常微分方程

容易题1-8 中等题9-36 难题37-40

1．微分方程yytanxcosx0的通解为 y(xC)cosx。 2．过点(,0)且满足关系式yarcsinx12y1x21的曲线方程为

yarcsinxx1。 23．微分方程xy3y0的通解为 yC1C2。 x24．设y1(x),y2(x),y3(x)是线性微分方程ya(x)yb(x)yf(x)的三个特解，且

y2(x)y1(x)C，则该微分方程的通解为

y3(x)y1(x)yC1(y2(x)y1(x))C2((y3(x)y1(x))y1(x)。

5．设y13x,y23xe22x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次

2x方程的一个解为y3x，则该微分方程的通解为y3xC1xC2e6．设出微分方程y2y3yxxex。

excos2x的一个特解形式

y*AxBx(CxD)exex(Ecos2xFsin2x)。

7．微分方程y2y2ye的通解为 ye(1C1cosxC2sinx)。 8．微分方程y4ye2xxx的通解为 yC1e2x1C2xe2x。

49．函数yC1cos2xC2sin2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y4y0。 10．若连续函数f(x)满足关系式 f(x)11．设曲线积分

2x0tf()dtln2，则f(x)e2xln2。 2[f(x)eLx]sinydxf(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续

导数，且f(0)0，则f(x)等于[ ] (A)

1x1(eex)。 (B) (exex)。

22(C)

1x1(eex)1。 (D) 1(exex)。 221xeCex。由2答B

注：根据题意，f(x)cosy[f(x)ex]cosy，解得f(x)11f(0)0，得C，所以f(x)(exex)，即选项(B)正确。

2212．若函数ycos2x是微分方程yp(x)y0的一个特解，则该方程满足初始条件

y(0)2的特解为[ ]

(A) ycos2x2。 (B) ycos2x1。 (C) y2cosx。 (D) y2cos2x。

答D

注：根据解的结构，通解为yCcos2x，由y(0)2得C2。故选项(D)正确。

其他选项经验证不满足方程或定解条件。

13．设函数y1(x),y2(x)是微分方程yp(x)y0的两个不同特解，则该方程的通解为[ ]

(A)yC1y1C2y2。 (B) yy1Cy2。 (C) yy1C(y1y2)。 (D) yC(y2y1) 。

答D

注：因为y1(x),y2(x)是微分方程yp(x)y0的两个不同特解，所以y2y1是该

方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为yC(y2y1)，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当y20时，选项(B)不对。当y2y1时，选项(C)不对。

14．已知函数yy(x)在任意点x处的增量y[ ]

(A)2。 (B)。 (C)e。 (D) e。

答D

4yxo(x),y(0)，则y(1)等于21x4

注：根据微分定义及微分与导数的关系得yy1x2，解得lnyarctanxC，由

y(0)，得Cln，所以y(1)earctan1e4。因此选项(D)正确。

15．设函数yf(x)是微分方程y2y4y0的一个解。若f(x0)0,f(x0)0，则函数f(x)在点x0[ ]

(A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。 (C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。

答A

注：因为f(x0)0，f(x0)4f(x0)0，所以选项(A)正确。

16. 设y1,y2是二阶常系数线性齐次方程ypyqy0的两个特解，C1,C2是两个任意常数，则下列命题中正确的是[ ] （A） C1y1C2y2一定是微分方程的通解。 （B）C1y1C2y2不可能是微分方程的通解。 （C）C1y1C2y2是微分方程的解。 （D）C1y1C2y2不是微分方程的解。

答C

注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当y1,y2线性相关时，选项（A）

错误, 当y1,y2线性无关时，选项（B）错误。

17. 微分方程yye1的一个特解应具有形式[ ]

x(A)aeb。 (B)axeb。

xx(C) aebx。 (D) axebx。

xx

答B

注：相应齐次方程的特征根为1,1，所以yyex的一个特解形式为axe，

xyy1的一个特解形式为b。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为axexb，即选

项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。

xxx18. 具有特解y1e,y22xe,y33e的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ]

