现代误差理论对齿轮误差测量的应用研究

1 绪论

1.1 齿轮误差测量的研究背景

为了保证齿轮传动质量和进行齿轮加工精度的工艺分析，需要对齿轮的加工误差及齿轮副的传动误差进行测量。齿轮误差的测量方法主要分为单项测量和综合测量两类。单项测量是对被测齿轮的单个被测项目分别进行测量，综合测量是将被测齿轮与理想精确的测量齿轮作单面啮合(或双面啮合)进行测量，通过测得的读数或记录曲线，综合判别被测齿轮的精度。目前，生产中使用的齿轮量仪，大多数用于测量单个齿轮的几何参数，综合测量则多用于批量生产的齿轮检验。

齿轮动态整体误差测量法，是一种很有发展前途的测量新技术。它克服了齿轮传动测量方法的缺点，除了能评定齿轮综合误差和齿轮副侧隙外，还能给出供工艺分析用的单项误差。

渐开线圆柱齿轮传动是各种齿轮传动类型中应用最为广泛的。学习和研究渐开线圆柱齿轮精度设计及其检测，必须了解齿轮精度标准的突出特点:对齿轮传动使用要求的分析研究是建立齿轮精度标准体系的前提；对齿轮传动制造误差的分析研究是建立齿轮精度标准体系的基础；而齿轮传动的测量项目是构成齿轮精度标准体系的主体。

1.2 现代理论的研究目的

齿轮是机器和仪器的重要零件，齿轮的精度在一定程度上影响着整台机器或仪器的质量。齿轮的设计、工艺、制造、检验以及销售和采购都以齿轮精度标准为重要依据。齿轮应按照使用时的工作条件选用合适的精度。齿轮精度的选择对齿轮的加工性能和使用寿命都有直接的影响。传统的精度设计方法要反复查阅有关国标，进行大量的重复计算，且易出错。本课题是用不确定度理论代替传统误差理论对齿轮误差测量进行分析。 传统误差分析的方法并不是在所有的场合都容易做到定量表述或便于操作，特别是在对测量精度要求越来越高的场合，因此我们用不确定度理论对实验进行分析。

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2 测量不确定度概述

测量不确定度在传统定义上是指与测量结果相关的基本参数之一，它主要用来表示被测量值的分散情况。测量不确定度一般是一个给定的倍数或标准偏差，或者也可以是在给定置信度区间内的半宽度。

2.1 正确表述测量不确定度的意义

由于测量误差客观存在，故测量结果在不同程度上偏离真值，测量误差是测得值与真值之差。然而真值一般是不可知的，因此，误差和误差分析的方法并不是在所有场合都容易做到定量表述或便于操作，特别是在对测量精度要求越来越高的场合。因此，人们一直在追求以某种最佳方式估计被测量的值，并客观评价其测量的可靠程度，即所谓的测量精度如何。测量不确定度是表征测量结果的一个容易定量，并便于操作的质量指标，它的大小决定了测量结果的使用价值。测量不确定度越小，测量结果对真值越接近，其质量越高，其使用价值也越高；反之，测量不确定度越大，测量结果对真值越“远离”，其质量越低，其使用价值也越低。因此，当给出的测量结果附有不确定度的说明时，才是完整和有意义的。

2.2 不确定度的由来

测量不确定度是指表征合理赋予被测量之值得分散性，并与测量结果相联系的参数。 这个参数是一个表示测量结果的质量指标，它可用标准差或其倍数表示，它是置信区间半宽度。

“不确定度”一词起源于1927年德国物理学家海森堡在量子学领域中提出的测不准关系，也称为不确定度关系（uncertainty relation）。1953年Y.Beers在《误差理论导引》一书中指出，挡我们给出实验误差为±0.000009×10-10时，它实际上是估计的实验不确定度。1970年C.F.Dietrich出版了《不确定度、校准和概率》。1973年英国国家屋里实验室（NPL)的J.E.Burns，P.J.Capion，A.Williams指出，挡讨论测量准确度时，宜用不确定度。1978年美国标准局（NBS）局长E.Ambler提请国际计量局（BIPM）注意不

