数学试题
一．填空题（满分30分，每小题3分） 1．一元二次方程x2+2
x﹣6＝0的根是 ．
2．方程x（x﹣5）＝2x的根是 ．
3．若二次函数y＝ax2+2x+1的图象与x轴有两个不相同的交点，则a的取值范围是 ． 4．已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+1，那么这个二次函数的图象在对称轴右侧部分是 的．（填“上升”或“下降”）
5．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其中x1
＜0＜x2，当x＝x1+2时，y 0（填“＞”“＝”或“＜”号）．
6．两抛物线y＝﹣x2+1，y＝﹣x2﹣1与两条和y轴平行的直线x＝﹣2，x＝2围成的封闭图形的面积为 ．
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 ．
8．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 ． 9．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 ．
10．为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年11月份组织了“县长杯”校园足球比赛．在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果足球的最大高度到20m，那么足球被踢出时的速度应达到 m/s．
二．选择题（满分30分，每小题3分） 11．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．x2﹣y＝1
B．x2+2x﹣3＝0
C．x2+＝3
D．x﹣5y＝6
12．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3）
B．（﹣2，3）
C．（2，﹣3）
D．（﹣2，﹣3）
13．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0
14．若一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ） A．1
B．﹣1
C．0
D．﹣6
15．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（ ） A．6
B．9
C．14
D．﹣6
16．如图，A1、A2、A3是抛物线y＝ax2（ a＞0）上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数n﹣1、n、n+1，则线段CA2的长为（ ）
A．a B．2a C．n D．n﹣1
17．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若
设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ） A．（80﹣x）（200+8x）＝8450 C．（40﹣x）（200+40x）＝8450
B．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（40﹣x）（200+x）＝8450
18．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
19．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（ ） A．56元
B．57元
C．59元
D．57元或59元
20．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ） A．（x﹣1）2＝2
B．（x﹣1）2＝4
C．（x+1）2＝2
D．（x+1）2＝4
三．解答题（满分60分，每小题10分） 21．（10分）解方程：
（1）x2+2x＝1； （2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．
22．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若将抛物线y＝ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保
持不变，就得到了函数y＝|ax2+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与
x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定
值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． （注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料） 附阅读材料：
1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为|AB|＝
，这个公式叫两点间距离公式．
例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|＝
＝5．
2．因式分解：x4+2x2y2+y4＝（x2+y2）2．
23．（10分）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点
D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
24．（10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤的售价定为多少元时，每天获利最大？最大值为多少？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB＝1：5，OB＝OC，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线
y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）点P（2，﹣3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（3）设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F．以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）用配方法证明：代数式﹣x2+6x﹣10恒小于零．
参考答案
一．填空题
1．解：这里a＝1，b＝2∵△＝8+24＝32， ∴x＝即x1＝
，
，x2＝﹣3
．
． ，c＝﹣6，
故答案为：x1＝，x2＝﹣3