(A)yyyy0。 (B) yyyy0。 (C) y6y11y6y0。 (D) y2yy2y0。

答B

注：根据题意，1,1是特征方程的两个根，且1是重根，所以特征方程为

故所求微分方程为yyyy0，即选项(B)(1)(1)23210。正确。

19. 设y1e,y2x是三阶线性常系数齐次微分方程yaybycy0的两个特解，则a,b,c的值为[ ]

(A)a1,b1,c0。 (B)a1,b1,c0。 (C)a1,b0,c0。 (D)a1,b0,c0。

答C

x

注：根据题意，1,0是特征方程的两个根，且0是重根，所以特征方程为

(1)2320。故原微分方程应为yy0，所以a1,b0,c0即选

项(C)正确。

20. 设二阶线性常系数齐次微分方程ybyy0的每一个解y(x)都在区间(0,)上有界，则实数b的取值范围是[ ]

(A)b0。 (B)b0。 (C)b4。 (D)b4。

答A

bb24x2ebb24x22e，所以，当b

注：因为当b2时，y(x)C1C240时，要想使y(x)在区间(0,)上有界，只需要bb40,bb40，即

22b2。当b240时，要想使y(x)在区间(0,)上有界，只需要bb24与

bb24的实部大于等于零，即0b2。当b2时，y(x)C1exC2xex在区

22间(0,)上有界。当b2时，y(x)C1exC2xex(C1C20)在区间(0,)上无

界。综上所述，当且仅当b0时，方程ybyy0的每一个解y(x)都在区间(0,)上有界，即选项(A)正确。

21．求微分方程x1yyy1x20的通解。 解：方程两端同乘以，得

，

此方程是一个变量分离方程，其通解为

21y21x2C(C2)。

22．求微分方程的通解。

解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程

dy1y0， dxx得其通解为

lnyln

令yCC，即y。 xxC(x)，代入原方程，得 xxC(x)C(x)C(x)sinx， 22xxx解得

C(x)cosxC。

所以原方程的通解为

y 。

23．求解微分方程。

1(cosxC)。 x注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得

解：将y看成自变量，x看成是的y函数，则原方程是关于未知函数的一阶线性微分方程

dxxyey， dyy此方程通解为

11dyydyyyxeCyeedyCyyey，

其中C是任意常数。`

24．求微分方程x2yxyy2满足初始条件y(1)1的特解。 解：将原方程变形，得

yyy，

xx这是一个齐次型方程。令yxu，代入上式，得

2xuu22u，

分离变量，得

dudx， 2xu2u积分，得

u2Cx2， u即

y2xCx2。 y

因为y(1)1，所以C1。于是所求特解为

y2x。 21x25．设yex施微分方程xyp(x)yx的一个解，求此微分方程满足条件y(ln2)0的特解。

解：将yex代入原方程，得

xexp(x)exx，

解出

p(x)xexx。

所以原方程为

xy(xexx)yx，

解其对应的齐次方程，得

yCexe。

所以原方程的通解为

xye

由y(ln2)0，得Cexxex。 Ce12。故所求特解为

yexe26．求微分方程

xex12。

1yy4xyx的通解。 2x1解：将原方程化为

y这是一个伯努利方程。令 z4xyxy， 2x1y，则原方程化为 dz2xx2z。 dxx12这是一个一阶线性微分方程，解得

z所以原微分方程的通解为

12(x1)(Cln(x21))， 421(x21)(Cln(x21))。 16yz2z27．求微分方程(1e)dxe(1xyxyx)dy0的通解。 yx，y解：将y看成自变量，则xx(y)是y的函数。由于原方程是齐次型方程，令u(y)原微分方程化为

