基于正态分布的齿轮传动可靠性设计
唐家霖，刘力强，张迪2*
作者简介：唐家霖，（1987-），男，东北大学机械工程系，研究方向：机械设计理论、机械传动与仿真设
计、失效分析等
（东北大学机械工程与自动化学院，沈阳 110819）
5 摘要：本文在传统齿轮传动设计的经验基础上，结合机械可靠性、概率设计法，提出了一种
新的齿轮传动设计方法。这种方法在设计中将应力与强度如实的当作随机变量来处理，将比
传统的齿轮传动设计更具有科学性，并且能够求出所设计齿轮的可靠度。概率设计是可靠性
设计的重要组成部分，是应用概率论和数理统计理论进行机械零件或构件设计的方法，其实
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 11
质就是把强度设计中所有的变量如实地当作随机变量来看待。本文在对所设计的齿轮的可靠
10 度进行估计时，假设齿轮失效时的接触疲劳强度—接触应力和弯曲疲劳强度—弯曲应力服从
正态分布，基于概率设计法，提出了一种齿轮可靠度的计算方法。
关键词：齿轮传动；可靠性；概率设计法；正态分布
中图分类号：TH13
15 Research on the Reliability of gear transmission Based on
Normal Distribution
Tang Jialin, Liu Liqiang, Zhang Di
(School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University, ShenYang 110819)
Abstract: In this paper, the author proposed a new method of gear design based on the experience
20 of the traditional gear design and a combination of mechanical reliability and probabilistic design
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
22
method. The method regards stress and strength as a random variable honestly, which will be more
scientific than the traditional design, and calculate the reliability of the designed gear.Probabilistic
design is an important component of reliability design. It applies the theory of probability and
mathematical statistical to design mechanical parts or component. Its essence is that regard all the
25 variables as random variables faithfully in the strength design. In this paper, when the author
estimates the reliability of the designed gear, assuming that the gear contacting fatigue
strength—contacting stress and the gear bending fatigue strength—bending stress obey a normal
distribution, and proposes a new method of calculating the reliability of the designed gear based
on probabilistic design method.
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 33
30 Keywords:gear transmission; reliability; probability design; normal distribution
0 引言
齿轮传动是机械传动中应用最广泛的一种传动形式。其主要优点是效率高，传动比准确，
结构紧凑，工作可靠，寿命长。在传统的齿轮传动设计中，设计者主要从满足产品使用要求
和保证齿轮传动性能的要求出发，按照相应的计算准则进行齿轮设计。传统的齿轮设计[1]
35
所采取的方法主要是按照相应的计算准则，满足齿轮强度大于所受应力的条件即可。但实际
上应力不仅指外力在微元面积上产生的内力与微元面积比值的极限，而且包括比如温度、外
载荷等各种环境因素，而这些因素都具有一定的随机性。因此应力是一个受多种因素影响的
随机变量，具有一定的分布规律。同样受材料的机械性能、加工工艺等的影响，强度
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
44
也是一
40 个具有一定随机性，服从一定分布规律的随机变量。传统的齿轮设计没有将应力与强度当成
随机变量来处理，这就使得设计不能回答所设计齿轮的可靠度和发生故障的概率是多少。本
文所提到的齿轮传动可靠性设计，是基于机械可靠性[2]
原理，采用概率设计法[3]
，将应力与
强度如实的当作随机变量来处理，将比传统的齿轮设计更具有科学性，并且能够求出所设计 http://www.paper.edu.cn
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齿轮的可靠度。
45 正太分布是可靠性理论中常用的一种分布，对各种类型的试验数据拟合能力强，已被广
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 55
泛地应用于建模大量产品的失效时间，而且在数理统计中几个重要、常用的统计量分布多数
是基于正态分布的变形。从物理背景上讲，如果影响某个随机变量的独立因素很多，且不存
在起决定性因素的主导因素时，则该随机变量一般可用正态分布来描述。本文在对所设计的
齿轮的可靠度进行估计时，假设齿轮失效时的接触疲劳强度—接触应力和弯曲疲劳强度—弯
50 曲应力服从正太分布。
1 机械可靠性简介
从可靠性的角度考虑，一个产品不仅要完成预定的功能，还有其持续完成规定功能的能
力，即可靠度。从工程实践中可知，机械产品的故障因素主要与应力和强度有关。应力大于
强度时发生故障。在传统设计过程中没有对这些参数的随机性给予考虑，而可靠性工程正是
55 研究其影响因素随机性和统计特性的专门学科。机械产品的可靠性设计并不是一
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
66
种崭新的设
计方法，而是在传统机械设计的基础上引入以概率论和数理统计为基础的可靠性设计方法，
这样使得设计更科学合理地获得较小的零件尺寸、体积和重量，从而使产品的设计更符合工
程实际。
2 机械可靠性设计原理
60 2.1 应力—强度干涉模型与可靠度计算
应力是对产品功能有影响的各种外界因素，强度是产品承受应力的能力。可靠度是产品
不发生失效的概率。根据干涉情况计算可靠度的模型称为应力—强度干涉模型，简称应力—
强度模型。
在机械设计中一般认为当零件强度大于应力时，机械产品可正常工作；反之若零件强度
65 小于应力时，则发生失效。所以要想零件在规定条件下不发生失效必须满足如下
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
77
表达式：
S＞s
式中： S—零件的强度；
s—零件的应力。
