含参量的反常积分中的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法的证明

阿贝尔判别法（Abel）（1）fx,ydy在I上一致收敛；c（2）对xI，函数gx,y关于y单调，且对x，gx,y在I上一致有界，则含参量的反常积分fx,ygx,ydy在I上一致收敛.cN狄利克雷判别法（Dirichlet）（1）对一切Nc，fx,ydy对x在I上一致有界；c（2）对xI函数gx,y关于y单调，且当y时，对x，gx,y一致收敛于0，则含参量的反常积分fx,ygx,ydy在I上一致收敛.c引理：（积分第二中值定理的推论）见数学分析上册P.227设函数fx在a,b上可积.若gx单调，则a,b,s..tfxgxdxgafxdxgbfxdx.aabb阿贝尔判别法的证明证明：由于对参量x，gx,y在I上一致有界，于是M'0，对xI,yc，有g(x,y)M'.因为fx,ydy在I上一致收敛，由一致收敛的柯西准则c对0,Mc，当A2A1M时，对xI，有A2A1fx,ydy.2(M'1)又对xI，函数gx,y关于y单调，根据积分第二中值定理，对xI，A1,A2,s..t于是A2A1fx,ygx,ydygx,Afx,ydygx,Afx,ydy.12A1A2A2A1fx,ygx,ydyA2A1gx,A1fx,ydygx,A2fx,ydygx,A1M'A1fx,ydygx,Afx,ydy2A2M'M'.2M'12M'1M'1由一致收敛的柯西准则fx,ygx,ydy在I上一致收敛.cN狄利克雷判别法的证明证明：由于对一切Nc，fx,ydy对x在I上一致有界，于是cNM'0，对Nc,xI，有fx,ydyM'.c由当y时，对x，gx,y一致收敛于0，有对0,Mc,当yM时，对xI，有g(x,y).4(M'1)又对xI函数gx,y关于y单调，当A2A1M时，由积分第二中值定理，A1,A2，使得fx,ygx,ydygx,A1fx,ydygx,A2fx,ydy.A1A1A2A2于是A2A1fx,ygx,ydyA2A1gx,A1fx,ydygx,A2fx,ydygx,A1A1fx,ydygx,Afx,ydy2A2A2fx,ydyfx,ydy4(M'1)A1A1A2fx,ydyfx,ydyfx,ydyfx,ydy4(M'1)ccccA1A2fx,ydyfx,ydyfx,ydyfx,ydy4(M'1)ccccM'4M'.4(M'1)M'1根据一致收敛的柯西准则fx,ygx,ydy在I上一致收敛.c