历年考研真题年数学一

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ylnx上与直线xy1垂直的切线方程为__________ .

xx(2)已知f(e)xe,且f(1)0,则f(x)=__________ .

(3)设L为正向圆周xy2在第一象限中的部分,则曲线积分为__________.

22xdy2ydx的值

Ld2ydy4x2y0(x0)的通解为__________ . (4)欧拉方程x2dxdx2210(5)设矩阵A120,矩阵B满足ABA*2BA*E,其中A*为A的伴随矩001阵,E是单位矩阵,则B=__________ .

(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则P{XDX}= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把x0时的无穷小量

x0costdt,tantdt,sint3dt,使排在后

002x2x面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A),, (C),,

(B),, (D),,

(8)设函数f(x)连续,且f(0)0,则存在0,使得 (A)f(x)在(0,)内单调增加

(B)f(x)在(,0)内单调减少 (D)对任意的x(,0)有

(C)对任意的x(0,)有f(x)f(0)

f(x)f(0)

(9)设

an1n为正项级数,下列结论中正确的是

(A)若limnan=0,则级数

nan1n收敛

(B)若存在非零常数,使得limnan,则级数

nan1n发散

(C)若级数

an1n收敛,则limnan0

n2(D)若级数

an1n发散, 则存在非零常数,使得limnan

n(10)设f(x)为连续函数,F(t)(A)2f(2)

dy1ttyf(x)dx,则F(2)等于

(B)f(2) (D) 0

(C)f(2)

(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为

010(A)100 101010(C)100 011

010(B)101 001011(D)100 001

(12)设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的(01),数u满足

P{Xu},若P{Xx},则x等于

(A)u

2 (B)u12

(C)u1

2

(D) u1

(14)设随机变量X1,X2,,Xn(n1)独立同分布,且其方差为20. 令

1nYXi,则

ni1(A)Cov(X1,Y)(C)D(X1Y)2n

(B)Cov(X1,Y)2 (D)D(X1Y)n22 n

n12 n

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)

设eabe2,证明ln2bln2a4(ba). 2e(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k6.010). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时) (17)(本题满分12分)

计算曲面积分I3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy,其中是曲面6z1x2y2(z0)的上侧.

(18)(本题满分11分)

设有方程xnnx10,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当

收敛. 1时,级数xnn1(19)(本题满分12分)

设zz(x,y)是由x6xy10y2yzz180确定的函数,求zz(x,y)的极值点和极值.

(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组

222

(1a)x1x2xn0,2x(2a)x2x0,12nnx1nx2(na)xn0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

(n2),

123设矩阵A143的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对1a5角化.

(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件,且P(A)111,P(B|A),P(A|B),令 4321,A发生,1,B发生, Y X0,A不发生;0,B不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数XY.

(23)(本题满分9分)

设总体X的分布函数为

11,x1,F(x,)x

x1,0,其中未知参数1,X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本,

求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量.

2004年考研数学试题答案与解析（数学一）

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程为yx1.

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.

【详解】 由y(lnx)11，得x=1, 可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为 x y01(x1)， 即 yx1.

【评注】 本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y=lnx过此切点的导数为

yxx011，得x01，由此可知所求切线方程为y01(x1)， 即 yx1. x0本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.

xx（2）已知f(e)xe，且f(1)=0, 则f(x)=

1(lnx)2 . 2【分析】 先求出f(x)的表达式，再积分即可. 【详解】 令et，则xlnt，于是有

xlntlnx， 即 f(x). txlnx1 积分得 f(x)dx(lnx)2C. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数

x212为f(x)= (lnx).

2 f(t)【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设L为正向圆周xy2在第一象限中的部分，则曲线积分

22xdy2ydx的

L值为

3 . 2【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周xy2在第一象限中的部分，可表示为

22x2cos, y2sin,:02.

于是

xdy2ydxL20[2cos2cos22sin2sin]d

 =202sin2d3. 2【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.

c1c2d2ydy4x2y0(x0)（4）欧拉方程x的通解为 . ydxxx2dx22【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换xe化为常系数线性齐次微分方程即可.

