2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学(文)(三)试题(解析版)

试题

一、单选题

Byyx,xA，1．已知集合M{xN|x6}，A2,1,0,1,2，则ðMB2（ ） A．2,5,6 【答案】C

【解析】化简集合B，根据补集定义，即可求得答案. 【详解】

B．2,3,6

C．2,3,5,6

D．0,2,3,5,6

QA2,1,0,1,2

By|yx2,xA0,1,4， QM{xN|x6}{0,1,2,3,4,5,6}

ðMB2,3,5,6.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查了补集运算，解题关键是掌握集合补集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

2．已知i是虚数单位，z(2i)5(1i)，则复数z的共轭复数为（ ） A．13i 【答案】B

【解析】化简z(2i)5(1i)，求得z ，根据复数的共轭复数定义，即可求得答案. 【详解】

B．13i

C．13i

D．13i

Qz5(1i)5(1i)(2i)13i 2i5z13i.

故选：B. 【点睛】

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本题主要考查了求复数的共轭复数和复数除法运算，解题关键是掌握共轭复数定义和复数除法运算，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

x2y23．已知O为坐标原点，椭圆C:221(ab0)，过右焦点F的直线lx轴，

ab交椭圆C于A，B两点，且AOB为直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A．

15 2B．13 2C．

1 2D．15 2【答案】A

x2y2【解析】因为椭圆C:221(ab0)，过右焦点F的直线lx轴，交椭圆Cab2b2于A，B两点，且AOB为直角三角形，根据椭圆通径可得：|AB|，结合已知，

a即可求得答案. 【详解】

22xyQ椭圆C:221(ab0)，过右焦点F的直线lx轴，交椭圆C于A，B两ab点，且AOB为直角三角形

2b2根据椭圆通径可得：|AB|，

ab2c=，

ab2ac，

a2c2ac，

e2e10，

解得e1515或e（舍）. 22故选：A. 【点睛】

本题主要考查了求椭圆的离心率，解题关键是掌握椭圆离心率定义和椭圆的通径求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

4．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T，在

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长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T的概率是（ ）

A．

1 8B．

1 4C．

1 2D．

2 3【答案】B

【解析】设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为3，六个小三角形的面积之4和为63333，又长方形的宽为3，长为423，即可求得答案. 242【详解】

设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为3，六个小三角形的面积之和为46333， 42323， 2又Q长方形的宽为3，长为4长方形的面积为63，

331. 故此点取自阴影部分T的概率是：2634故选：B. 【点睛】

本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

5．在ABC中，AB23，AC4，D为BC上一点，且BC3BD，AD2，则BC的长为（ ） A．42 3B．42 2C．4 D．42

【答案】D

【解析】设BDx，由余弦定理ACAD(2x)2AD2xcosADC，

222第 3 页 共 25 页

AB2AD2x22ADxcosADB，即可求得答案.

【详解】 设BDx，

由余弦定理ACAD(2x)2AD2xcosADC；

222即42(2x)222xcosADC——①

222AB2AD2x22ADxcosADB；

即(23)222x222xcosADB，——②

0又QcosADCcos180ADBcosADB——③

由①②③可得.x42， 3BC3BD42. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了根据余弦定理解三角形，解题关键是掌握余弦定理公式和灵活使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

1A0,0,0f(x)Asin(x)6．已知函数的图象经过0,，周期

28为，且f(x)f为（ ）

0,上的取值范围fx对恒成立，则函数在区间xR2611A．,

44【答案】C

11B．,

2411C．,

841D．,1

2【解析】因为f(x)周期为，可得函数的周期2，故2；根据f(x)f2k，结合已知，即可求得答案.

626【详解】

Qf(x)周期为

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可得函数的周期2， 2，

Q根据f(x)f 626k2，kZ，

k6，kZ

又Q02，

π， 6当x0时，f01， 8Asin11，可得A，

4681f(x)sin2x

46Q2x7,， 66611f(x),.

84故选：C. 【点睛】

本题主要考查了求三角函数的值域，解题关键是掌握正弦函数图象特征和正弦函数值域的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

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A．

243 3B．2123 3C．443 3D．4123 3【答案】A

【解析】结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为2，高为

3的正四棱锥，上半部分是一个直径为2的半球，即可求得答案.