由可靠度定义可知，可靠度即为零件不发生失效的概率，故可靠度 R 为如下表达式：
70 R（t）= P（S＞s）
式中强度 S 和应力 s，均为随机变量。 http://www.paper.edu.cn
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图 2 应力—强度干涉模型
Fig.2 The diagram of stress - strength interference model
75
应力—强度干涉模型如图 2 所示，函数 h（s）和 f（S）分别为应力和强度的概率密度
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
88
函数。阴影部分表示强度和应力的“干涉区”，即存在强度小于应力发生失效的概率。
由分析可知当应力和强度的概率密度已知时，零件可靠度的一般表达式为：
( ) ( )
s
R dR h s f S dS ds
+∞ +∞
−∞
⎡ ⎡
= = •
∫ ∫ ∫
⎡ ⎡ ⎡ ⎡
(2-1)
80 2.2 应力和强度的随机分布特性
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 99
机械设计中广义应力的概念被定义为：引起失效的负荷，而广义强度则被定义为抵抗失
效的能力。由于影响应力和强度的因素具有随机性，所以我们认为应力和强度也应该具有随
机性。这就为我们应用概率与数理统计知识对机械产品进行可靠性设计提供了理论基础。在
设计时我们可以将强度设计中所有的变量如实地当作随机变量来看待。
85 正态分布是最常用的概率密度分布，而且在数理统计中几个重要、常用的统计量分布多
数是基于正态分布的变形。从物理背景上讲，如果影响某个随机变量的独立因素很多，且不
存在起决定性因素的主导因素时，则该随机变量一般可用正态分布来描述。本文在对所设计
的齿轮的可靠度进行计算时，假设齿轮失效时的接触疲劳强度—接触应力和弯曲疲劳强度—
弯曲应力服从正态分布。
90 2.3 应力—强度均服从正态分布时求可靠度的一般公式
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
1010
根据应力—强度干涉模型，已知应力分布和强度分布，就可以计算出零件的可靠度。假
设应力服从的正态分布为 ( )
2
s s
s ~ N u ,σ ，强度服从的正态分布 ( )
2
S S
S ~ N u ,σ 。将其进行
如下变换：
( )
2
y y
y S s N , = − ∼ µ σ
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
1111
95 式中：
µ y
= − µ µ S s ，
2 2 2
σ y S s
= + σ σ
将其分布标准化处理，得到用连接方程表达的可靠性系数ZR 。
联结方程为： http://www.paper.edu.cn
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( )
0 5
2 2
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 1212
S s
R .
s S
u u
Z
σ σ
−
=
+
(2-2)
100 此时可靠度可表示为：1 R ( Z ) = −Φ R
(2-3)
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
1313
2.4 变异系数法求可靠度的近似值
对于单项式(即没有加减运算的式子)的函数，如表达式：
1
i
n
m
i
i
y a x Π
=
= •
105 式中 a、m为任意常数。
则函数的均值为：
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 1414
1
i
n
m
i
i
y a x Π
=
= •
函数的变异系数为：
1
1 2
2 2
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
1515
1 1 1
2
n n n
y i xi i j ij xi xj
i i j i
V m V m m V V ρ
−
= = = +
⎡ ⎡
= + ⎡ ⎡
⎡ ⎡
∑ ∑ ∑
110 函数的标准差为：
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
1616
y y
S yV =
3 正态分布数学模型下的齿轮传动概率设计
齿轮的失效形式有很多，各种失效形式都会对齿轮的承载能力有限制，在设计时应根据
具体条件建立相应的计算准则。目前对一般条件下使用的闭式齿轮传动，通常按照齿面接触
115 疲劳强度和轮齿的弯曲疲劳强度来计算的。正态分布的数学模式易于处理，具有计算所需的
数表，同时较比其它分布偏于安全。在对齿轮传动可靠性设计时，为了确保齿轮传动的可靠
性，我们通常预先给定可靠度[R]称之为安全可靠度并令：
[ ] [ ] R Z = −1 Φ ( R )
式中[ZR]定义为可靠性系数上界。
120 在实际设计计算中我们只需确保可靠度 R≥[R]，即
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 1717
1 1 − ≥ − Φ Φ ( Z ) Z R R ([ ])
于是得到：
( )
[ ] 0 5
2 2
S s
. R
s S
u u
Z
σ σ
−
− ≤
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
1818
+
3.1 齿面接触疲劳强度的可靠性计算
125 齿面接触疲劳强度计算中以破坏性点蚀开始发生为齿面的极限状态。
接触应力为：
t t A V H H ( )
H H E
1
KF K K K K K u 1
Z Z Z Z
bd u
β α
σ ε β
±
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 1919
= http://www.paper.edu.cn
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接触强度为：
HS H lim N X W L V R
σ σ= z z z z z z
130 用变异系数法可求得接触应力的均值、变异系数和标准差：
t
A V H H ( )
H E
H
1
K F K K K K u 1
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 2020
Z Z Z Z
d bu
β α
σ ε β
±
=
E t V H H A
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
H Z Z Z K F K K K K
1
v V V V V V V V V V
4
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
2121
σ ε β β α
= + + + + + + + +
H H
S V σ
=σ H σ
用变异系数法可求得接触强度的均值、变异系数和标准差：
135 σ σ HS H lim = ZN R W L V X Z Z Z Z Z
HS H lim N L V R W X
2 2 2 2 2 2 2
Z Z Z Z Z Z
v V V V V V V V σ σ
= + + + + + +
HS
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 2222
___
HS HS
S V σ σ
= σ
按公式（2-2）可得到齿面接触疲劳强度的联结方程为：
( )
0 5
2 2
H
H
S H
HS
R .