euu， yuue1这是一个变量可分离的方程，解得

y(euu)C。

所以原方程的通解为

yexC。

xyP(x,y)xQ(x,y)x另解：令 P(x,y)1e,Q(x,y)e(1)，则，2eyyxyyxyxyx所以，在y0时，原方程为全微分方程。令

(x,y)u(x,y)(0,1)x(1e)dxe(1)dy，

yxyxyxyxy由于此曲线积分与路径无关，所以u(x,y)就是全微分式(1e)dxe(1函数，且

x)dy的一个原yu(x,y)(x,y)(0,1)y0yx(1e)dxe(1)dyyxxyxy1x0e(1)dy(1ey)dx0 yxyy1xy(e1)yex1。所以原方程的通解为

xyyexC。

28．设为实数，求微分方程yy0的通解。

2解：此方程的特征方程为0，所以，

xy （1）当0时，特征方程有一对复根 i ，方程有两个线性无关解

cosx,sinx。因此微分方程的通解为

yC1cosxC2sinx(C1,C2R)。

（2）当0时，特征方程有一个二重根0。方程有两个线性无关解1,x,于是微分方程的通解为

yC1C2x。

（3）当0时，特征方程有两个单重实根 。方程有两个线性无关解

ex,ex，所以微分方程的通解为

xyC1exC2e(C1,C2R)。

29．求微分方程yy2x21的通解。

解 将方程写作yy(2x21)e0x。因为0是特征方程20的单根，所以原方程一个特解形式为

y*(x)ax3bx2cx，

将此解代入原方程，得

3ax2(2b6a)x(c2b)2x21，

比较两端同次项的系数，有

3a2,2b6a0,c2b1。

解上述方程组，得

2a,b2,c5。

3从而得到原方程的一个特解

y*(x)23x2x25x。 3又因为相应齐次方程yy0的通解为

yC1C2ex。

所以原方程的通解为

yC1C2ex

23x2x25x。 3另解：方程yy2x21两端积分，得

yy23xxC1， 3这是一个一阶线性微分方程，其通解为

2yex(C2(x3xC1)exdx)32C1C2exx32x25x5

32C1C2exx32x25x。330．求解微分方程y2yy4xex。

解：因为1是特征方程2210的重根，所以原方程的一个待定特解为

y*x2(axb)ex，

将此解代入原方程，得

(6ax2b)ex4xex。

比较两端系数，得a2,b0。于是得到原方程的一个特解 32y*x3ex。

3 又因为相应齐次方程的通解是

y(C1C2x)ex。

因此原方程的通解为

y(C1C2x)ex23xxe。 331．求微分方程yyxcosx的通解。 解：原方程所对应齐次方程的通解为

yC1cosxC2sinx。

设非齐次方程yyx的一个特解为

y1AxB，

代入次方程，得 A1,

B0。所以 y1x。

设非齐次方程yycosx的一个特解为

y2ExcosxDxsinx，

代入方程，得 E0,D11。所以 y2xsinx。 22因为y1y2为原方程的一个特解，所以原方程的通解为

yC1cosxC2sinxx1xsinx。 22232．求解微分方程 yy(y)ylny。

解：因为原微分方程不显含自变量x，所以这是一个可降阶微分方程。 令 u(y)y(x)，则y(x)u(y)y(x)uu。原方程变为

yuuu2y2lny。

再令 p(y)u(y)，则有

2p这是一个一阶线性微分方程，求得

2p2ylny， ypy2(Cln2y)。

所以

uy2(Cln2y)，

故

y这是个变量可分离微分方程，解得

y2(Cln2y)。

lnlnyCln2yxC1，

这就是原微分方程的通解。

注：方程yuuuylny是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。 33．求解微分方程y3y3yyex22(x5)。

