关于等量点电荷周围场强及电势的分析

关于等量点电荷周围场强及电势的分析

作者：于锋

来源：《中学物理·高中》2014年第12期

在江苏省[教科版·高中物理·选修（3-1）]教材中关于电势概念的说明很抽象，而江苏省高考题对电势的考查几乎年年都有，统计发现这类题得分率很低.其实，只要教师在平时教学过程中注意渗透一些新方法并形成相关结论会大大提高学生解题的正确率.

单个点电荷产生的电场中场强、电势的分布比较简单，根据统计发现很多高考题考查时都会用到等量点电荷电势、电场强度分布的规律，所以，本文就对等量点电荷场强、电势的分布做一个讨论、小结.

1知识准备

点电荷电场强度公式E=kQr （其中k=14πε0）学生都已经熟知，但点电荷电势公式教材并未给出.其实，点电荷电势可以通过线积分来计算.如图1，一个点电荷q处于O点处，在点电荷q所产生的电场中，距离O点r处p点的电势，可以根据电势的定义式计算得到.选无穷远处为零电势点，积分路径沿Op方向由p点延伸到无穷远.由于积分方向选取与场强方向相同，p点电势很容易计算.

即φp=∫∞pE·dr=∫∞rq4πε0r2dr=q4πε0r=kqr（k=14πε0）.

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此式给出点电荷电场中任意一点电势大小的计算方法，同时可视q的正负，知道电势φ的正负.在正点电荷电场中各点电势均为正，离电荷越远电势越低（与r成反比）.在负点电荷电场中各点电势均为负，离电荷越远电势越高，无穷远处电势为零.所以，在以点电荷为中心的任意球面上电势都是相等的，这些球面都是等势面.

2模型分析

2.1等量点电荷连线上的电场强度

如图2，A、A′、B、B′对称，根据公式E=kQr2及矢量运算法则，知EA=kQr2MA+kQr2NA，以此类推知EA=EA′>EB=EB′，方向相同均向右，如图4.

如图3，A、A′、B、B′对称，EA=kQr2MA-kQr2NA，以此类推有EA=EA′>EB=EB′，A、B方向相同，与A′、B′方向相反，如图5.

2.2等量点电荷连线上的电势

如图2，根据公式φ=kqr，知φA=kQrMA+k-QrNA>0，以此类推有φA>φB>0>φB′>φA′，且根据对称性有φA=-φA′，φB=-φB′，如图6.

如图2，设在+Q两侧有A、C两点，经计算一定存在φC=φA=0，设在-Q两侧有A′、C′两点，经计算也一定存在φA′=φC′

如图3，根据公式知φA=kQrMA+kQrNA>0，由对称性知φA>φB>0，

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φA′>φB′>0，并且φA=φA′，φB=φB′.

设在M点的+Q两侧有A、C两点，经计算一定存在φC=φA>0.设在N点的+Q两侧有A′、C′两点，经计算也一定存在φA′=φC′>0.如C、C′也对称，则一定有φC=φC′，如图7.

2.3等量点电荷连线中垂线上的电场强度

如图2，ED=EQD+E-QD，根据对称性ED=ED′，场强方向均向右，根据距离的变化有EO>ED，如图8.

如图3，ED=EQD+EQD，根据对称性ED=ED′，D与D′方向相反.中垂线上的O点和无穷远处场强均为零，所以从O→∞场强先增大后减小，如图9.

2.4等量点电荷连线中垂线上的电势

如图2，根据公式知φD=kQrMD+k-QrND=0，以此类推φO=φD=φD′=0，所以中垂线是一条电势为零的等势线.

如图3，根据公式知φD=kQrMD+kQrND，所以中垂线上从O→∞电势一直减小，如图10.

3模型拓展

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（1）掌握了以上规律，很容易理解单个点电荷的场强和电势分布情况，如图11、12中的A、B、C三点场强和电势关系一目了然.

（2）有了等量点电荷连线和中垂线上场强和电势的讨论，不难分析出如图13中的等势面虽然对称但大小并不相等，而图14中的等势面不仅对称大小也相等.

（3）根据U=Ed还可以衍生出E=ΔφΔx这样一个重要结论，即电势随位置变化的图象（φ-x图象）中某点的斜率可以表示场强的大小和方向.

综上所述，如果教师在平时的教学过程中就注意总结归纳相关规律，一些看似抽象的概念的教学也能够被形象化，从而于潜移默化中增强了学生的综合能力.