试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若1−|𝑥|在实数范围内有意义，则𝑥的取值范围是( )A. −1<𝑥<1
B. 𝑥≤1
C. 𝑥<1且𝑥≠0
D. 𝑥<1且𝑥≠−1
1−𝑥2. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记
录数量，即“结绳计数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是( )
A. 84B. 336C. 510D. 1326
3. 关于𝑥的方程𝑎𝑥2+(𝑎+2)𝑥+9𝑎=0有两个不等的实数根𝑥1，𝑥2，且𝑥1<1<𝑥2，那么𝑎
的取值范围是( )
A. −7<𝑎<522B. 𝑎>52C. 𝑎<−72D. −11<𝑎<0
24. 如图，在平面直角坐标系中，𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐵的顶点𝐴在𝑥轴的正半轴上．顶点𝐵的坐标为(3, 3)，点𝐶的坐标为(,0)，点𝑃为斜边𝑂𝐵上的一个动点，则𝑃𝐴+𝑃𝐶的最小值为( )
12A.
132B.
3123+ 19C. 2D. 2 75. 如图，平面直角坐标系中，已知直线𝑦=𝑥上一点𝑃(1,1)，𝐶为𝑦轴上一点，连接𝑃𝐶，线段
𝑃𝐶绕点𝑃顺时针旋转90°至线段𝑃𝐷，过点𝐷作直线𝐴𝐵⊥𝑥轴，垂足为𝐵，直线𝐴𝐵与直线𝑦=𝑥交于点𝐴，且𝐵𝐷=2𝐴𝐷，连接𝐶𝐷，直线𝐶𝐷与直线𝑦=𝑥交于点𝑄，则点𝑄的坐标为( )
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A. (2,2)55B. (3,3)
C. (4,4)
77D. (4,4)
996. 如图，已知𝑂是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷内一点，且𝑂𝐴=1，𝑂𝐵=3，𝑂𝐶
=4，那么𝑂𝐷的长为( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 3
7. 如图所示，在矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=6，点
𝐸、𝐹分别是矩形的边𝐴𝐷、𝐵𝐶上的动点，将该纸片沿直线𝐸𝐹折叠.使点𝐵落在矩形边𝐴𝐷上，对应点记为点𝐺，点𝐴落在𝑀处，连接𝐸𝐹、𝐵𝐺、𝐵𝐸，𝐸𝐹与𝐵𝐺交于点𝑁.则下列结论成立的是( )
①𝐵𝑁=𝐴𝐵；
②当点𝐺与点𝐷重合时，𝐸𝐹=3 5294；72③△𝐺𝑁𝐹的面积𝑆的取值范围是≤𝑆≤；53 13④当𝐶𝐹=时，𝑆△𝑀𝐸𝐺=．
24A. ①③B. ③④
𝑎𝑥2C. ②③D. ②④
8. 对于二次函数𝑦=
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑥≥0)
+𝑏𝑥+𝑐，规定函数𝑦=−𝑎𝑥2−𝑏𝑥−𝑐(𝑥<0)是它的相关函数.已
1292{知点𝑀，𝑁的坐标分别为(−,1)，(,1)，连接𝑀𝑁，若线段𝑀𝑁与二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑛的相关函数的图象有两个公共点，则𝑛的取值范围为( )
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A. −3<𝑛≤−1或1<𝑛≤4C. 𝑛≤−1或1<𝑛≤455B. −3<𝑛<−1或1≤𝑛≤4D. −3<𝑛<−1或𝑛≥1
5二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其
中一个无盖(如图)，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是______．
4(𝑥−1)+2>3𝑥
10. 已知关于𝑥的不等式组𝑥−1<6𝑥+𝑎有且只有三个整数解，则𝑎的取值范围
7{______ ．
11111的解是，则方程组的解为11. 若方程组𝑎1𝑥+𝑏𝑦=𝑐𝑦=43𝑎𝑥+2𝑏𝑦=5𝑐222222{𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
{𝑥=3{3𝑎𝑥+2𝑏𝑦=5𝑐
______．
12. 如图，𝑃为等边△𝐴𝐵𝐶内一点，𝑃𝐴=2，𝑃𝐵=1，𝑃𝐶= 3，则△𝐴𝐵𝐶的面积为______ ．
13. 已知实数𝑥满足(𝑥2+𝑥+1)(𝑥2+𝑥−1)=3，则𝑥2+𝑥的值为______ ．
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=4，𝐷、𝐸分别14. 如图，
是𝐴𝐶、𝐵𝐶上的一点，且𝐷𝐸=3，若以𝐷𝐸为直径的圆与斜边𝐴𝐵相交于𝑀、𝑁，则𝑀𝑁的最大值为______．
15. 已知抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(1,0)，𝐵(3,2).若𝑀(𝑎,𝑦1)，𝑁(𝑎+1,𝑦2)两点都在抛
物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐上，且𝑦1>𝑦2，则𝑎的取值范围为______ ．
16. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐴𝐶是弦，∠𝐵𝐴𝐶的平分线交⊙𝑂于点𝐷，
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，过点𝐵作⊙𝑂的切线交𝐴𝐷的延长线于𝐹，若𝐸𝐷=𝐷𝐹，则
𝐸𝐷= ______ ．𝐴𝐷第3页，共31页
17. 若𝑥+𝑦=12，求 𝑥2+4+ 𝑦2+9的最小值______．18. 已知二次函数的𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图象如图所示，有下
列5个结论：①𝑎𝑏𝑐<0；②𝑏<𝑎+𝑐；③4𝑎+2𝑏+𝑐>0；④2𝑐<3𝑏；⑤𝑎+𝑏<𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(𝑚≠1的实数)，其中正确结论的序号有______．
三、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
3