【详解】

Q结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，上半部分是一个直径为2的半球，

该几何体的体积为：V2131223243.

333故选：A. 【点睛】

本题主要考查了根据三视图求几何体体积问题，解题关键是掌握三视图的基础知识和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8．函数fxx2xe的图象大致为( )

2xA． B．

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C． D．

【答案】B

【解析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 【详解】

易知fx定义域为R，

2xxfxx2xex22xefx，

fx为偶函数，关于y轴对称，

排除C，

又f112ee，排除A和D.

21故选：B. 【点睛】

本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.

9．已知大于1的实数x，y满足logx(2x)logy(3y)，则下列结论正确的是（ ） A．

11 x21y21B．lnx1lny1 D．3x22C．tanxtany 【答案】B

【解析】因为logx(2x)1logx213y 11log(3y)1log31，，yylog2xlog3y因为logx(2x)logy(3y)，所以1【详解】

111，逐项判断，即可求得答案.

log2xlog3yQlogx(2x)1logx211， log2xlogy(3y)1logy311，

log3y第 7 页 共 25 页

Qlogx(2x)logy(3y)，

1111，

log2xlog3ylog2xlog3y，

1xy，

对于A，Q1xy

11，故A错误； x21y21对于B，Q1xy

1x21y21

根据ylnx在定义域内是单调增函数， 可得lnx1lny1，故B正确； 对于C，tanx，tany大小不确定，故C错误； 对于D，根据1xy，可得3x故选：B. 【点睛】

本题解题关键是掌握对数函数的基础知识和不等式基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 10．如图给出的是计算应填入的是（ ）

322y，故D错误.

11111L的值的程序框图，其中判断框内24640384040第 8 页 共 25 页

A．i4034? 【答案】C

B．i4036? C．i4038? D．i4042?

【解析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出

11111L的值，24640384040模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案. 【详解】

该程序的功能是利用循环结构计算并输出序的运行过程， 可得i2，T11111L的值，模拟程2464038404011， 24i6，T1111， 2468111111i10，T，

24681012i14，T11111111L，， 24681012141611111111. L2468101240384040i4038，T故选：C. 【点睛】

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本题解题关键是掌握框图基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11．已知三棱柱ABCA1B1C1，四边形A1ACC1与B1BCC1均为边长为2的正方形，

uuuruuurCBCC ，分别是，的中点，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）NMCACB0，111A．

1 5B．

2 5C．

4 5D．21 5【答案】B

uuuruuur【解析】根据CACB0，可知ACBC，取BC中点D，连接C1D，再取CD的中

点E，连接EN，则EN//C1D，同理可证BM//C1D，所以ANE为异面直线BM与AN所成的角（或其补角），即可求得答案. 【详解】

uuuruuurQCACB0，

ACBC，

取BC中点D，连接C1D，再取CD的中点E，连接EN， 则EN//C1D，同理可证BM//C1D，

ANE为异面直线BM与AN所成的角（或其补角）.

又QCN1，

根据勾股定理，AN5，EN175，AE， 22AN2EN2AE22在AEN中，由余弦定理得cosANE，

2ANEN5故异面直线BM与AN所成角的余弦值为故选：B. 【点睛】

本题主要考查了求异面直线夹角余弦值，解题关键是掌握异面直线夹角定义和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

2. 5e2x1,x0,12．已知函数f(x)2若|f(x)|mx恒成立，则实数m的取值范

x2x2,x0,围为（ ）

A．222,2 B．222,1 C．222,e D．22e,e

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【答案】A

【解析】作出函数|f(x)|的图象如图所示，在考虑直线与曲线相切时m的临界值，结合图像即可得到答案. 【详解】

作出函数|f(x)|的图象如图所示；

当x0时；令x22x2mx，即x(2m)x20， 令0，即(2m)80，解得m222， 结合图象可知，m222；

当x0时，令e2x1mx，则此时f(x)e设切点x0,e2x221，h(x)mx相切，

2x0e2x01mx0,1，则2x解得m2，

02em,观察可知，实数m的取值范围为222,2.