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确定度的重要性，BIPM随机发出不确定度征求意见书，真球各国和国际组织的意见。

1980年，BIPM召开会议，讨论了各国的意见，提出了实验不确定度建议书INC-1(1980)。1981年10月国际计量委员会（CIPM）第70届会议提出了建议书（CI-1981)，同意INC-1。1986年CIPM第75届会议又提出了建议书（CI-1986)，再次重申CI-1981建议，并委托ISO联络其他六个国际组织，即IEC（国际电工委员会）、BIPM（国际计量局）、OIML（国际法制计量组织）、IUPAC（国际理论化学与应用化学联合会）、IUPAP（国际理论物理与应用物理联合会）、IFCC（国际临床化学联合会）组成国际不确定度工作组，负责制定用于计量、生产、科学研究中的不确定度指南。经过多年研究和征求意见，1993年出版了《测量不确定度指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement,简称GUM）。该指南是不确定度的重要权威性文献，它协调并统一了评定和表示测量结果的通用规则，得到世界各国的广泛推广和应用

2.3 测量不确定度的评定方法

2.3.1 标准不确定度的A类评定

在等精度独立的测量条件下，对被测量X的n次独立重复观测得系列值xi，取其算术平均值x是对测量总体的期望值的一个最佳估计，记为：

1nxxi （2-1） ni1x的标准不确定度为：

u(x)s(x)n[1(xix)2]1/2 （2-2） n(n1)注意要满足三个条件：n次观测的条件相同；n次观测独立；n足够大。这是x才是ux的最佳估计，s2(x)才是2(x)的无偏估计。否则，要考虑它们之间的差别。 2.3.2 标准不确定度的B类评定

如果因时间和资源等因素的限制，无法或不宜用A类方法评定测量结果的不确定度，则可收集对测量有影响的信息，诸如知识、经验和资料，合理地给出被测量X估计值x的标准不确定度u(x)。

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（1）B类评定时的信息来源 ①以前的测量数据；

②测量经验、有关一起的特性和其他材料的知识； ③生产厂的说明书；

④校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件； ⑤引用的手册等。 （2）B类评定的方法

①根据可利用的信息，分析判断被测量的可能值不会超出的区间（-e，e）及其概率分布，由要求的置信水平估计置信因子k，得测量不确定度为u(x)=e/k。

②如根据有用信息，得知估计x的不确定度以标准差的几倍表示，则标准不确定度u（x）可简单取为该值与倍数之商。

B类评定的可靠性取决于可用信息的质量。在可能的情况下，尽量用长期观测值来估计概率分布；A类评定不一定比B类评定可靠，特别是当A类评定时所用的观测数据很有限的情况。

2.4 标准不确定度的合成

（1）直接测量

如果测量结果的标准不确定度包含M个不确定度分量，当各分量见相互独立时，可用方和根法合成，得

uc{ui} （2-3）

2i1M12其中各分量中应计入所有的影响量，包括估计修正值的不确定度等，不论它们是A类分量还是B类分量。

（2）间接测量

如果被测量Y是n个输入量X1，X2，„，Xn的函数Y=f（X1，X2，„，Xn），各Xi间可能彼此相关。y是Y的估计值，x1，x2，„，xn分别是X1，X2，„，Xn的估计值，则测量结果Y=f（x1，x2，„，xn），其合成标准不确定度为

nnf22ffuc(y)[()u(xi)2u(xi,xj)]1/2 （2-4）

i1xii1ji1xixjn第 4 页 共 4 页

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式（2-4）称为不确定度传播公式。式中，f/xi为f/Xi在Xi=xi处的值，又称为灵敏系数；u（xi）为输入量估计xi的标准不确定度；u（xi，xj）为xi与xj在（xi，xj）处的协方差，u（xi，xj）=r（xi，xj）·u（xi）·u（xj），r（xi，xj）是Xi和Xj在（xi，xj）处的相关系数。