若≤𝑥≤2，化简 𝑥+2𝑥−3−1+ 𝑥−2𝑥−3−1．220. (本小题8.0分)
如果方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0的两个根是𝑥1，𝑥2，那么𝑥1+𝑥2=−𝑝，𝑥1⋅𝑥2=𝑞，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0，(𝑛≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知𝑎、𝑏满足𝑎2−15𝑎−5=0，𝑏2−15𝑏−5=0，求𝑏+的值；(3)已知𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=0，𝑎𝑏𝑐=16，求正数𝑐的最小值．
𝑎𝑏𝑎21. (本小题10.0分)
某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润𝑦1(元)与国内销售数量𝑥(15𝑥+900 (0<𝑥≤2)
千件)的关系为：𝑦1=−5𝑥+130 (2≤𝑥<6)；若在国外销售，平均每件产品的利润𝑦2(元100 (0<𝑡≤2)
)与国外的销售数量𝑡(千件)的关系为：𝑦2=−5𝑡+110 (2≤𝑡<6)．
(1)用𝑥的代数式表示𝑡为：𝑡=______；当0<𝑥≤4时，𝑦2与𝑥的函数关系式为：𝑦2=______；当4≤𝑥<______时，𝑦2=100；
(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润𝑊(千元)与国内的销售数量𝑥(千件)的函数关系
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式，并指出𝑥的取值范围；
(3)该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？
22. (本小题10.0分)
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐷翻折，点𝐵恰好与点𝐶重合，点𝐸在𝐴𝐶边上，连接𝐵𝐸．
(1)如图①，若点𝐹是𝐵𝐸的中点，连接𝐷𝐹，且𝐴𝐹=5，𝐴𝐸=6，求𝐷𝐹的长；
(2)如图②，若𝐴𝐹⊥𝐵𝐸于点𝐹，并延长𝐴𝐹交𝐵𝐶于点𝐺，当点𝐸是𝐴𝐶的中点时，连接𝐸𝐺，求证：𝐴𝐺+𝐸𝐺=𝐵𝐸；
(3)在(2)的条件下，连接𝐷𝐹，请直接写出∠𝐷𝐹𝐺的度数．
23. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2的图象经过点𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，与𝑦轴交于点𝐶．(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接𝐵𝐶，在该二次函数图象上是否存在点𝑃，使∠𝑃𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶？若存在，请求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线𝑙为该二次函数图象的对称轴，交𝑥轴于点𝐸.若点𝑄为𝑥轴上方二次函数图象上一动点，过点𝑄作直线𝐴𝑄，𝐵𝑄分别交直线𝑙于点𝑀，𝑁，在点𝑄的运动过程中，𝐸𝑀+𝐸𝑁的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：依题意得：1−𝑥≥0且1−|𝑥|≠0．解得𝑥<1且𝑥≠−1．故选：𝐷．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】𝐶
【解析】解：1×73+3×72+2×7+6=510，故选：𝐶．
类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．
本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
3.【答案】𝐷
【解析】解：𝑎𝑥2+(𝑎+2)𝑥+9𝑎=0，解得；𝑥1=−(𝑎+2)+𝑥2=−(𝑎+2)+ (𝑎+2)2−4𝑎⋅9𝑎−2−𝑎− −35𝑎2+4𝑎+4=，2𝑎2𝑎−35𝑎2+4𝑎+4，
2𝑎∵𝑥1<1<𝑥2，∴①−2−𝑎+解得；−
−35𝑎2+4𝑎+4>1，
2𝑎2<𝑎<0，11 ②−𝑎−2−解得：−
−35𝑎2+4𝑎+4<1．
2𝑎2<𝑎<0，11第7页，共31页
∴−
2<𝑎<0，11故选：𝐷．
首先解关于𝑥的方程𝑎𝑥2+(𝑎+2)𝑥+9𝑎=0，求出𝑥的解，再根据𝑥1<1<𝑥2，求出𝑎的取值范围．此题主要考查了解一元二次方程与不等式的解法，此题综合性较强，解题的关键是利用求根公式求出𝑥，再求不等式的解集是解决问题的关键．
4.【答案】𝐵
【解析】解：作𝐴关于𝑂𝐵的对称点𝐷，连接𝐶𝐷交𝑂𝐵于𝑃，连接𝐴𝑃，𝐴𝐷，过𝐷作𝐷𝑁⊥𝑂𝐴于𝑁，则此时𝑃𝐴+𝑃𝐶的值最小，∵𝐷𝑃=𝑃𝐴，
∴𝑃𝐴+𝑃𝐶=𝑃𝐷+𝑃𝐶=𝐶𝐷，∵𝐵(3, 3)，
∴𝐴𝐵= 3，𝑂𝐴=3，∠𝐵=60°，由勾股定理得：𝑂𝐵=2 3，由三角形面积公式得：1×𝑂𝐴×𝐴𝐵=122×𝑂𝐵×𝐴𝑀，∴𝐴𝑀=32，∴𝐴𝐷=2×32=3，
∵∠𝐴𝑀𝐵=90°，∠𝐵=60°，∴∠𝐵𝐴𝑀=30°，∵∠𝐵𝐴𝑂=90°，∴∠𝑂𝐴𝑀=60°，∵𝐷𝑁⊥𝑂𝐴，∴∠𝑁𝐷𝐴=30°，
∴𝐴𝑁=1𝐴𝐷=3，由勾股定理得：𝐷𝑁=3 2223，∵𝐶(12,0)，
∴𝐶𝑁=3−1−322=1，
在𝑅𝑡△𝐷𝑁𝐶中，由勾股定理得：𝐷𝐶= 12+(3 23)2= 312，
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即𝑃𝐴+𝑃𝐶的最小值是故选：𝐵．
31，2作𝐴关于𝑂𝐵的对称点𝐷，连接𝐶𝐷交𝑂𝐵于𝑃，连接𝐴𝑃，过𝐷作𝐷𝑁⊥𝑂𝐴于𝑁，则此时𝑃𝐴+𝑃𝐶的值最小，求出𝐴𝑀，求出𝐴𝐷，求出𝐷𝑁、𝐶𝑁，根据勾股定理求出𝐶𝐷，即可得出答案．
本题考查了三角形的内角和定理，轴对称−最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出𝑃点的位置，题目比较好，难度适中．
5.【答案】𝐷
【解析】解：过𝑃作𝑀𝑁⊥𝑦轴，交𝑦轴于𝑀，交𝐴𝐵于𝑁，过𝐷作𝐷𝐻⊥𝑦轴，交𝑦轴于𝐻，
∠𝐶𝑀𝑃=∠𝐷𝑁𝑃=∠𝐶𝑃𝐷=90°，
