分式不等式与一元高次不等式的解法训练

【知识点梳理】

一、一元高次不等式

方法:先因式分解,再使用穿根法.

注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.

使用方法:

①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.

②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).

③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.

二、分式不等式

方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。

方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：

（1）

fx0fxgx0gx

（2）

fxfxgx00gxgx0

解题方法：数轴标根法。

解题步骤：（1）首项系数化为“正”；（2）移项通分，不等号右侧化为“0”；（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式；（4）数轴标根。

归纳：分式不等式主要是转化为

xa1xa2xam0或0xb1xb2xbn

，再用数轴标根法求解。

【典型例题】

例1、解不等式

(1)2x3-x2-15x＞0；

(2)(x+4)(x+5)2(2-x)4＜0．

例2、解下列不等式：

⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0； ⑵ (x+2)(x2+x+1)>0；

⑶ (x+2)2(x+1)<0； （4）(x+2)2(x+1)0；

（5） (x2-1)(x2-5x-6)> 0

例3、解下列不等式：

⑴(x2-1)(x-1)(x2-x-2)<0； ⑵(x+1)2(x-2)2(x-1)0； (x-1)2(x2-x-2)0；

x23x2例4、解不等式：x27x120

x29x11例5、解不等式：x22x17

x25x6例6、解不等式：x23x20

2x12x1例7、解不等式：x33x2

23x例8、解不等式：x2x13（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）

⑶

例9、解下列不等式。

1182x⑴x+2+x10>7+x10； ⑵x3x21；

(3x2)(x2)(2x2)(x2)⑶(x4)2<(x4)2 ； 【巩固练习】

1、解下列不等式：

⑴(x+1)2(x-1)(x-4)>0；

⑵(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0 ；

⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x))0

⑷(x2-1)(x-1)(x2-x-2)0；

4⑸x+1x1

3x214x14⑹x26x81；

2x12x1⑺x3>3x2；

(x1)(x1)2(x2)3⑷

(x3)4(x4)5(x5)60。

(x1)2(x2)⑻(x3)(x4)0；

2：解不等式：

x31、2x0 x23x23、x22x30 x13x2x65、x320 2x1 2、x31

x22x1 4、x20xx36、9x20