1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC=CE•CA． （1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=
，求DF的长．
2
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若
=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
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3.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． (1)求证：AC平分∠DAB； (2)求证：△PCF是等腰三角形； (3)若tan∠ABC= 4，BE=72，求线段PC的长． 3 4.
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5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=
。
（1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。
6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3
，MN=2
．
（1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（
是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样
的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，
与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q． （1）求证：△ABC∽△OFB；
（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点
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8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是F，连接PC与PD，PD交AB于点G. （1）求证：△PAC∽△PDF；
上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点
（2）若AB=5，，求PD的长；
（3）在点P运动过程中，设
，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）
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1. 【解答】： （1）证明：∵DC=CE•CA， ∴=， 2△CDE∽△CAD， ∴∠CDB=∠DBC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴BC=CD； （2）解：如图，连接OC， ∵BC=CD， ∴∠DAC=∠CAB， 又∵AO=CO， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠DAC=∠ACO， ∴AD∥OC， ∴=， ， ∵PB=OB，CD=∴∴PC=4= 又∵PC•PD=PB•PA ∴PA=4也就是半径OB=4， 在RT△ACB中， AC=∵AB是直径， ==2， 专业.资料.整理
完美.格式.编辑 ∴∠ADB=∠ACB=90° ∴∠FDA+∠BDC=90° ∠CBA+∠CAB=90° ∵∠BDC=∠CAB ∴∠FDA=∠CBA 又∵∠AFD=∠ACB=90° ∴△AFD∽△ACB ∴ 在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=， ∴在RT△APF中有，求得DF=． 2 解：（1）如答图1，连接OG． ∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°， ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°， 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG， ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE． （2）AC∥EF，理由为： 连接GD，如答图2所示． ∵KG2
=KDGE，即=，
∴
=
，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD， ∴∠E=∠C， ∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如答图3所示．
sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t， ∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t． 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2
+HK2
=AK2
，
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即（3t）+t=（解得t=
．
22
），
2
设⊙O半径为r，
在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH+CH=OC， 即（r﹣3t）+（4t）=r，解得r=
2
2
2
2
2
2
t=．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形， 在Rt△OGF中，OG=r=
，tan∠OFG=tan∠CAH=
=，
∴FG= . 4
==．
5.
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7.
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