∴∠𝑀𝐶𝑃+∠𝐶𝑃𝑀=90°，∠𝑀𝑃𝐶+∠𝐷𝑃𝑁=90°，∴∠𝑀𝐶𝑃=∠𝐷𝑃𝑁，∵𝑃(1,1)，
∴𝑂𝑀=𝐵𝑁=1，𝑃𝑀=1，在△𝑀𝐶𝑃和△𝑁𝑃𝐷中，
{∠𝐶𝑀𝑃=∠𝐷𝑁𝑃∠𝑀𝐶𝑃=∠𝐷𝑃𝑁 𝑃𝐶=𝑃𝐷
∴△𝑀𝐶𝑃≌△𝑁𝑃𝐷(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐷𝑁=𝑃𝑀，𝑃𝑁=𝐶𝑀，∵𝐵𝐷=2𝐴𝐷，
∴设𝐴𝐷=𝑎，𝐵𝐷=2𝑎，∵𝑃(1,1)，∴𝐵𝑁=2𝑎−1，则2𝑎−1=1，𝑎=1，即𝐵𝐷=2．∵直线𝑦=𝑥，∴𝐴𝐵=𝑂𝐵=3，
在𝑅𝑡△𝐷𝑁𝑃中，由勾股定理得：𝑃𝐶=𝑃𝐷= (3−1)2+(2−1)2= 5，第9页，共31页
在𝑅𝑡△𝑀𝐶𝑃中，由勾股定理得：𝐶𝑀= ( 5)2−12=2，
则𝐶的坐标是(0,3)，
设直线𝐶𝐷的解析式是𝑦=𝑘𝑥+3，把𝐷(3,2)代入得：𝑘=−，即直线𝐶𝐷的解析式是𝑦=−𝑥+3，𝑥=9 𝑦=−1𝑥+3 43即方程组得：𝑦=9，
𝑦=𝑥41313{{即𝑄的坐标是(,). 故选：𝐷．
过𝑃作𝑀𝑁⊥𝑦轴，交𝑦轴于𝑀，交𝐴𝐵于𝑁，过𝐷作𝐷𝐻⊥𝑦轴，交𝑦轴于𝐻，∠𝐶𝑀𝑃=∠𝐷𝑁𝑃=∠𝐶𝑃𝐷=90°，求出∠𝑀𝐶𝑃=∠𝐷𝑃𝑁，证△𝑀𝐶𝑃≌△𝑁𝑃𝐷，推出𝐷𝑁=𝑃𝑀，𝑃𝑁=𝐶𝑀，设𝐴𝐷=𝑎，求出𝐷𝑁=2𝑎−1，得出2𝑎−1=1，求出𝑎=1，得出𝐷的坐标，在𝑅𝑡△𝐷𝑁𝑃中，由勾股定理求出𝑃𝐶=𝑃𝐷=
99445，在𝑅𝑡△𝑀𝐶𝑃中，由勾股定理求出𝐶𝑀=2，得出𝐶的坐标，设直线𝐶𝐷的解析式是𝑦=𝑘𝑥+3，
把𝐷(3,2)代入求出直线𝐶𝐷的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
6.【答案】𝐵
【解析】解：如图，过𝑂作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于𝐸，交𝐵𝐶于𝐹；过𝑂作𝐺𝐻⊥𝐷𝐶于𝐺，交𝐴𝐵于𝐻
设𝐶𝐹=𝑥，𝐹𝐵=𝑦，𝐴𝐻=𝑠，𝐻𝐵=𝑡，所以𝑂𝐺=𝑥，𝐷𝐺=𝑠
所以𝑂𝐹2=𝑂𝐵2−𝐵𝐹2=𝑂𝐶2−𝐶𝐹2 即42−𝑥2=32−𝑦2 所以𝑥2−𝑦2=16−9=7(1) 同理有𝑂𝐻2=12−𝑠2=32−𝑡2 所以𝑡2−𝑠2=32−12=8(2)
又因为𝑂𝐻2+𝐻𝐵2=𝑂𝐵2即𝑦2+𝑡2=9
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(1)−(2)得(𝑥2+𝑠2)−(𝑦2+𝑡2)=−1 所以𝑂𝐷2=𝑥2+𝑠2=(𝑦2+𝑡2)−1=9−1=8 所以𝑂𝐷=2 2 故选：𝐵．
过𝑂作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于𝐸，交𝐵𝐶于𝐹；过𝑂作𝐺𝐻⊥𝐷𝐶于𝐺，交𝐴𝐵于𝐻，设𝐶𝐹=𝑥，𝐹𝐵=𝑦，𝐴𝐻=𝑠，𝐻𝐵=𝑡，则可得𝑥2−𝑦2=16−9，𝑡2−𝑠2=32−12=8，整理得𝑂𝐷2=𝑥2+𝑠2=(𝑦2+𝑡2)−1=8，即可解题．
本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中整理计算𝑂𝐷的长度是解题的关键．
7.【答案】𝐷
【解析】解：∵𝐴𝐵=3是定值，𝐵𝑁=𝐵𝐺，𝐵𝐺的长是变化的，∴𝐵𝑁的值也是变化的，
∴𝐵𝑁与𝐴𝐵不一定相等，故①错误．∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐵，
由翻折的性质可知𝐹𝐵=𝐹𝐺，∠𝐸𝐹𝐵=∠𝐸𝐹𝐺，∴∠𝐺𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐺，∴𝐺𝐸=𝐺𝐹=𝐵𝐹，∵𝐺𝐸//𝐵𝐹，
∴四边形𝐵𝐸𝐺𝐹是平行四边形，∵𝐹𝐵=𝐹𝐺，
∴四边形𝐵𝐸𝐺𝐹是菱形，∴𝐵𝐸=𝐸𝐺，
当𝐷，𝐺重合时，设𝐵𝐸=𝐷𝐸=𝑥，则有𝑥2=32+(6−𝑥)2，∴𝑥=
15，412∵∠𝐴=90°，𝐴𝐵=3，𝐴𝐷=6，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵2+𝐴𝐷2= 32+62=3 5，
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∴𝑆菱形𝐵𝐸𝐷𝐹=𝐷𝐸⋅𝐴𝐵=⋅𝐵𝐷⋅𝐸𝐹，∴𝐸𝐹=
2×3×1543 512=3 52，故②正确，
144515×3=，164当𝐷，𝐺重合时，△𝐺𝑁𝐹的面积最大，最大值=×∴𝑆△𝐺𝑁𝐹≤
45，故③错误，1652如图2中，当𝐶𝐹=时，𝐵𝐹=𝐵𝐸=𝐸𝐺=𝐹𝐺=𝐵𝐶−𝐶𝐹=6−=，137∴𝐴𝐸=𝐸𝑀= 𝐵𝐸2−𝐴𝐵2= ()2−32=，
527222∴𝑆△𝑀𝐸𝐺=⋅𝑀𝐸⋅𝐺𝑀=×故选：𝐷．
1212 1313×3=3，故④正确．
42①错误．说明𝐵𝑁的长度是变化的即可．②正确．利用面积法求出𝐸𝐹即可．
③错误．求出△𝐺𝑁𝐹面积的最大值，即可判断．④正确，利用勾股定理求出𝐴𝐸，可得结论．
本题考查矩形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法解决线段问题，属于中考常考题型．
8.【答案】𝐴
【解析】解：如图1所示：线段𝑀𝑁与二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当𝑥=2时，𝑦=1，即−4+8+𝑛=1，解得𝑛=−3．
如图2所示：线段𝑀𝑁与二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛的相关函数的图象恰有3个公共点．
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∵抛物线𝑦=𝑥2−4𝑥−𝑛与𝑦轴交点纵坐标为1，∴−𝑛=1，解得：𝑛=−1．
∴当−3<𝑛≤−1时，线段𝑀𝑁与二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段𝑀𝑁与二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛经过点(0,1)，∴𝑛=1．
如图4所示：线段𝑀𝑁与二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线𝑦=𝑥2−4𝑥−𝑛经过点𝑀(−,1)，∴+2−𝑛=1，解得：𝑛=．
145412第13页，共31页