解：微分方程 y3y3yy0的特征方程为

332310，

1是其三重特征根。所以该齐次方程的通解为

yex(C1C2xC3x2)。

令原微分方程的一个特解形式为

y*x3(axb)ex，

代入原微分方程，并整理得

24ax6bx5，

所以 a15,b。因此原微分方程的一个特解为 246x31y(x5)ex，

64*故所求通解为

x31ye(C1C2xC3x)(x5)ex。

64x234．求解微分方程xyyx。 解：令 u(x)y(x)，则原方程化为

21uux，

x这是个一阶线性微分方程，解得

ux(C1x)。

因此 yx(C1x)，所以原微分方程的通解为

y1311xC1x2C2x3C1x2C2， 323其中C1,C2是任意常数。 另解：令p(x)得

y(x)，则原方程化为 p1，所以 pxC1。由yxpx(xC1)x13xC1x2C2。 33y235．求解微分方程xy2xy2yxlnx。 解：原方称为二阶欧拉方程。令 xe，得

tdy2d2ydyxy,xy2。

dtdtdt所以原微分方程化为

d2ydy3t32yet， 2dtdt其中t是自变量。

这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得

13yC1etC2e2t(t)e3t。

22所以原微分方程的通解为

yC1xC2x2其中C1,C2是任意常数。

133x(lnx)， 22y2x(y)2036．求解定解问题。

y(0)1,y(0)0解：令 u(x)y(x)，则原方程化为

u2xu20，

这是个变量可分离微分方程，解得

u根据 u(0)y(0)0，得u0。

1，或u0，

x2C由 y(x)u(x)0，得 yC1。因为 y(0)1，所以 C11，故原定解问题的解为

y1。

注：在求解变量可分离微分方程u2xu0时，容易丢掉解u0，从而得不到原定解问题的解。

2）37．已知函数f(x)在[0，上可导，f(0)1，且满足等式

f(x)f(x)1xf(t)dt0，

x10x求f(x)，并证明ef(x)1(x0)。

解：根据条件，得

(x1)(f(x)f(x))f(t)dt0，

0x））因为f(x)在[0，上可导，由上式，知f(x)在[0，上二阶导数存在，所以

f(x)(11)f(x)0， x1这是f(x)满足的一个一阶线性齐次方程，解得

Cexf(x)，

x1由于 f(0)f(0)1，所以 C1，故

exf(x)。

x1

ex0，所以f(x)f(0)1。又x0时，当x0时，因为f(x)x1xf(x)e

故

exxexxe0，所以f(x)exf(0)e00。

x1x1exf(x)1(x0)。

注：证明不等式时，只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函

数的表达式。

38．设p(x),q(x)为连续函数,证明方程yp(x)yq(x)的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。

证：记 yy1(x)为方程yp(x)yq(x)的一条积分曲线，则 方程yp(x)yq(x)的任一条积分曲线可记为yCy1(x)。曲线yy1(x)在点(x0,y1(x0))的切线方程为

(x0)(xx0)， yy1(x0)y1曲线yCy1(x)在点(x0,Cy1(x0))的切线方程为

(x0)(xx0)。 yCy1(x0)Cy1

求解方程组

(x0)(xx0)yy1(x0)y1， (x0)(xx0)yCy1(x0)Cy1得

xx0

y1(x0),y0。 (x0)y1所以，任一条积分曲线yCy1(x)与积分曲线yy1(x)在横坐标为x0的点处的切线

y(x)相交于与C无关的点(x010,0)，即方程yp(x)yq(x)的所有积分曲线上横坐

(x0)y1标相同的点的切线交于一点。

39．设p(x)在[0,)上连续非负，证明微分方程yp(x)y0的任意非零解满足

xlimy(x)0的充要条件是广义积分0p(x)dx发散。

证：设y(x)是方程yp(x)y0的任一解，则

y(x)C0e其中C0是非零常数。所以

p(t)dtx0，

xlimy(x)limC0exp(t)dtx00limp(t)dt， 0xx即limy(x)0的充要条件是广义积分

x0p(x)dx发散。

40． 设a0，函数f(x)在[0,)上连续有界，证明微分方程yayf(x)的解在

[0,)上有界。

证：因为原方程的通解为

y(x)eax(Cf(t)eatdt)，

0x满足定解条件y(x0)y0的解为

y(x)eax(y0f(t)eatdt)。

0x记f(x)在[0,)上的界为M，则当x0时，有

y(x)eax(y0f(t)eatdt)0xy0Meaxeatdt0xMy0(1eax)aMy0，a即y(x)在[0,)上有界。