故选：A. 【点睛】

本题考查利用导数研究恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图像的直观性进行分析.

二、填空题

rrrrr13．已知向量a(2,1)，b(2,1)，则b(2ab)_________.

【答案】1

【解析】根据向量数量积坐标公式，即可求得答案. 【详解】

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rrQa(2,1)，b(2,1)，

可得2ab(2,3)，

rrrrrb(2ab)431.

故答案为：1. 【点睛】

本题主要考查了求向量的数量积，解题关键是掌握向量数量积坐标公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 14．若sin【答案】

23cos2，则cos_________. 3637 9【解析】由sin知，即可求得答案. 【详解】 由sin13sin，展开化简可得，结合已cos33633， cos63展开化简可得sincos6cossin6cos3 3整理可得：sin1， 332217. 2cos212sin123339故答案为：【点睛】

本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握正弦两角和公式和余弦的二倍角公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

15．已知函数f(x)ln(ax)在0,f0处的切线方程为yx，则满足

7. 90fx21的x的取值范围为_________.

【答案】[2,e1]

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【解析】因为f(x)11，可得f(0)1，即a1，所以f(x)ln(1x)，fxaax是(1,)上的增函数，结合已知，即可求得答案. 【详解】

Qf(x)1， ax11， af(0)\\a=1，

f(x)ln(1x)，fx是(1,)上的增函数，

又Qf00，f(e1)ln(e11)1，

0x2e1，

2xe1.即[2,e1]

故答案为：[2,e1] 【点睛】

本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 16．某饮料厂生产A，B两种饮料.生产1桶A饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A饮料的产量不超过B饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A饮料的时间不低于生产B饮料的时间，每桶A饮料的利润是每桶B饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A饮料m桶，B饮料n桶时m,nN*利润最大，则

mn_________.

【答案】7

【解析】设每天A，B两种饮料的生产数量分别为x桶，y桶，则有

x0,y0x2y，画出可行域，结合已知，即可求得答案. 3xy100y100x7500【详解】

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x0,y0x2y 设每天A，B两种饮料的生产数量分别为x桶，y桶，则有3xy100y100x7500则其表示的可行域如图中阴影部分所示，

设B饮料每桶利润为1，则目标函数为z1.5xy，则y1.5xz，z表示直线在

y轴上的截距，

Qx，y只取整数，

当直线y1.5xz经过点4,3即m4，n3时，z取得最大值，

故mn7. 故答案为：7. 【点睛】

本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．

三、解答题

217．已知正项等比数列an满足a12，a3a732，数列bn的前n项和为Sn，

bn2n2.

（1）求an的通项公式与Sn； （2）设cnan1，求数列cn的前n项和Tn. Sn1nn12【答案】（1）an2；Snnn（2）Tn211 n1【解析】（1）根据等比数列通项公式和等差数列前n项和公式，即可求得答案； （2）因为cnan1112n，根据等比数列前n项和公式和“裂项相消”求Sn1nn1第 14 页 共 25 页

和，即可求得答案. 【详解】

2（1）Q正项等比数列an满足.a12.，a3a732

a12，a25322，

可得a532，

q2， an2n，

Qbn2n2，数列bn为公差2，首项为0的等差数列，

Snn(02n2)n2n.

21 Sn1（2）Qcnancnan11112n2n Sn1(n1)nnn1212n111111n1Tn 1L2112n1223nn1【点睛】

本题主要考查了求等比数列通项公式和求数列前n项和，解题关键是掌握等比数列和等差数列基础知识，及其“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

18．2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图.

（1）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；

（2）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”.

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（i）试比较男观众与女观众不满意的概率大小，并说明理由；

（ii）完成下列22列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关. “满意” “不满意” 合计

女性观众 男性观众 合计 n(adbc)2 参考数据：K(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2k 0.05 3.841 0.010 0.001 k

6.635 10.828 【答案】（1）女性观众评分的中位数为75，男性观众评分的平均数为73.5（2）（i）男性观众不满意的概率大，详见解析（ii）填表见解析；有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关

【解析】（1）根据所给数据，即可求得中位数和平均数，即可求得答案；

（2）记CA表示事件：“女性观众不满意”；CB表示事件：“男性观众不满意”，由直方图求得PCA和PCB，即可比较男观众与女观众不满意的概率大小. 完成下列22列联表,计算出K2，结合已知，即可求得答案. 【详解】

（1）根据题意，设女性观众评分的中位数为x，

100.01100.02(x70)0.040.5，

x75.