∴1<𝑛≤时，线段𝑀𝑁与二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，𝑛的取值范围是−3<𝑛≤−1或1<𝑛≤，故选：𝐴．
首先确定出二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛的相关函数与线段𝑀𝑁恰好有1个交点、2个交点、3个交点时𝑛的值，然后结合函数图象可确定出𝑛的取值范围．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑛的相关函数与线段𝑀𝑁恰好有1个交点、2个交点、3个交点时𝑛的值是解题的关键．
54549.【答案】6 【解析】【解答】
解：法一：因为三个茶杯只有花色不同，两个盖杯随机地搭配在一起，共3×2=6种结果，花色完全搭配正确的结果只有一种，所以其概率是．
法二：假设杯3无盖，总共有6种搭配结果，依次是：第一种：杯1盖1；杯2盖2；杯3；第二种：杯1盖1；杯2；杯3盖2；第三种：杯1盖2；杯2盖1；杯3；第四种：杯1盖2；杯2；杯3盖1；第五种：杯1；杯2盖1；杯3盖2；第六种：杯1；杯2盖2；杯3盖1，共6种搭配方式，只有第一种完全满足颜色正确搭配，故概率为．【分析】
本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有𝑛种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件𝐴出现𝑚种结果，那么事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=𝑛．列举出所有情况，看花色完全搭配正确的情况占所有情况的多少即为所求的概率．
𝑚1616110.【答案】−2<𝑎≤−1
4(𝑥−1)+2>3𝑥…①
【解析】解：𝑥−1<6𝑥+𝑎…②，
7{解①得：𝑥>2，解②得：𝑥<𝑎+7，
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方程组只有三个整数解，则整数解一定是3，4，5．根据题意得：5<𝑎+7≤6，解得：−2<𝑎≤−1．故答案是：−2<𝑎≤−1．
首先解两个不等式，根据方程组只有三个整数解，即可得到一个关于𝑎的不等式组，从而求得𝑎的范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11.【答案】𝑦=10
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=𝑐1𝑥=3
【解析】解：把方程组𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=𝑐2的解𝑦=4代入原方程组中得：𝑎+4𝑏=𝑐{33𝑎+4𝑏=𝑐，此式代入所求的方程得：𝑎𝑥+2𝑏𝑦=15𝑎+20𝑏{33𝑎𝑥+2𝑏𝑦=15𝑎+20𝑏，
𝑥=5解得{𝑦=10．
𝑥=5
故答案为{𝑦=10．
12121212121212{𝑥=5
{{3𝑎1𝑥+2𝑏1𝑦=5𝑐1方法2、方程组3𝑎2𝑥+2𝑏2𝑦=5𝑐2，每个方程左右两边同时除以5，可化为𝑎×(3𝑥)+𝑏×(2𝑦)=𝑐…(2)(Ⅰ)
22255{{𝑎1×(3𝑥)+𝑏1×(2𝑦)=𝑐1…(1)
55设𝑥=𝑚，𝑦=𝑛，
𝑎1𝑚+𝑏1𝑛=𝑐1∴方程组(Ⅰ)可化为𝑎2𝑚+𝑏2𝑛=𝑐2(Ⅱ)𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=𝑐1𝑥=3
∵方程组𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=𝑐2(Ⅲ)的解是𝑦=4，𝑚=3
对照方程组(Ⅱ)和(Ⅲ)的特点，得𝑛=4∴
3525{{{{{3𝑥52𝑦5=3=4，
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𝑥=5∴𝑦=10，𝑥=5
故答案为𝑦=10．
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=𝑐1𝑥=33𝑎1+4𝑏1=𝑐1方法1、把方程组𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=𝑐2的解是𝑦=4代入原方程组中可得到3𝑎2+4𝑏2=𝑐2，再把关于𝑐1𝑐2的代数式代入所求的方程组即可得解．
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=𝑐1方法2、先将所求的方程组每个方程除以5，得出新的方程组再和方程组𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=𝑐2对照，得出新方程组的解，即可得出结论．
本题考查了运用代入法解二元一次方程组的方法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
{{{{{{12.【答案】7 34 【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∴𝐵𝐴=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=60°，
把△𝐵𝑃𝐶绕点𝐵逆时针旋转60°得到△𝐵𝐷𝐴，
∴𝐵𝐷=𝐵𝑃=1，𝐴𝐷=𝐶𝑃= 3，∠𝐷𝐵𝑃=∠𝐴𝐵𝐶=60°，△𝐵𝐴𝐷≌△𝐵𝐶𝑃，
∴△𝐵𝐷𝑃为等边三角形，
∴𝑃𝐷=𝑃𝐵=1，∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐵𝐷𝑃=60°，𝑆△𝐵𝑃𝐷=在△𝐴𝐷𝑃中，∵𝐴𝐷= 3，𝑃𝐷=1，𝑃𝐴=2，∴𝐴𝐷2+𝑃𝐷2=𝑃𝐴2，
∴△𝐴𝐷𝑃为直角三角形，∠𝐴𝐷𝑃=90°，而𝑃𝐴=2𝑃𝐷，
1∴∠𝐴𝑃𝐷=60°，𝑆△𝐴𝐷𝑃=×1×
2 33×12=，443=3，
2∴𝑆△𝑃𝐴𝐵+𝑆△𝑃𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐷𝐵+𝑆△𝑃𝐴𝐵=𝑆△𝐴𝐷𝑃+𝑆△𝐵𝑃𝐷=∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝑃+∠𝐵𝐷𝑃=90°+60°=150°，∴∠𝐵𝑃𝐶=150°，
∵∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝑃𝐷+∠𝐵𝑃𝐷=60°+60°=120°，∴∠𝐴𝑃𝐶=360°−150°−120°=90°，