【详解】 令xe，则

ttdydydtdy1dy， etdxdtdxdtxdtd2y1dy1d2ydt1d2ydy22[2]， 22dtxdxdtdxxdtxdt代入原方程，整理得

d2ydy32y0， 2dtdt解此方程，得通解为 yc1etc2e2tc1c2. xx2t【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令xe，则欧拉方程

d2ydybxcyf(x)， ax2dxdx2d2ydydy]bcyf(et). 可化为 a[2dtdtdt210***（5）设矩阵A120，矩阵B满足ABA2BAE，其中A为A的伴随矩

001阵，E是单位矩阵，则B

1 . 9*【分析】 可先用公式AAAE进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A，得

ABA*A2BA*AA， 而A3，于是有

3AB6BA， 即 (3A6E)BA，

再两边取行列式，有

3A6EBA3，

1. 9 而 3A6E27，故所求行列式为B【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A*，一般均应先利用公式A*AAA*AE进行化简.

（6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{XDX}=

1 . e【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.

【详解】 由题设，知DX P{X12，于是

DX}=P{X}1exdx

1 =ex11. e【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把x0时的无穷小量x0costdt,tantdt,sint3dt，使

002x2x排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A) ,,. (B) ,,. (C) ,,. (D) ,,. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.

【详解】 limlimx0x00x2xtantdtcost2dtx3limx0tanx2x0，可排除(C),(D)选项， 2cosxsinx320lim又 limx0x00x2sintdt10tantdtlimx02x

2xtanx =

1xlim2，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B). 4x0xn【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将,,分别与x进行比较，再确定相互的高低次序.

（8）设函数f(x)连续，且f(0)0,则存在0，使得

(A) f(x)在（0，)内单调增加. （B）f(x)在(,0)内单调减少.

(C) 对任意的x(0,)有f(x)>f(0) . (D) 对任意的x(,0)有f(x)>f(0) . [ C ]

【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.

【详解】 由导数的定义，知

f(0)limx0f(x)f(0)0，

x根据保号性，知存在0，当x(,0)(0,)时，有

f(x)f(0)0

x即当x(,0)时，f(x)f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设

an1n为正项级数，下列结论中正确的是

 (A) 若limnan=0，则级数

nan1n收敛.

（B） 若存在非零常数，使得limnan，则级数

nan1n发散.

(C) 若级数

an1n收敛，则limnan0.

n2(D) 若级数

an1n发散, 则存在非零常数，使得limnan. [ B ]

n【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.

11【详解】 取an，则limnan=0，但an发散，排除(A)，(D)；

nnlnnnlnnn1n1又取an1nn，则级数

an1n收敛，但limnan，排除(C), 故应选(B).

n2【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，

an10，而级数发散，因此级数an也发散，故应选(B). limnanlimnn1n1nn1n（10）设f(x)为连续函数，F(t)t1dyf(x)dx，则F(2)等于

yt (A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】 先求导，再代入t=2求F(2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.

【详解】 交换积分次序，得

F(t)dy1ttyf(x)dx=1[1f(x)dy]dx1f(x)(x1)dx

txt于是，F(t)f(t)(t1)，从而有 F(2)f(2)，故应选(B).

【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: [b(x)a(x)f(t)dt]f[b(x)]b(x)f[a(x)]a(x)

否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.

（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

010(A) 100. (B) 101010101. (C) 001010100. (D) 011011100. 001 [ D ]

【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两

个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积.

【详解】由题设，有

010100 A100B， B011C， 001001010100于是， A100011001001011C.

A100001可见，应选(D).

【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.

（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ A ]

【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.

【详解1】 设A为mn矩阵，B 为ns矩阵，则由AB=O知，

r(A)r(B)n.

又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)【详解2】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关.

同理，由AB=O知，BAO，于是有BT的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).

【评注】 AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：

1） AB=Or(A)r(B)n; 2） AB=OB的每列均为Ax=0的解.

（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(01)，数u满足

TTP{Xu}，若P{Xx}，则x等于

(A) u. (B) u212. (C) u1 . (D) u1 . [ C ]

2【分析】 此类问题的求解，可通过u的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论.

【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{Xu}，于是

11P{Xx}P{Xx}P{Xx}P{Xx}2P{Xx}

即有 P{Xx}1，可见根据定义有xu1，故应选(C). 22【评注】 本题u相当于分位数，直观地有

  (1)/2 o u u1 22（14）设随机变量X1,X2,,Xn(n1)独立同分布，且其方差为0. 令

1nYXi，则

ni1(A) Cov(X1,Y)(C) D(X1Y)2n. (B) Cov(X1,Y)2.

n22n12. (D) D(X1Y). [ A ] nn【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：

Cov(X1,Xi)0,i2,3,n.

1n11n【详解】 Cov(X1,Y)Cov(X1,Xi)Cov(X1,X1)Cov(X1,Xi)

ni1nni2 =

11DX12. nn【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如

1n11(1n)22n12D(X1Y)D(X1X2Xn)2 2nnnnnn23n2n32， =2nnn111(n1)22n12D(X1Y)D(X1X2Xn)2

nnnn2nn22n2n22. =2nn（15）（本题满分12分）

设eabe, 证明lnblna2224(ba). 2e【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.