男性观众评分的平均数为550.15650.25750.3850.2950.173.5. （2）（i）男性观众不满意的概率大，

记CA表示事件：“女性观众不满意”；CB表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得

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PCA的估计值为(0.010.02)100.3， PCB的估计值为(0.0150.025)100.4，

所以男性观众不满意的概率大. （ii）列联表如下图： “满意” “不满意” 合计

女性观众 男性观众 合计 140 180 120 320 60 200 180 500 300 500(14012018060)2所以K5.2083.841

2003003201802故有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关. 【点睛】

本题主要考查了根据频率直方图计算中位数和平均数，及其卡方计算，解题关键是掌握频率直方图基础知识和卡方计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 19．如图，在三棱锥ABCD中，ABD是等边三角形，平面ABD平面BCD，

BCCD，BCCD2，E为三棱锥ABCD外一点，且CDE为等边三角形.

（1）证明：ACBD；

（2）若AE⊥平面CDE，求点E到平面BCD的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）

633 7【解析】（1）要证ACBD，只需证BD平面AOC，即可求得答案；

（2）因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面CBDCD，所以AO平面

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BCD，且BD2，AO3，取CD的中点F，连接OF，EF，同理可证CD平

面EOF，CD平面AOF，结合已知，即可求得答案. 【详解】

（1）取BD的中点O，连接OC，OA，

QABD是等边三角形，

AOBD，

又QBCCD，

COBD， QCOAOO，

BD平面AOC， QAC平面AOC，

故ACBD.

（2）Q平面ABD平面BCD， 平面ABD平面CBDCD，

AO平面BCD，

且BD2，AO3，

取CD的中点F，连接OF，EF，

同理可证CD平面EOF，CD平面AOF，

A，O，F，E共面，

平面BCD平面OFE，作EH垂直OF于点H，

则EH平面BCD，

故点E到平面BCD的距离即为EH，

又QAE⊥平面CDE，所以AEEF，AEEC，

OF1426，EF，AF，AE2. 222第 18 页 共 25 页

由sinEFOsin(AFOAFE)

sinAFOcosAFEcosAFOsinAFE EH【点睛】

本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

220．已知圆O:x2y29与抛物线C:y2px(p0)相交于G，H两点，且

6232633. 277GH42.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若抛物线C与直线l:yk(x2)(k0)相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若FA2FB，求直线l与圆O相交所得的弦长.

2【答案】（1）y8x（2）

2217 17【解析】（1）因为G，H关于x轴对称，所以G，H的纵坐标为22，横坐标为1，

2代入y2pxp0，即可求得答案；

2（2）设抛物线C:y8x的准线为l:x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点

P2,0，过A，B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，结合已知，即可求得答案.

【详解】

（1）QG，H关于x轴对称，

G，H的纵坐标为22，横坐标为1，

22代入y2pxp0，可得y8x. 2（2）设抛物线C:y8x的准线为l:x2，

直线yk(x2)(k0)恒过定点P2,0，

如图过A，B分别作AMl于M，BNl于N，

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由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN| 点B为AP的中点，连接OB， 则|OB|1|AF|， 2OBBF，点B的横坐标为1.

点B的坐标为(1,22)，

k22022， 1(2)3Qk0，

k22 3直线l的方程为22x3y420， O到直线l的距离为42 172弦长为232422217.