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 2323
u
S S σ σ
σ −σ
=
+
140 可靠度为：
1 R ( u ) = −Φ R
设计时只需保证所求可靠度大于上文定义的定安全可靠度[R]即可。
3.2 齿根弯曲劳强度的可靠性计算
弯曲应力为：
a a
t
F F S A V F F
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 2424
n
KF
Y Y Y Y K K K K
bm
σ = ε β β α
145
弯曲强度为：
σ σ FS F lim ST NT rel Rrel X
= Y Y Y Y Y δ
按变异系数法求出弯曲应力的均值、变异系数和标准差：
a a
t
F F S A V F F
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 2525
K F
Y Y Y Y K K K K
bm
σ = ε β β α
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
V V V V V V V V V V V σ F A V F F t F S
K K K K K F Y Y Y Y β α α α ε β
= + + + + + + + + +
150
F F
S V F
σ σ
= σ
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 2626
用变异系数法可求得弯曲疲劳强度的均值、变异系数和标准差：
σ σ FS F lim = Y Y Y Y Y ST NT relT RrelT X δ
2 2 2 2 2 2
V V V V V V V σ σ FS F lim ST NT relT R r e lT X
Y Y Y Y Y δ
= + + + + +
FS F
S V FS
σ σ
= σ
155 http://www.paper.edu.cn
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你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 2727
按公式（2-2）可得到齿面接触疲劳强度的联结方程为：
( )
0 5
2 2
FS F
F F S
R .
u
S S σ σ
σ −σ
=
+
可靠度为：
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。2828
1 R ( u ) = −Φ R
160 设计时只需保证所求可靠度大于上文定义的定安全可靠度[R]即可。
3.3 齿轮强度可靠度的荐用值
齿轮工作的可靠性要求是根据其重要程度、维修难易、生产水平、经济因素等方面的情
况而定的。一般点蚀并不会使传动立即失效，而断齿则会使齿轮立即不能工作，因此齿轮断
齿的可靠度应高于齿面点蚀。一般齿轮可靠度的指标可参考表 3-1 选取。
165
表 3 齿根强度可靠度的荐用值
Tab. 3 Table of strength reliability of the tooth root with the value recommended
类别 齿面点蚀 齿轮断齿
低可靠性 0.9 0.99
中可靠性 0.99 0.999
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
2929
高可靠性 0.999 0.9999
寿命较长但可靠性要求不高的齿轮，如某些车辆的低速齿轮，可靠度可低至 0.8~0.9；
170 一般易于维修的农机齿轮，可靠度为 0.9 即可。
寿命不长但可靠性要求很高的齿轮，例如直升飞机主传动齿轮，可靠度 R 应大于 0.99，
甚至高达 0.9999。
要求在很长寿命内有较高可靠性的齿轮，例如工业蒸汽轮机和燃气轮机的齿轮，可靠度
R 应大于或者等于 0.98，而高速轧钢机，一般可靠度 R=0.99~0.995
[4]
。
175 4 结论
机械可靠性是边缘性学科，其本身内涵相当丰富，所涉及到的学科和专业比较多。机械
可靠性设计在工程实际中的应用尚处在起步阶段，本文中通过对齿轮传动可靠性设计
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
3030
的论
述，给出了基于机械可靠性原理，采用概率设计法进行齿轮传动设计的方法，并且能够求出
所设计齿轮的可靠度，涉及到可靠性设计理论基础、可靠性设计方法、概率设计法，希望能
180 对其他实际工程应用中的机械可靠性设计，特别是齿轮传动方面的可靠性设计有借鉴意义。
[参考文献] (References)
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你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3232
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