3 33 3+=，442第16页，共31页
∴△𝐴𝑃𝐶为直角三角形，∴𝑆△𝐴𝑃𝐶=×2× 3= 3，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝑃𝐴𝐵+𝑆△𝑃𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝑃𝐶=故答案为7 123 +43=73． 434．
根据等边三角形的性质𝐵𝐴=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=60°，则把△𝐵𝑃𝐶绕点𝐵逆时针旋转60°得到△𝐵𝐷𝐴，利用旋转的性质有𝐵𝐷=𝐵𝑃=1，𝐴𝐷=𝐶𝑃= 3，∠𝐷𝐵𝑃=∠𝐴𝐵𝐶=60°，△𝐵𝐴𝐷≌△𝐵𝐶𝑃，于是可判断△𝐵𝐷𝑃为等边三角形，所以𝑃𝐷=𝑃𝐵=1，∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐵𝐷𝑃=60°，𝑆△𝐵𝑃𝐷=股定理的逆定理证明∠𝐴𝐷𝑃=90°，则∠𝐴𝑃𝐷=60°，𝑆△𝐴𝐷𝑃=
3，接着利用勾43，所以𝑆△𝑃𝐴𝐵+𝑆△𝑃𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐷𝐵23 3+𝑆△𝑃𝐴𝐵=𝑆△𝐴𝐷𝑃+𝑆△𝐵𝑃𝐷=，然后证明△𝐴𝑃𝐶为直角三角形，则𝑆△𝐴𝑃𝐶=
43，所以𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝑃𝐴𝐵+𝑆△𝑃𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝑃𝐶=7 34．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是勾股定理的应用和证明∠𝐴𝑃𝐶=90°．
13.【答案】2
【解析】解：设𝑥2+𝑥=𝑦，则(𝑦+1)(𝑦−1)=3，∴𝑦2−1=3，解得𝑦=2或𝑦=−2，
当𝑦=2时，𝑥2+𝑥=2，关于𝑥的方程有实数根；
当𝑦=−2时，𝑥2+𝑥=−2，关于𝑥的方程无实数根，这种情况舍去；∴𝑥2+𝑥=2；故答案为：2
设𝑥2+𝑥=𝑦，可得𝑦2−1=3，𝑦=2或𝑦=−2，再检验可得答案．本题考查解一元二次方程，解题的关键是换元法的应用和检验．
14.【答案】5 12第17页，共31页
【解析】解：如图，连接𝑂𝑀，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，𝐶𝐾⊥𝐴𝐵于𝐾．
∵𝑂𝐻⊥𝑀𝑁，∴𝑀𝐻=𝐻𝑁，
∴𝑀𝑁=2𝑀𝐻=2 𝑂𝑀2−𝑂𝐻2，∵∠𝐷𝐶𝐸=90°，𝑂𝐷=𝑂𝐸，∴𝑂𝐶=𝑂𝐷=𝑂𝐸=𝑂𝑀=，
∴欲求𝑀𝑁的最大值，只要求出𝑂𝐻的最小值即可，∵𝑂𝐶=，
∴点𝑂的运动轨迹是以𝐶为圆心为半径的圆，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，∵𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=4，∴𝐴𝐵=5，
∵⋅𝐴𝐵⋅𝐶𝐾=⋅𝐴𝐶⋅𝐵𝐶，∴𝐶𝐾=
12，51212323232当𝐶，𝑂，𝐻共线，且与𝐶𝐾重合时，𝑂𝐻的值最小，∴𝑂𝐻的最小值为−=
123529，101239∴𝑀𝑁的最大值=2 ()2−()2=，2105故答案为．
3如图，连接𝑂𝑀，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，𝐶𝐾⊥𝐴𝐵于𝐾.由题意𝑀𝑁=2𝑀𝐻=2 𝑂𝑀2−𝑂𝐻2，𝑂𝑀=，推
2125出欲求𝑀𝑁的最大值，只要求出𝑂𝐻的最小值即可．
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本题考查圆，勾股定理，轨迹等知识，最值问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15.【答案】𝑎<1
1+𝑏+𝑐=0
【解析】解：由题意，将𝐴、𝐵两点代入解析式得，9+3𝑏+𝑐=2，𝑏=−3∴𝑐=2．
∴抛物线的解析式为𝑦=𝑥2−3𝑥+2．∴该抛物线的对称轴直线𝑥=−由题意，抛物线开口向上，
∴当𝑥<时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥>时，由随𝑥的增大而增大．又𝑎<𝑎+1，
∴①当𝑎+1≤时，有𝑦1>𝑦2，即此时𝑎≤；②当𝑎<<𝑎+1时，由𝑦1>𝑦2，∴−𝑎>𝑎+1−．∴此时<𝑎<1．
③当≤𝑎<𝑎+1时，显然没有𝑦1>𝑦2．综上，𝑎<1．故答案为：𝑎<1．
依据题意，首先将𝐴、𝐵两点代入解析式然后求出解析式，再结合对称轴，由当𝑥1<𝑥2时，𝑦1>𝑦2，从而分类讨论可以得解．
本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握二次函数的性质并灵活运用是关键．
321232323232123232−33=．22{{16.【答案】
5−1 2【解析】解：连接𝐵𝐷，∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，
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∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，∴∠𝐹𝐷𝐵=90°，∵𝐵𝐹与⊙𝑂相切于点𝐵，∴𝐵𝐹⊥𝑂𝐵，∴∠𝐹𝐵𝐴=90°，∴
𝐷𝐹𝐵𝐹==𝑐𝑜𝑠𝐹，𝐵𝐹𝐴𝐹∴𝐵𝐹2=𝐷𝐹⋅𝐴𝐹，∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，∴∠𝐸=90°，∴∠𝐸=∠𝐹𝐷𝐵，
∵∠𝐵𝐴𝐶的平分线交⊙𝑂于点𝐷，∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐸，
∵∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐹𝐵𝐷=90°−∠𝐹，∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐹𝐵𝐷，∵𝐸𝐷=𝐷𝐹，
