高二双曲线练习题及答案(整理)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．到两定点F13,0、F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹 （ ）

A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线

x2y22．方程 （ ） 1表示双曲线，则k的取值范围是

1k1k A．1k1 B．k0 C．k0 D．k1或k1

x2y23． 双曲线2 （ ） 1的焦距是

m124m2A．4 B．22 C．8 D．与m有关

2

4．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx+my2=mn所表示的曲线可

能是

y y y y o x o x o x o x 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 A．

3 2 D．

3

（ ）

B．3 C．

4 3x26．焦点为0,6，且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

2x2y2y2x2y2x2x2y2A．B．C．D．1 1 1 1

1224122424122412x2y2x2y27．若0ka，双曲线2（ ） 1与双曲线221有

akb2kabA．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点

x2y21左焦点F1的弦AB长为6，则ABF2（F2为右焦点）的周长是（ ） 8．过双曲线169A．28 B．22

4C．14 D．12

29．已知双曲线方程为x2y1，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有

（ ）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

x2x222210．给出下列曲线：①4x+2y－1=0; ②x+y=3; ③y1 ④y21，其中与直线

22y=－2x－3有交点的所有曲线是 （ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）

x2y211．双曲线1的右焦点到右准线的距离为__________________________．

9710x2y212．与椭圆1有相同的焦点，且两准线间的距离为的双曲线方程为____________．

31625

1

x2y213．直线yx1与双曲线1相交于A,B两点，则AB=__________________．

23x24．过点M(3,1)且被点M平分的双曲线y21的弦所在直线方程为 ．

4三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．求一条渐近线方程是3x4y0，一个焦点是4,0的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12

分）

16．双曲线x2y2a2a0的两个焦点分别为F1,F2，P为双曲线上任意一点，求证：PF1、PO、PF2成等

比数列（O为坐标原点）．（12分）

1

17．已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－.

3

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．（12分）

2

18．已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2y1总有公共点，试求实数k的取值范围.（12

分）

22x2y219．设双曲线C1的方程为221(a0,b0)，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任

ab意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.

（1）求Q点的轨迹方程;

（2）设（1）中所求轨迹为C2，C1、C2

的离心率分别为e1、e2，当e1

3

2时，e2的取值范围（14分）

20．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，

正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 A 9 B 10 D 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 7y2x211． 12．1 13．46 14．3x4y50

454三、解答题（本大题共6题，共76分）

2215．（12分）[解析]：设双曲线方程为：9x16y，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0

222双曲线方程化为：xy11648，

9162591622∴双曲线方程为：xy1 ∴e45．

2561441642525516．（12分）[解析]：易知ba,c则PF12(xa)，PF222a,e2，准线方程：xa，设Px,y，

22(xa2)，POa22PF2(x)2x2a2 x2y2，PF122 x2(x2a2)x2y2PO2 PF1、PO、PF2成等比数列.

17．（12分）

[解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝2.设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，2a＞2c＝22，∴a＞2

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－|F1F2|22a2－4

由余弦定理有cos∠F1PF2＝＝＝－1

2|PF1||PF2|2|PF1||PF2||PF1||PF2|

|PF1|＋|PF2|2

∵|PF1||PF2|≤()＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2.

2

2a2－42a2－41

此时cos∠F1PF2取得最小值2－1，由题意2－1＝－，解得a2＝3，b2a2c2321

aa3

2x

∴P点的轨迹方程为＋y2＝1.

3

x2 y21 ①(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由， 将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 (*)

3ykxm②

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝

x1＋x2－3kmm

＝ 2，y0＝kx0＋m＝21＋3k1＋3k23kmm

即Q(－) ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上， 2，1＋3k1＋3k2 4

m

＋11＋3k21＋3k2

∴klkAB＝k·＝－1 ，解得m＝ …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，

3km2－

1＋3k2即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④ ，将③代入④得

1＋3k222

12[1＋3k－()]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).

2

ykxb2x2y21消去y得(2k2－1)x2+4kbx+（2b2+1）=0,

18．（12分）[解析]：联立方程组当12k20,即k当12k20,即k2222若b=0，则k；若b0x2b1，不合题意. 时，222b2依题意有△=(4kb)2－4(2k2－1)(2b2+1)＞0，2k22b21对所有实数b恒成立，时，22

2k(2b1)min∴2k<1，得22k. 22Q 19．（14分）[解析]：（1）解法一：设P(x0,y0), Q(x ,y )

A(a,0),B(a,0),QBPB,QAPAyy0xaxa1(1)0y0y1(2)x0axa由(1)(2)得:y20x0a22

y2xa221(3) x20a2y20b21,y20x0a22b2a2

代入(3)得b2y2x2a2a4,即a2x2b2y2a4

经检验点(a,0),(a,0)不合,因此Q点的轨迹方程为:a2x2－b2y2=a4（除点（－a,0）,(a,0)外）. 解法二：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA ∴

y0y1……（1）连接PQ，取PQ中点R,

x0axaPAQA,QBPB,|RA|11|PQ|,|RB||PQ|,|RA||RB|,R点在y轴上222x0xy0yx0a20,即x0x(2),把(2)代入(1)得:21,y0(3)2yax2

22x0y0x2(x2a2)222把(2)(3)代入221,得21.xa时,不合题意,xa0abay2b2整理得:a2x2b2y2a4,Q点轨迹方程为a2x2b2y2a4(除去点(a,0),(a,0)外)(2)解:由(1)得C2的方程为x2a2y2a4a1, e22221 b21a1a1a2b2c2a2e21a4b2(2)120．（14分）[解析]：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、

北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

22由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线xy1上， 依题意得a=680, c=1020，

a2b22e12, e21122, 1e2

b2c2a210202680253402,故双曲线方程为:x26802y2534021

5

用y=－x代入上式，得x6805，∵|PB|>|PA|,x6805,y6805,

即P(6805,6805),故PO68010,答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心68010m处.

6