1717【点睛】

本题主要考查了求抛物线标准方程和直线抛物关系问题，解题关键是掌握抛物线定义和直线与抛物线关系问题的解法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21．已知函数f(x)ln(ax)（1）求fx的解析式； （2）若函数g(x)f(x)xa(a0)的最小值为0. x1m有两个零点x1，x2，且x1x2，求证：x1x21. 2x第 20 页 共 25 页

【答案】（1）f(x)lnx11（2）证明见解析 xxaxa定义域为0,，从而f(x)2，令

xx【解析】（1）因为f(x)ln(ax)fx0，由于a0，则xa；故当xa时，fx0，fx单调递增，当

0xa时，fx0，fx单调递减，即可求得答案；

（2）根据题意，g(x)lnx1m1(x0)，因为x1，x2是函数2x11lnxm10，g(x)lnxm1的两个零点，所以12x2x1lnx21m10，即可求得答案. 2x2【详解】

（1）Qf(x)ln(ax)xa， xxa， 2x定义域为0,，从而f(x)令fx0，由于a0， 则xa；

故当xa时，fx0，fx单调递增， 当0xa时，fx0，fx单调递减， 故f(x)minf(a)2lna，

2lna0，故a1， f(x)lnxx11lnx1. xx1m 2x（2）Qg(x)f(x)g(x)lnx1m1(x0)， 2x1m1的两个零点， 2x第 21 页 共 25 页

Qx1，x2是函数g(x)lnxlnx111m10 m10，lnx22x22x1x111 x22x22x1两式相减，可得ln即lnx1x1x2， x22x1x2故

x1x2x1x2x2ln1.

x2x1x112xx1x12. ，x2x1x12ln2lnx2x2令tx1，其中0t1， x211tt1则tt， x1x22lnt2lnt2lnt1构造函数h(t)t2lnt，

1t(t1)2. 则h(t)2t对于0t1，ht0恒成立，故hth10， 即t2lnt0.

1t1可知t1，

2lnttx1x21.

【点睛】

本题主要考查了根据最值求函数表达式和根据导数证明不等式，解题关键是掌握导数求最值的方法和根据导数证不等式恒成立的证法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

x122．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y12t2（t为参数），以2t2坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A,B,C的极坐标分别为

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53(4,),(4,),(4,)，且ABC的顶点都在圆C2上，将圆C2向右平移3个单位长

662度后，得到曲线C3.

（1）求曲线C3的直角坐标方程；

（2）设M1, 1，曲线C1与C3相交于P,Q两点，求MPMQ的值. 【答案】（1）(x3)y16（2）11

【解析】（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；

（2）由（1）联立曲线C1与C3，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果． 【详解】

（1）由xcos,ysin可得点A的直角坐标系为A(23,2)， 点B的直角坐标系为B(23,2)， 点C的直角坐标系为C(0,4).

设圆C2的直角坐标系方程为x(ym)r，

2222212(2m)2r2代入A,C可得， 22(4m)r∴m0,r4.

圆C2的直角坐标方程为x2y216.

故曲线C3的直角坐标方程为：(x3)y16. （2）由（1）联立曲线C1，C3可得(1整理可得，t232t110，

22222t3)2(1t)16， 22∴t1t232,t1t211，

∴|MP||MQ||t1||t2|t1t211.

【点睛】

本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．

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23．已知函数f(x)|3x1||x2|. （1）求不等式f(x)3的解集；

（2）若m1,n1，对xR，不等式3log2mlog2n小值.

【答案】（1）{x|x0或x≥1}.（2）4

【解析】（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；

（2）由题意可得log2mlog2n1，利用基本不等式

5恒成立，求mn的最f(x)log2mlog2n2log2mlog2n2，从而求得mn的最小值．

【详解】

（1）原不等式可化为|3x1||x2|3， ①当x1时， 3原不等式可化为3x12x3， 解得x0，

x0；

②当

1x2时， 3原不等式可化为3x12x3， 解得x1，

∴1x2；

③当x2时，

原不等式可化为3x12x3， 解得x3， 2x2；

综上，不等式的解集为{x|x0或x≥1}.

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14x3,x31（2）Qf(x)2x1,x2，

34x3,x215∴f(x)minf().

33由3log2mlog2n5恒成立可知， f(x)不等式log2mlog2n1恒成立.

Qlog2mlog2n2log2mlog2n2，

∴log2(mn)2，

∴mn4，当且仅当mn2时等号成立.

故mn的最小值4.

【点睛】

本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.

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