∴△𝐷𝐴𝐸≌△𝐹𝐵𝐷(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐴𝐷=𝐵𝐹，∴𝐴𝐷2=𝐷𝐹⋅𝐴𝐹，
设𝐸𝐷=𝐷𝐹=𝑥，𝐴𝐷=𝑚，则𝑚2=𝑥(𝑥+𝑚)，解关于𝑥的方程得𝑥1=∴
𝑥𝐸𝐷5=𝑚=−1，𝐴𝐷2 5−15𝑚，𝑥2=−−1𝑚(不符合题意，舍去)，22故答案为：
5−1．2连接𝐵𝐷，由𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，得∠𝐴𝐷𝐵=90°，则∠𝐹𝐷𝐵=90°，由𝐵𝐹与⊙𝑂相切于点𝐵，证明∠𝐹𝐵𝐴=90°，则
𝐷𝐹𝐵𝐹==𝑐𝑜𝑠𝐹，所以𝐵𝐹2=𝐷𝐹⋅𝐴𝐹，再证明△𝐷𝐴𝐸≌△𝐹𝐵𝐷，得𝐴𝐷=𝐵𝐹，则𝐴𝐷2𝐵𝐹𝐴𝐹 =𝐷𝐹⋅𝐴𝐹，设𝐸𝐷=𝐷𝐹=𝑥，𝐴𝐷=𝑚，则𝑚2=𝑥(𝑥+𝑚)，求得符合题意的𝑥值为
𝑥𝐸𝐷5得=𝑚=−1，于是得到问题的答案．𝐴𝐷25−1𝑚，即可求2此题重点考查同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形、切线的性质定理、全等三角形的
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判定与性质、一元二次方程的解法等知识，正确地作出所需要的辅助线并且推导出𝐴𝐷2=𝐷𝐹⋅𝐴𝐹是解题的关键．
17.【答案】13
【解析】解：∵𝑥+𝑦=12，∴𝑦=12−𝑥①，
将①代入 𝑥2+4+ 𝑦2+9得，
𝑥2+4+ (12−𝑥)2+9②，
由②得， (𝑥−0)2+(0−2)2+ (𝑥−12)2+(0−3)2，可理解为𝑀(𝑥,0)到𝐴(0,2)和𝐵(12,3)的距离的最小值．作𝐴关于轴的对称点𝐴′(0,−2)，连接𝐴′𝐵，与𝑥轴交点即为𝑀．在𝑅𝑡△𝐴′𝐷𝐵中，𝐴′𝐵= 𝐴′𝐷2+𝐵𝐷2= 52+122=13．故答案为：13．如图：
将𝑥+𝑦=12变形后代入 𝑥2+4+ 𝑦2+9，再转化为轴对称最短路径问题解答即可．此题考查了利用两点间距离公式的几何意义解答最值问题，体现了数形结合思想的重要作用．
18.【答案】①③④
【解析】解：①由图象可知：𝑎<0，𝑏>0，𝑐>0，𝑎𝑏𝑐<0，故此选项正确；②当𝑥=−1时，𝑦=𝑎−𝑏+𝑐<0，即𝑏>𝑎+𝑐，错误；
③由对称知，当𝑥=2时，函数值大于0，即𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐>0，故此选项正确；④当𝑥=3时函数值小于0，𝑦=9𝑎+3𝑏+𝑐<0，且𝑥=−
𝑏2𝑏2𝑏=1，2𝑎即𝑎=−，代入得9(−)+3𝑏+𝑐<0，得2𝑐<3𝑏，故此选项正确；⑤当𝑥=1时，𝑦的值最大．此时，𝑦=𝑎+𝑏+𝑐，而当𝑥=𝑚时，𝑦=𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐，所以𝑎+𝑏+𝑐>𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐，
故𝑎+𝑏>𝑎𝑚2+𝑏𝑚，即𝑎+𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)，故此选项错误．故①③④正确．故答案为：①③④．
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由抛物线的开口方向判断𝑎的符号，由抛物线与𝑦轴的交点判断𝑐的符号，然后根据对称轴及抛物线与𝑥轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与𝑦轴的交点、抛物线与𝑥轴交点的个数确定．
19.【答案】解：设𝑡= 𝑥+ 2𝑥−3−1+ 𝑥− 2𝑥−3−1，
两侧同时平方得：
𝑡2=( 𝑥+2𝑥−3−1+ 𝑥−2𝑥−3−1)2
=𝑥+ 2𝑥−3−1+𝑥− 2𝑥−3_1+2 (𝑥−1)2−(2𝑥−3) =2𝑥−2+2 (𝑥−2)2 又∵≤𝑥≤2，
∴𝑡2=2𝑥−2+2(2−𝑥)=2，∵𝑡为正数，∴𝑡= 2，
所以 𝑥+2𝑥−3−1+ 𝑥−2𝑥−3−1= 2．
32【解析】用换元法简化复合二次根式，根据𝑥的取值范围进行二次根式化简即可．
本题考查了二次根式的加减，二次根式的加减先要将每个二次根式化简成最简二次根式后再进行加减运算．
20.【答案】解：(1)设方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0，(𝑛≠0)的两个根分别是𝑥1，𝑥2，
则：𝑥+𝑥=𝑥𝑥 =−𝑛，
12121111⋅==，𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2 𝑛11𝑥1+𝑥2𝑚若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：𝑥2+𝑛𝑥+=0；
𝑚1𝑛(2)∵𝑎、𝑏满足𝑎2−15𝑎−5=0，𝑏2−15𝑏−5=0，∴𝑎，𝑏是𝑥2−15𝑥−5=0的解，当𝑎≠𝑏时，𝑎+𝑏=15，𝑎𝑏=−5，
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𝑎𝑏𝑎2+𝑏2(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏152−2×(−5)+====−47．𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏−5当𝑎=𝑏时，原式=2；
(3)∵𝑎+𝑏+𝑐=0，𝑎𝑏𝑐=16，∴𝑎+𝑏=−𝑐，𝑎𝑏=
16，𝑐16=0的解，𝑐∴𝑎、𝑏是方程𝑥2+𝑐𝑥+∴𝑐2−4⋅
316≥0，𝑐𝑐2−4≥0，
𝑐∵𝑐是正数，∴𝑐3−43≥0，𝑐3≥43，𝑐≥4，
∴正数𝑐的最小值是4．
【解析】(1)先设方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0，(𝑛≠0)的两个根分别是𝑥1，𝑥2，得出𝑥+𝑥=−𝑛，𝑥⋅𝑥1212=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
(2)根据𝑎、𝑏满足𝑎2−15𝑎−5=0，𝑏2−15𝑏−5=0，得出𝑎，𝑏是𝑥2−15𝑥−5=0的解，求出𝑎+𝑏和𝑎𝑏的值，即可求出𝑏+的值．
(3)根据𝑎+𝑏+𝑐=0，𝑎𝑏𝑐=16，得出𝑎+𝑏=−𝑐，𝑎𝑏=再根据𝑐2−4⋅