【证法1】 对函数lnx在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 lnblna2222ln(ba),ab.

设(t)lnt1lnt，则(t)， tt22当t>e时， (t)0, 所以(t)单调减少，从而()(e)，即

lne2222， eeln故 lnblna224(ba). 2e2【证法2】 设(x)lnx4x，则 2elnx42， xe1lnx (x)2, 2x

(x)2所以当x>e时，(x)0, 故(x)单调减少，从而当exe时，

2(x)(e2)2440， e2e2即当exe时，(x)单调增加.

因此当exe时，(b)(a)，

2442blnaa， e2e2422故 lnblna2(ba).

e即 lnb2【评注】 本题也可设辅助函数为(x)lnxlna2242或 (xa),eaxe2e(x)ln2bln2x42，再用单调性进行证明即可. (bx),exbe2e（16）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k6.010). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

注kg表示千克，km/h表示千米/小时.

【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.

【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0700km/h. 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).

根据牛顿第二定律，得

6dvkv. dtdvdvdxdv又 v，

dtdxdtdx m

由以上两式得 dx积分得 x(t)mdv， kmmvC. 由于v(0)v0,x(0)0，故得Cv0，从而 kkm x(t)(v0v(t)).

k当v(t)0时， x(t)mv090007001.05(km). k6.0106所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 m所以

dvkv, dtdvkdt. vmktm两端积分得通解vCektm，代入初始条件vt0v0解得Cv0，

故 v(t)v0e.

k飞机滑行的最长距离为 x0mv0mtv(t)dtekkk0mv01.05(km). kktttkv0mtdxmmv0e，(e1)，或由知x(t)v0edt故最长距离为当t时，

0dtmx(t)kv01.05(km). md2xdx【详解3】 根据牛顿第二定律，得 m2k,

dtdtd2xkdx0， 2mdtdt其特征方程为

2kk0，解之得10,2， mm.

故 xC1C2ektmdx0,v 由 xt0t0dtkCt2emt0mkt0v0，

ktmv0mv0(1em). 得 C1C2, 于是 x(t)kk 当t时，x(t)mv01.05(km). k所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t或v(t)0的极限值，这种条件应引起注意.

（17）（本题满分12分） 计算曲面积分

I3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy, 22其中是曲面z1xy(z0)的上侧.

【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加

的曲面上应用直接投影法求解即可.

【详解】 取1为xoy平面上被圆xy1所围部分的下侧，记为由与1围成的空间闭区域，则

22I 12xdydz2ydzdx3(z3321)dxdy

3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy. 1由高斯公式知

1332222xdydz2ydzdx3(z1)dxdy6(xyz)dxdydz 211r2 =60ddr00(zr2)rdz

32 =12[r(1r)r(1r)]dr2.

011222而

2xdydz2ydzdx3(z13321)dxdyx2y213dxdy3，

故 I23.

【评注】 本题选择1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).

（18）（本题满分11分）

设有方程xnx10，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证

n

明当1时，级数

x收敛.

nn1【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.

【证】 记

fn(x)xnnx1. 由fn(0)10，fn(1)n0，及连续函数

n的介值定理知，方程xnx10存在正实数根xn(0,1).

n1当x>0时，fn(x)nxn0，可见fn(x)在[0,)上单调增加, 故方程

xnnx10存在惟一正实数根xn.

n由xnx10与xn0知

n1xn11，故当1时，0xn 0xn(). nnn1而正项级数收敛，所以当1时，级数xn收敛.

n1nn1

【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度

并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.

（19）（本题满分12分）

设z=z(x,y)是由x6xy10y2yzz180确定的函数，求zz(x,y)的极值点和极值.

【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.

【详解】 因为 x6xy10y2yzz180，所以 2x6y2y222222zz2z0， xxzz2z0. yy 6x20y2z2yz0,x令  得

z0y故 x3y0, 3x10yz0,x3y,

zy.

将上式代入x6xy10y2yzz180，可得

222

x9,y3, 或 z3x9,y3, z3.2zz22z由于 22y22()2z20，

xxxz2zzz2z2y22z0, 62xxyyxxyzz2zz22z 20222y22()2z20，

yyyyy2z所以 Ax2故ACB22z1，B(9,3,3)xy612z，C2(9,3,3)2y(9,3,3)5， 3110，又A0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 3662z1，B(9,3,3)xy612z，C2(9,3,3)2y类似地，由

2z Ax2可知ACBz(-9, -3)= -3.