如果将影响量也当作输入量，且单位量与输出量一致，则可以将式（2-2）视为式（2-3）的特例。有时，为简化不确定度的合成计算，可以设法合并诸相关量，以避开相关系数的计算。

（3）相关系数

实际工作中，常用公式（2-5）计算相关系数：

r(xi,xj)(xk1nk1nikxi)(xjkxj)2n （2-5）

[(xikxi)(xjkxj)2]1/2k1 一般情况下求相关系数很复杂，实际应用中测量人员也可根据测量条件和经验，分析判断下述两种特殊情形。 ①r=0的情形

a. 两分量相互独立或不可能相互影响； b. 一分量增大或减小时，另一分量可正可负；

c. 不同体系产生的分量，如人员引起的分量与温度引起的分量； d. 两分量虽相互有影响，但确认其影响甚微； e. r在[-1，1]上对称分布，平均而言，视为r=0。 ②r=1的情形

a. 两分量间有正线性关系；

b. 一分量增大或减小时，另一分量亦增大或减小；

c. 同一体系产生的分量，如用1m基准尺测2m尺，则该基准尺的不确定度引起2个1m的分量间r=1；

d. 两分量间近似正线性，简化取r=1；

e. 已知正相关，可靠起见，取r=1。

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2.5扩展不确定度的评定

2.5.1 概述

在传统场合多用合成标准不确定度uc来表示测量结果的分散性，但在其他一些商业、工业和计量法规，以及涉及健康及安全的领域，常要求采用扩展不确定度来表示。 扩展不确定度可以用两种不同的方法来表示。一种是采用标准差的倍数，即用合成标准不确定度乘以包含因子，即

Ukuc （2-6）

另一种是根据给定的置信概率或置信水平p来确定扩展不确定度，即

Upkpuc （2-7）

在上述公式中，关键是确定包含因子，其方法主要有自由度法、超越系数法和简易法三种。

2.5.2 自由度法

根据中心极限定理，被测量在许多情况下服从正态分布或接近正态分布，故可以视统计量(xx)/u(x)（x为x的算术平均值）服从t分布。此时，包含银子可取为

kptp(eff) （2 -8）

式中eff为有效自由度，式中p为置信水平，常去95%或99%。当eff足够大时，包含因子可近似为k95=2或k99=3，故在有的场合，扩展不确定度近似按下两式表示

U95=2uc或U99=3uc （2-9）

2.5.3 超越系数法

当无法获得自由度信息，而大致知道测量分布且知其为对称分布时，可以根据分布的四阶矩（即超越系数）来确定其包含因子，称其为超越系数法。

设有若干个不确定度分量ui，每个分量对应的分布均对称，其超越系数分别记作

(i)，合成标准不确定度为uc，则其合成分布的超越系数为 44i(i)44iuu4c （2-10）

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(i)各种常见对称分布超越系数4可查表得，由上式算得4后，在查表即可得合成分布的

包含因子kp。 2.5.4 简易法

在不少场合，因没有关于被测量的标准不确定度的自由度和有关合成分布的信息，很难确定被测量值的估计区间及其置信水平。在这种情形下，建议直接取包含因子k=2或3.这里，称这种估计包含因子的方法为简易法。事实上，在假设测量近似服从正态分布的情形，取k=2，估计的扩展不确定度约有95%的置信水平，取k=3，估计的扩展不确定度约有99%的置信水平。

2.6自由度

2.6.1 研究自由度的意义

由于不确定度是用标准差来表征的，因此，不确定度的评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切相关，自由度越大，标准差越可信赖。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度的评定质量