16≥0，即可求出𝑐的最小值．𝑐1616，𝑎、𝑏是方程𝑥2+𝑐𝑥+=0的解，𝑐𝑐𝑎𝑏𝑎1𝑛11𝑚11本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
21.【答案】6−𝑥；5𝑥+80；6
【解析】解：(1)由题意，得𝑥+𝑡=6，∴𝑡=6−𝑥；
100(0<𝑡≤2)
∵𝑦2=−5𝑡+110(2≤𝑡<6)，
{第23页，共31页
∴当0<𝑥≤4时，2≤6−𝑥<6，即2≤𝑡<6，
此时𝑦2与𝑥的函数关系为：𝑦2=−5(6−𝑥)+110=5𝑥+80；当4≤𝑥<6时，0<6−𝑥≤2，即0<𝑡≤2，此时𝑦2=100．
故答案为：6−𝑥；5𝑥+80；4，6；
(2)分三种情况：
①当0<𝑥≤2时，𝑊=(15𝑥+90)𝑥+(5𝑥+80)(6−𝑥)=10𝑥2+40𝑥+480；②当2<𝑥≤4时，𝑊=(−5𝑥+130)𝑥+(5𝑥+80)(6−𝑥)=−10𝑥2+80𝑥+480；③当4<𝑥<6时，𝑊=(−5𝑥+130)𝑥+100(6−𝑥)=−5𝑥2+30𝑥+600；10𝑥2+40𝑥+480(0<𝑥≤2)
𝑥2+80𝑥+480(2<𝑥≤4)；综上可知，𝑊=−102−5𝑥+30𝑥+600(4<𝑥<6)
{(3)当0<𝑥≤2时，𝑊=10𝑥2+40𝑥+480=10(𝑥+2)2+440，此时𝑥=2时，𝑊最大=600；当2<𝑥≤4时，𝑊=−10𝑥2+80𝑥+480=−10(𝑥−4)2+640，此时𝑥=4时，𝑊最大=640；当4<𝑥<6时，𝑊=−5𝑥2+30𝑥+600=−5(𝑥−3)2+645，4<𝑥<6时，𝑊<640；∵𝑎=−5，
∴当𝑥>3时，𝑊随𝑥的增大而减小，∴𝑥=4时，𝑊最大=640．
故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．
(1)由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即𝑥+𝑡=6，变形即为𝑡=6−𝑥；
100(0<𝑡≤2)
根据平均每件产品的利润𝑦2(元)与国外的销售数量𝑡(千件)的关系𝑦2=−5𝑡+110(2≤𝑡<6)及𝑡=6−𝑥即可求出𝑦2与𝑥的函数关系：
当0<𝑥≤4时，𝑦2=5𝑥+80；当4≤𝑥<6时，𝑦2=100；
(2)根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0<𝑥≤2；②2<𝑥≤4；③4<𝑥<6；
(3)先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再
{第24页，共31页
比较即可．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐷翻折，点𝐵恰好与点𝐶重合，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，且∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，
∵点𝐹是𝐵𝐸的中点，𝐴𝐹=5，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴𝐵𝐸=10，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐸2−𝐴𝐸2= 100−36=8，∴𝐴𝐶=8，∴𝐸𝐶=2，
∵𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐵𝐹=𝐸𝐹，∴𝐷𝐹=𝐸𝐶=1，
(2)如图②，过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐶交𝐴𝐺的延长线于点𝐻，
12∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐵𝐷=𝐶𝐷，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∵∠𝐵𝐸𝐴+∠𝐶𝐴𝐻=90°，∠𝐶𝐴𝐻+∠𝐻=90°，∴∠𝐻=∠𝐵𝐸𝐴，且𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐶𝐻=90°，∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐻(𝐴𝐴𝑆)
∴𝐵𝐸=𝐴𝐻，𝐴𝐸=𝐶𝐻，∠𝐶𝐴𝐻=∠𝐴𝐵𝐸，∵𝐴𝐸=𝐶𝐸，∴𝐶𝐸=𝐶𝐻，
∵∠𝐴𝐶𝐻=90°，∠𝐴𝐶𝐵=45°，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐺𝐶𝐻，且𝐶𝐸=𝐶𝐻，𝐶𝐺=𝐶𝐺，
第25页，共31页
∴△𝐶𝐸𝐺≌△𝐶𝐻𝐺(𝑆𝐴𝑆)∴𝐸𝐺=𝐺𝐻，
∵𝐵𝐸=𝐴𝐻=𝐴𝐺+𝐺𝐻，∴𝐴𝐺+𝐸𝐺=𝐵𝐸；(3)如图②，连接𝑁𝐺，
∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐶𝐷，
∵∠𝐵𝐴𝑁=∠𝐴𝐶𝐺=45°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐴𝐻，∴△𝐴𝐵𝑁≌△𝐶𝐴𝐺(𝐴𝑆𝐴)∴𝐴𝑁=𝐶𝐺，
∴𝐴𝐷−𝐴𝑁=𝐶𝐷−𝐶𝐺，∴𝐷𝑁=𝐷𝐺，
∴∠𝐷𝑁𝐺=45°
∵∠𝑁𝐷𝐺=∠𝑁𝐹𝐺=90°，
∴点𝑁，点𝐹，点𝐺，点𝐷四点共圆，∴∠𝐷𝐹𝐺=∠𝐷𝑁𝐺=45°．
【解析】(1)由折叠的性质可得𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，由勾股定理可求𝐴𝐵=𝐴𝐶=8，由三角形中位线定理可求解；
(2)过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐶交𝐴𝐺的延长线于点𝐻，通过证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐻，可得𝐵𝐸=𝐴𝐻，𝐴𝐸=𝐶𝐻，∠𝐶𝐴𝐻=∠𝐴𝐵𝐸，由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐶𝐸𝐺≌△𝐶𝐻𝐺，可得𝐸𝐺=𝐺𝐻，即可得结论；
(3)由“𝐴𝑆𝐴”可证△𝐴𝐵𝑁≌△𝐶𝐴𝐺，可得𝐴𝑁=𝐶𝐺，可得𝐷𝐹=𝐷𝐺，可求∠𝐷𝑁𝐺=45°，通过证明点𝑁，点𝐹，点𝐺，点𝐷四点共圆，可得∠𝐷𝐹𝐺=∠𝐷𝑁𝐺=45°．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2经过点𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，