2．解：将方程x（x﹣5）＝2x整理成一般式得：x2﹣7x＝0， 则x（x﹣7）＝0， ∴x＝0或x﹣7＝0， 解得：x1＝0，x2＝7， 故答案为：x1＝0，x2＝7．
3．解：∵二次函数y＝ax2+2x+1的图象与x轴有两个不相同的交点， ∴a≠0，22﹣4×a×1＞0， 解得，a＜1且a≠0， 故答案为：a＜1且a≠0． 4．解： ∵y＝﹣x2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大， 故答案为：下降．
5．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k（k＜0）的对称轴方程是x＝1， 又∵x1＜0，
∴x1与对称轴x＝1距离大于1，
∴x1+2＜x2，
∴当x＝x1+2时，抛物线图象在x轴下方， 即y＜0． 故答案是：＜．
6．解：抛物线y＝﹣x2+1 当x＝0时，y＝1
抛物线y＝﹣x2﹣1，当x＝0时，y＝﹣1， ∴HQ＝1+1＝2， ∵EF＝2﹣（﹣2）＝4，
过H作X轴的平行线分别交直线x＝2和x＝﹣2于F、E，过Q作X轴的平行线分别交直线x＝2和x＝﹣2于N、M， ∴四边形EFNM是矩形，
∵两抛物线y＝﹣x2+1和y＝﹣x2﹣1的a＝﹣， ∴抛物线的形状相同，
设图中由E、A、H围成的图形的面积是s，则由H、F、D围成的图形的面积是s，由B、
M、Q围成的图形的面积是s，由C、N、Q围成的图形的面积是s，
∴两抛物线y＝﹣x2+1，y＝﹣x2﹣1与两条和y轴平行的直线x＝﹣2，x＝2围成的封闭图形的面积等于矩形EFNM的面积，是4×2＝8． 故答案为：8
7．解：由题意可知：△＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0， ∴m2+2m＝
∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1） ＝﹣m2﹣2m+4 ＝＝ 故答案为：
8．解：根据题意得：y＝10（x+1）2， 故答案为：y＝10（x+1）2
9．解：∵a是方程x2+x﹣2011＝0的实数根， ∴a2+a﹣2011＝0，即a2＝﹣a+2011， ∴a2+2a+b＝﹣a+2011+2a+b＝a+b+2011， ∵a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1，
+4
∴a2+2a+b＝﹣1+2011＝2010． 故答案为2010．
10．解：h＝﹣5t2+v0•t，其对称轴为t＝当t＝
时，h最大＝﹣5×（
）2+v0•
， ＝20，
解得：v0＝20，v0＝﹣20（不合题意舍去）， 答：足球被踢出时的速度应达到20m/s．
二．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 11．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；
B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； C、x2+＝3不是整式方程，不合题意； D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，
故选：B．
12．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）． 故选：A．
13．解：如图，抛物线的开口方向向下，则a＜0． 如图，抛物线的对称轴x＝﹣
＜0，则a、b同号，即b＜0．
如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． 综上所述，b＜0，c＞0． 故选：A．
14．解：∵方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝1， 故选：A．
15．解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根， ∴a2﹣3a﹣5＝0，
∴a2﹣3a＝5， ∴a2﹣3a+4＝5+4＝9． 故选：B．
16．解：根据题意知：A1B1∥A2B2∥A3B3，B1B2＝B2B3， ∴A1C＝CA3，
∴B2C＝（A1B1+A3B3）， ＝ [a（n﹣1）2+a（n+1）2]， ＝an2+a， ∵A2B2＝an2，
CA2＝B2C﹣A2B2＝a．
故选：A．
17．解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为为每件40元，又每件售价降价x元后，利润为每件（40﹣x）元．
每降价1元，每星期可多卖出8件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，现在的销量为（200+8x）．
根据题意得：（40﹣x）×（200+8x）＝8450， 故选：B．
18．解：∵商场自动扶梯的长l＝13米，高度h＝5米， ∴m＝∴tanθ＝故选：A．
；
＝
＝12米，
19．解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件， 根据题意得：（x﹣40）[20（60﹣x）+300]＝6080，
整理得：x2﹣115x+3304＝0， 解得：x1＝56，x2＝59． ∵要使顾客获得实惠， ∴x＝56． 故选：A．
20．解：∵x2+2x﹣3＝0 ∴x2+2x＝3 ∴x2+2x+1＝1+3 ∴（x+1）2＝4 故选：D．
三．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分） 21．解：（1）方程配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2， 开方得：x+1＝±解得：x1＝﹣1+
， ，x2＝﹣1﹣
；
（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2）＝0， 解得：x1＝3，x2＝1．
22．解：（1）根据题意设抛物线解析式为y＝ax2﹣1， 将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1＝0， 解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1；
（2）如图，
根据题意，当﹣2≤x≤2时，y＝﹣x2+1； 当x＜﹣2或x＞2时，y＝x2﹣1； 由
可得点M（﹣2
，1）、点N（2
，1），
①当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣a2+1）， 则PO﹣PD＝＝a2+1﹣a2 ＝1； ②当﹣2
≤x＜﹣2或2
时，设点P的坐标为（a， a2﹣1）， ﹣[1﹣（a2﹣1）] ﹣[1﹣（﹣a2+1）]
则PO﹣PD＝＝
