可，分析𝑔(𝑥)的最小值，由对数函数的性质可得𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑙𝑜𝑔𝑎[𝑔(2)]=𝑙𝑜𝑔𝑎(16)=‒2得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的最值以及定义域的计算，涉及二次函数的性质，注意换元法分析．21.某地居民用水采用阶梯水价，其标准为：每户每月用水量不超过15吨的部分，每吨3元；超过15吨但不超过25吨的部分，每吨4.5元超过25吨的部分，每吨6元．(1)求某户居民每月需交水费𝑦(元)关于用水量𝑥(吨)的函数关系式；(2)若A户居民某月交水费67.5元，求A户居民该月的用水量．【答案】解：(1)当0≤𝑥≤15时，𝑦=3𝑥；当15<𝑥≤25时，𝑦=45+4.5(𝑥‒15)=4.5𝑥‒22.5；当𝑥>25时，𝑦=45+45+6(𝑥‒25)=6𝑥‒60．3𝑥,0≤𝑥≤15𝑦=4.5𝑥‒22.5,15<𝑥≤256𝑥‒60,𝑥>25则；{(2)𝐴户居民某月交水费67.5元，由(1)的函数式可得用水超过15吨，不超过25吨，可得4.5𝑥‒22.5=67.5，解得𝑥=20(吨)，A户居民该月的用水量为20吨．【解析】(1)分段讨论0≤𝑥≤15；15<𝑥≤25；当𝑥>25时，函数y的表达式，计算可得所求函数式；(2)利用(1)的分段函数式，考虑第二段解析式，解方程可得所求值．本题考查分段函数在睡觉前条中的运用，考查化简运算能力，属于基础题．22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑚⋅2𝑥4𝑥+4𝑚(𝑚>0)．1(1)当𝑚=1时，求方程𝑓(𝑥)=5的解；(2)若𝑥∈[2,3]，不等式𝑓(𝑥)>21恒成立，求m的取值范围．【答案】解：(1)方程2𝑥𝑓(𝑥)=51，即为4+4=5𝑥1，𝑥𝑥即有4‒5⋅2+4=0，𝑥𝑥即为2=1，或2=4，解得𝑥=0或𝑥=2；(2)若𝑥∈[2,3]，不等式𝑓(𝑥)>2恒成立𝑚⋅2𝑥1可得4𝑥+4𝑚>21，即𝑚(2𝑥+1‒4)>4𝑥，设𝑡=2即有由𝑥+1‒4，𝑥∈[2,3]，可得𝑡∈[4,12]，=4(𝑡+116𝑡𝑚>16𝑡𝑡2+8𝑡+164𝑡+8)，6412时取得最大值3，𝑡++8在𝑡∈[4,12]递增，可得𝑡=即有𝑚>163．𝑥𝑥【解析】(1)由题意可得4‒5⋅2+4=0，由指数方程的解法即可得到所求解；(2)由题意可得𝑚(2𝑥+1‒4)>4𝑥，设𝑡=2𝑥+1‒4，𝑥∈[2,3]，可得𝑡∈[4,12]，即有𝑚>𝑡2+8𝑡+164𝑡=4(𝑡+116𝑡+8)，由对勾函数的单调性可不等式右边的最大值，进而得到所求范围．本题考查指数方程的解法和不等式恒成立问题的解法，注意运用换元法和参数分离法，结合对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．