25，

(9,3,3)3110，又A0，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 366【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意

x,y,z满足原方程.

（20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

(1a)x1x2xn0,2x(2a)x2x0,12nnx1nx2(na)xn0,(n2)

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a的可能取值进行讨论即可.

【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

1111a1a11122aa002a22B. Annnanna00a 当a=0时， r(A)=11(1,1,0,,0)T, 2(1,0,1,,0)T,,n1(1,0,0,,1)T,

于是方程组的通解为

xk11kn1n1, 其中k1,,kn1为任意常数.

当a0时，对矩阵B作初等行变换，有

n(n1)1a111a000221002100.  Bn001n001n(n1)时，r(A)n1n，故方程组也有非零解，其同解方程组为 22x1x20,3xx0,13 

nx1xn0,可知a由此得基础解系为

(1,2,,n)， 于是方程组的通解为

xk，其中k为任意常数.

【详解2】 方程组的系数行列式为

T1a A12an12n12(an(n1)n1)a. 22nna当A0，即a=0或an(n1)时，方程组有非零解. 2当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有

1111111122220000， Annnn00000故方程组的同解方程组为 x1x2xn0, 由此得基础解系为

1(1,1,0,,0)T, 2(1,0,1,,0)T,,n1(1,0,0,,1)T,

于是方程组的通解为

xk11kn1n1, 其中k1,,kn1为任意常数.

n(n1)时，对系数矩阵A作初等行变换，有 21111a1a122aa2a22 Annnnana0当a100 0a11a111000021002100， n001n001故方程组的同解方程组为

2x1x20,3xx0,13 

nx1xn0,由此得基础解系为

(1,2,,n)， 于是方程组的通解为

xk，其中k为任意常数.

【评注】 矩阵A的行列式A也可这样计算：

T

1111a1111222222a22=aE+，矩阵Annnannnnn11112222的特征值为0,,0,n(n1)，从而A的特征值为2nnnnn(n1)n(n1)n1a,a,,a, 故行列式A(a)a.

22（21）（本题满分9分）

123 设矩阵A143的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相1a5似对角化.

【分析】 先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化即可.

【详解】 A的特征多项式为

1 EA233114a112(2)14103a03

55 =(2)14a(2)(28183a).

152当2是特征方程的二重根，则有216183a0, 解得a= -2.

123当a= -2时，A的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=123的秩为1，故2对应123的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.

若2不是特征方程的二重根，则8183a为完全平方，从而18+3a=16，解得 a.

223

3232当a时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=103秩为2，故4对

32113应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.

【评注】 n阶矩阵A可对角化的充要条件是：对于A的任意ki重特征根i，恒有

nr(iEA)ki. 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.

(22)（本题满分9分） 设A,B为随机事件，且P(A)111,P(BA),P(AB)，令 432 X1,A发生,1,B发生, Y

0,A不发生;0,B不发生.求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数XY.

【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随

机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.

【详解】 （I） 由于P(AB)P(A)P(BA)1， 12 P(B)P(AB)1,

P(AB)6所以， P{X1,Y1}P(AB)1， 121， 61 P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB),

12 P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB) P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)

2 31112）（或P{X0,Y0}1， 126123=1P(A)P(B)P(AB)故(X,Y)的概率分布为 Y

X 0 1

2 31 1

6 0 1 121 12(II) X, Y的概率分布分别为

X 0 1 Y 0 1

3151 P 446611351则EX,EY，DX，DY=, E(XY)=,

461636121故 Cov(X,Y)E(XY)EXEY，从而

24 P

XYCov(X,Y)DXDY15. 15【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.

（23）（本题满分9分） 设总体X的分布函数为

11,x1, F(x,) xx1,0,其中未知参数1,X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，求：

（I） 的矩估计量； （II） 的最大似然估计量.

【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方

法进行讨论即可.

【详解】 X的概率密度为

x1,, f(x,)x1

x1.0,（I） 由于 EXxf(x;)dxx1xdx11，

令

1X，解得 X，所以参数的矩估计量为 X1

ˆ X. X1（II）似然函数为

n,x1(i1,2,,n), L()f(xi;)(xxx)1i

12ni10,其他n当xi1(i1,2,,n)时，L()0，取对数得

lnL()nln(1)lnxi，

i1n两边对求导，得

ndlnL()nlnxi，

di1令

dlnL()0，可得 dnlnxi1n，

i故的最大似然估计量为

ˆ nlnXi1n.

i【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.