𝑎−𝑏+2=0
∴9𝑎+3𝑏+2=0,
𝑎=−23解得：𝑏=4,
3{{第26页，共31页
∴该二次函数的表达式为𝑦=−2𝑥2+433𝑥+2；(2)存在，理由如下：如图1，当点𝑃1在𝐵𝐶上方时，若∠𝑃1𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶，则𝐶𝑃1//𝐴𝐵，即𝐶𝑃1//𝑥轴，
∴点𝑃1与点𝐶关于抛物线的对称轴对称，∵𝑦=−2𝑥2+433𝑥+2，4∴抛物线的对称轴为直线𝑥=−32×(−2=1，
3)∵𝐶(0,2)，∴𝑃1(2,2)；
当点𝑃2在𝐵𝐶下方时，设𝐶𝑃2交𝑥轴于点𝐷(𝑚,0)，则𝑂𝐷=𝑚，𝐵𝐷=3−𝑚，∵∠𝑃2𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶，∴𝐶𝐷=𝐵𝐷=3−𝑚，
在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐷中，𝑂𝐶2+𝑂𝐷2=𝐶𝐷2，∴22+𝑚2=(3−𝑚)2，解得：𝑚=56，∴𝐷(56,0)，
设直线𝐶𝐷的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑑，则{56𝑘+𝑑=0
𝑑=2
,
解得：
{𝑘=−12𝑑=2
5,∴直线𝐶𝐷的表达式为𝑦=−125𝑥+2，
联立，得{𝑦=−125𝑥+2
𝑦=−23𝑥2+43𝑥+2,
解得：{𝑥𝑦1=0𝑥)，{2=2851=2(舍去𝑦2=−286,
25∴𝑃(282865,−
25)，第27页，共31页
综上所述，点𝑃的坐标为(2,2)或(,−
2343285286)；25(3)由(2)知：抛物线𝑦=−𝑥2+𝑥+2的对称轴为直线𝑥=1，∴𝐸(1,0)，
设𝑄(𝑡,−𝑡2+𝑡+2)，且−1<𝑡<3，
−𝑒+𝑓=0
设直线𝐴𝑄的表达式为𝑦=𝑒𝑥+𝑓，则𝑡𝑒+𝑓=−2𝑡2+4𝑡+2
332343{解得：𝑓=−2𝑡+2,
3{𝑒=−2𝑡+2
3∴直线𝐴𝑄的表达式为𝑦=(−𝑡+2)𝑥−𝑡+2，当𝑥=1时，𝑦=−𝑡+4，∴𝑀(1,−𝑡+4)，
同理可得直线𝐵𝑄的表达式为𝑦=(−𝑡−)𝑥+2𝑡+2，当𝑥=1时，𝑦=𝑡+，∴𝑁(1,𝑡+)，
∴𝐸𝑀=−𝑡+4，𝐸𝑁=𝑡+，∴𝐸𝑀+𝐸𝑁=−𝑡+4+𝑡+=故E𝑀+𝐸𝑁的值为定值． 【解析】【分析】
(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)分两种情况：当点𝑃在𝐵𝐶上方时，根据平行线的判定定理可得𝐶𝑃1//𝑥轴，可得𝑃1(2,2)；当点𝑃在𝐵𝐶下方时，设𝐶𝑃2交𝑥轴于点𝐷(𝑚,0)，则𝑂𝐷=𝑚，𝐵𝐷=3−𝑚，利用勾股定理即可求得𝑚=，得出𝐷(,0)，再运用待定系数法求得直线𝐶𝐷的表达式为𝑦=−𝑥+2，通过联立方程组求解即可得出𝑃2(,−
23285286)；254323561255616343434316，343434343434343232343432323(3)设𝑄(𝑡,−𝑡2+𝑡+2)，且−1<𝑡<3，运用待定系数法求得直线𝐴𝑄的表达式为𝑦=(−𝑡+2)𝑥−
第28页，共31页
222𝑡+2，直线𝐵𝑄的表达式为𝑦=(−𝑡−)𝑥+2𝑡+2，进而求出点𝑀，𝑁的坐标，用𝑡分别表示出𝐸333𝑀，𝐸𝑁，即可得出答案．【解答】
解：(1)∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2经过点𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，
解得：
∴该二次函数的表达式为𝑦=−2𝑥2+433𝑥+2；(2)存在，理由如下：如图1，当点𝑃1在𝐵𝐶上方时，若∠𝑃1𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶，则𝐶𝑃1//𝐴𝐵，即𝐶𝑃1//𝑥轴，
∴点𝑃1与点𝐶关于抛物线的对称轴对称，∵𝑦=−2𝑥2+433𝑥+2，4∴抛物线的对称轴为直线𝑥=−32×(−2=1，
3)∵𝐶(0,2)，∴𝑃1(2,2)；
当点𝑃2在𝐵𝐶下方时，设𝐶𝑃2交𝑥轴于点𝐷(𝑚,0)，则𝑂𝐷=𝑚，𝐵𝐷=3−𝑚，∵∠𝑃2𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶，∴𝐶𝐷=𝐵𝐷=3−𝑚，
在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐷中，𝑂𝐶2+𝑂𝐷2=𝐶𝐷2，∴22+𝑚2=(3−𝑚)2，解得：𝑚=56，∴𝐷(56,0)，
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设直线𝐶𝐷的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑑，则
解得：
125∴直线𝐶𝐷的表达式为𝑦=−𝑥+2，
联立，得
解得：舍去)，
∴𝑃(,−
285286)，25285286)；25综上所述，点𝑃的坐标为(2,2)或(,−
2343(3)由(2)知：抛物线𝑦=−𝑥2+𝑥+2的对称轴为直线𝑥=1，∴𝐸(1,0)，
设𝑄(𝑡,−𝑡2+𝑡+2)，且−1<𝑡<3，
−𝑒+𝑓=0
设直线𝐴𝑄的表达式为𝑦=𝑒𝑥+𝑓，则𝑡𝑒+𝑓=−2𝑡2+4𝑡+2
332343{解得：𝑓=−2𝑡+2，
3{𝑒=−2𝑡+2
3∴直线𝐴𝑄的表达式为𝑦=(−𝑡+2)𝑥−𝑡+2，当𝑥=1时，𝑦=−𝑡+4，∴𝑀(1,−𝑡+4)，
同理可得直线𝐵𝑄的表达式为𝑦=(−𝑡−)𝑥+2𝑡+2，当𝑥=1时，𝑦=𝑡+，∴𝑁(1,𝑡+)，
∴𝐸𝑀=−𝑡+4，𝐸𝑁=𝑡+，43434343434343232343432323第30页，共31页
∴𝐸𝑀+𝐸𝑁=−𝑡+4+𝑡+=故E𝑀+𝐸𝑁的值为定值．【点评】
16343434316，3本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，平行线的性质及应用，等腰三角形的判定，二次函数的性质，勾股定理等知识，属于中考压轴题，掌握相关知识并能综合运用是解题关键．
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