a2+1﹣2+a2
＝a2﹣1； ③当x＜﹣2则PO﹣PD＝＝a2+1﹣a2+2 ＝3；
综上，当x＜﹣2
、﹣2≤x≤2或x＞2
时，PO与PD的差为定值．
＝2…①，
或x＞2
时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），
﹣[（a2﹣1）﹣1]
23．解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣
抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3， 把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②， 联立①、②解得：a＝
，b＝﹣
，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝当x＝2时，y＝﹣
x2﹣x﹣3，
）；
，即顶点D的坐标为（2，﹣
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13， ①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0）， 则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4即点C坐标为：（4
，0）或（﹣4
，
，0）；
②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0）， 则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5即：点C坐标为（5
，0）或（5﹣2
， ，0），
③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0）， 则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点， 则点C坐标为（故：存在， 点C的坐标为：（40）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，
，0）或（﹣4
，0）或（5
，0）或（5﹣2
，0）或（
，
，0），
设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3， 把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝故函数的表达式为：y＝设：点P坐标为（m，
，
x﹣3， m2﹣
m﹣3），则点H坐标为（m，
m﹣3），
S△PAB＝•PH•xB＝（﹣
m2+12m），
当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为：答：△PAB的面积最大值为
．
，
24．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+（斤）；
故答案为：100+200x；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300， 解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260； 当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）． ∵每天至少售出260斤， ∴x＝1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元；
（3）设每斤的售价降低x元，每天获利为y元，
×20＝100+200x根据题意得：y＝（4﹣2﹣x）（100+200x）＝﹣200x2+300x+200＝﹣200（x﹣）2+当x＝时，100+200x＝250＜260， ∴当x＝0.8时，最大值为312元， 4﹣0.8＝3.2（元）．
答：当每斤的售价定为3.2元时，每天获利最大，最大值为312元． 25．解：（1）∵|OA|：|OB|＝1：5，|OB|＝|OC|， 设OA＝m，则OB＝OC＝5m，AB＝6m， 由S△ABC＝AB×OC＝15，得×6m×5m＝15， 解得m＝1（舍去负值），
∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a＝1，
，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣5， ∵点M的运动时间为t， ∴M（0，﹣2t），
∵直线MH平行于直线BC， ∴直线MH为y＝x﹣2t，
设直线MH与对称轴交于点D，点D的坐标为（2，2﹣2t）， ∴DP＝（2﹣2t）﹣（﹣3）＝5﹣2t，
∴S△PMH＝×2t（5﹣2t）＝﹣2t2+5t＝﹣2（t﹣）2+∴当t＝时，S有最大值是
（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5， ∴设点E的坐标为（x，x2﹣4x﹣5）， 又∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴点E到对称轴的距离为EF＝|x﹣2|， ∵以EF为直径的⊙Q与x轴相切， ∴|x﹣2|＝|x2﹣4x﹣5|，
①x﹣2＞0，x2﹣4x﹣5＞0时，即x＞5时，x﹣2＝x2﹣4x﹣5， 整理得，x2﹣5x﹣3＝0， 解得x＝∴x﹣2＝
，x＝，
，
），
（舍去）， ；
，（0＜t＜），
此时点E的坐标为（
②x﹣2＞0，x2﹣4x﹣5＜0时，即2＜x＜5时，x﹣2＝﹣（x2﹣4x﹣5）， 整理得，x2﹣3x﹣7＝0， 解得x＝
，x＝
（舍去）， ﹣2）＝，
），
，
∴﹣（x﹣2）＝﹣（此时点E的坐标为（
③x﹣2＜0，x2﹣4x﹣5＞0时，即x＜﹣1时，﹣（x﹣2）＝x2﹣4x﹣5， 整理得，x2﹣3x﹣7＝0， 解得x＝
，x＝
（舍去）， ﹣2）＝，
），
，
∴﹣（x﹣2）＝﹣（此时点E的坐标为（
④x﹣2＜0，x2﹣4x﹣5＜0时，即﹣1＜x＜2时，﹣（x﹣2）＝﹣（x2﹣4x﹣5）， 整理得，x2﹣5x﹣3＝0， 解得x＝∴x﹣2＝
，x＝﹣2＝
（舍去）， ， ，，
）， ），（
，
），（
，
），
此时点E的坐标为（综上所述，存在点E：（（
，
）使得以EF为直径的⊙Q与x轴相切．
26．证明：﹣x2+6x﹣10＝﹣（x2﹣6x）﹣10 ＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）﹣10 ＝﹣（x﹣3）2+9﹣10 ＝﹣（x﹣3）2﹣1， ∵（x﹣3）2≥0， ∴﹣（x﹣3）2≤0， ∴﹣（x﹣3）2﹣1≤﹣1， 即代数式﹣x2+6x﹣10恒小于零．
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