2.6.2 自由度的概念

自由度定义为计算总和中独立项的个数，即总和的相数减去其中受约束的项数。 为了估计所评定的测量不确定度的自由度，常遇到以下几种情况。

情况1：对某量X进行一次测量x1，本可以作为量X的估计。为了提高估计的准确度，还独立测了x2，x3，…，xn，这后（n-1）个测量值似乎“多余”，称该n个独立样本数据的自由度为n-1，这种情况是我们获取自由度的一个方法：对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中的n个独立测量个数减去待求量的个数1。

情况2：对某量X进行n次独立重复测量，在贝塞尔公式计算实验标准差时，需要计算残差平方和(xix)2中的n个残差(xix)，因n个残差满足一个约束条件

(xi故独立残差个数为n-1，即用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。 x)0，

情况3：按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由度，记为eff。即有

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11 （2-11）

(u)2()2u 2.6.3 A类评定的标准不确定度的自由度

①在重复性条件下，对同一被测量进行n次独立重复测量，用贝塞尔公式求A类评定的标准不确定度时其自由度n1。

②在重复性条件下，对同一被测量进行n次独立重复测量，用极差法求A类评定的标准不确定度时其自由度 可通过查表得。

③对同一被测量核查m次，每次核查时测量n次，其A类评定的标准不确定度的

（n1)m。其自由度同以后的测量过程的测量次数无关。 自由度为④对同类被测件测量m个，得到m组数据，每组测量n次，其A类评定的标准不

（n1)m。 确定度的自由度为⑤对同类被测件测量m个，得到m组数据，每组测量的次数不完全相同，设各为ni次，其每一组的标准偏差的自由度ini1，则A类评定的标准不确定度的自由度为i。

i1m 2.6.4 B类评定的标准不确定度的自由度

对于B类评定的不确定度，其自由度一般通过相对不确定度来折算，具体公式见（2-11），常用的几个换算数值见表2-1

表2-1 相对标准不确定度与自由度的关系

相对标准0 不确定度 自由度 0.10 50 0.20 12

0.25 8 0.30 6 0.40 3 0.50 2 

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2.7 测量不确定度的表示方法

2.7.1 评定和表示不确定度的步骤

（1）建立输入量Xi与被测量Y间的数学关系式Y=f（X1，X2，…Xn）； （2）确定各输入量Xi的估计值xi；

（3）评定各个xi的标准不确定度u（xi）；

（4）必要时评定相关输入量的协方差u（xi，xj）和相关系数r（xi，xj）； （5）计算被测量Y估计值y；

（6）确定合成不确定度uc（y）多于一个输出量的情形，必要时还应计算它们的协方差；

（7）视需要给出扩展不确定度U=kuc（y）；

（8）以规定的方式报告测量结果，并在必要时说明它们的细节。 2.7.2 以规定方式报告测量结果的不确定度

（1）一般要求

①报告测量结果时，应同时说明测量不确定度。当为了提高测量（准确度）等级时，还需要关于它们的详细信息。在计量链的较低等级上，其大部分信息可由发布的各类证书文件方式获得。日常的工商业测量，无需报告不确定度，但所用仪器必须经周期校验合格，其示值的不确定度参照所用仪器的说明书或标准给出。

②报告内容的信息量取决于用途，尽可能多提供一些信息，其内容包括 a. 观测值、输入数据、计算结果以及估计不确定度的方法； b. 不确定度分量及其评定方式；

c. 数据分析处理的方法及其所用的修正值、常数及其来源。逐条检查以上信息是否充分和清楚，如增加新的信息或数据，是否还会得到不同的结果。

③在报告基本常数和基本的计量学研究、复现SI单位等国际比对工作中，使用uc。 对于商业、工业以及健康和安全的法规场合常用U。

（2）报告uc的要求

①给出被测量Y的完整定义；

②给出被测量Y的估计值y、不确定度uc（y）及其单位； ③必要时给出相对标准不确定度uc(y)/y；

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④视用户需要给出有效自由度eff。两类合成标准不确定度及其自由度，所引用的手册或文件。

⑤数值表达方式如下例所示。

例：L=100.021 47 mm，uc=0.35 um， 表示为L=

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