2018年江苏省高考数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B= ． 2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 ． 3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．
4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ．
5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为 ．
6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣称，则φ的值为 ．
8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为
﹣
=1（a＞0，b＞0）的
φ＜
）的图象关于直线x=
对
c，则其离心率的值为 ．
9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，
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f（x）=，则f（f（15））的值为 ．
10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ．
12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若横坐标为 ．
13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 ．
14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
=0，则点A的
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16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣（1）求cos2α的值； （2）求tan（α﹣β）的值．
．
17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围； （2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（F1（﹣
，0），F2（
，0），圆O的直径为F1F2．
），焦点
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为
，求直线l的方程．
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19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；
（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值； （3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=
．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，
使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．
20．（16.00分）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，
]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤
b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．
数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2
，求BC的长．
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B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．（10.00分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分） 23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（求直线l被曲线C截得的弦长．
D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．
【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，
．
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26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2……in的一个逆序，排列i1i2……in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3（2），f4（2）的值；
（2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．
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2018年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B= {1，8} ．
【分析】直接利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}， ∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}， 故答案为：{1，8}．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．
2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 2 ． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由i•z=1+2i， 得z=
∴z的实部为2． 故答案为：2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 90 ．
，
【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可． 【解答】解：根据茎叶图中的数据知，
这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，
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它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90． 故答案为：90．
【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．
4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 8 ．
【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值． 【解答】解：模拟程序的运行过程如下； I=1，S=1， I=3，S=2， I=5，S=4， I=7，S=8，
此时不满足循环条件，则输出S=8． 故答案为：8．
【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．
5．（5.00分）函数f（x）=
的定义域为 [2，+∞） ．
【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可． 【解答】解：由题意得：解得：x≥2，
∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．
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≥1，
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．
6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 0.3 ．
【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可
【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，
共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=
=0.3，
（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，
则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种， 其中全是女生为AB，AC，BC共3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=故答案为：0.3
【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．
7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣称，则φ的值为
．
φ＜
）的图象关于直线x=
对
=0.3，
【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣∴2×
+φ=kπ+
，
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φ＜）的图象关于直线x=对称，
，k∈Z，
即φ=kπ﹣
∵﹣φ＜，
，
∴当k=0时，φ=﹣故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．
8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为
﹣
=1（a＞0，b＞0）的
c，则其离心率的值为 2 ．
【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可． 【解答】解：双曲线y=x的距离为
c，
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线
可得：=b=，
可得，即c=2a，
．
所以双曲线的离心率为：e=故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=
，则f（f（15））的值为 ．
【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．
【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，
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则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=， f（）=cos（即f（f（15））=故答案为：
）=cos，
=，
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．
10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
．
【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可． 【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1， 多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×故答案为：．
=． ，
【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 ．
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【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和． 【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，
∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞）， ①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；
②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞， ∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增， 又f（x）只有一个零点， ∴f（）=﹣
+1=0，解得a=3，
f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]， f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），
f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减， f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，
∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1， ∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为： f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．
【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．
12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若横坐标为 3 ．
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=0，则点A的
【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合【解答】解：设A（a，2a），a＞0， ∵B（5，0），∴C（
，a），
=0求得a值得答案．
则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0． 联立∴
解得：a=3或a=﹣1． 又a＞0，∴a=3． 即A的横坐标为3． 故答案为：3．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．
13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 9 ．
【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°， 即ac=a+c， 得+=1，
得4a+c=（4a+c）（+）=+当且仅当=
+5≥2
+5=4+5=9，
，解得D（1，2）．
=
．
，即c=2a时，取等号，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．
14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，
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则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为 27 ． 【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．
【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，
所以数列{an}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32． S26=
，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．
当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}， 所以数列{an}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32． S27=
故答案为：27．
【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
=546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，
【分析】（1）由
⇒AB∥平面A1B1C；
（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，
由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．
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【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，
AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C； （2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC． ∴
⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．
16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣（1）求cos2α的值； （2）求tan（α﹣β）的值．
【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；
（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣
求得tan（α+β），利用tan（α
．
﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．
【解答】解：（1）由，解得，
∴cos2α=
（2）由（1）得，sin2∵α，β∈（0，∴sin（α+β）=则tan（α+β）=
；
，则tan2α=
．
），∴α+β∈（0，π），
=．
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．
∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围； （2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围； （2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ）， 利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大． 【解答】解：（1）S矩形ABCD=（40sinθ+10）•80cosθ =800（4sinθcosθ+cosθ）， S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ） =1600（cosθ﹣cosθsinθ），
当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=； 当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1， ∴sinθ的取值范围是[，1）；
（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产
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值为3t，
则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ） =8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）； 设f（θ）=sinθcosθ+cosθ， 则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ =﹣2sin2θ﹣sinθ+1；
令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=
，cosθ=
；
当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增； 当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减； ∴θ=
时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．
答：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ）， S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ）， sinθ∈[，1）； θ=
时总产值y最大．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．
18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（F1（﹣
，0），F2（
，0），圆O的直径为F1F2．
），焦点
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为
，求直线l的方程．
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【分析】（1）由题意可得即可．
．
，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1
（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．
由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）
，m=3．即可
（4m2﹣4）=0，解得k=﹣
②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
O到直线l的距离d=△S=解得k=﹣
，（正值舍去），m=3OAB
，|AB|=
的
=．即可
，
． |x2﹣x1|=
面
积
=
， ， 为
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为∵焦点F1（﹣∵∴
，0），F2（
，0），∴
，又a2﹣b2=c2=3，
解得a=2，b=1． ∴椭圆C的方程为：
，圆O的方程为：x2+y2=3．
（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，
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∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）． 由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径
，可得
．
由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，
可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣将k=﹣解得x=
，m=3代入
可得
．
，
，m=3．
，y=1，故点P的坐标为（
②设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由
⇒k＜﹣
．
联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， |x2﹣x1|=
=
，
O到直线l的距离d=，
|AB|=△S=解得k=﹣∴y=﹣
|x2﹣x1|=OAB
的
=
，（正值舍去），m=3
为所求．
．
，
面
积
=
，
为
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．
19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在
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x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；
（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值； （3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=
．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，
使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由． 【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可； （2）根据“S点”的定义解两个方程即可；
（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可． 【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2， 则由定义得点”；
（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0， 由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=f（
）=﹣=g（
，
，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S
）=﹣lna2，得a=；
，（x≠0），
（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=
由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，
由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a=令h（x）=x2﹣
﹣a=
=﹣
，得a=x02﹣，（a＞0，0＜x＜1），
，
设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），
则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0， 又m（x）的图象在（0，1）上连续不断， 则m（x）在（0，1）上有零点， 则h（x）在（0，1）上有零点，
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则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．
【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．
20．（16.00分）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，
]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤
b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）． 【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可； （2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知|an﹣bn|≤1对任意n=1，2，3，4均成立， ∵a1=0，q=2，
∴，解得．即≤d≤．
证明：（2）∵an=a1+（n﹣1）d，bn=b1•qn﹣1，
若存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立， 则|b1+（n﹣1）d﹣b1•qn﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1）， 即
b1≤d≤
，（n=2，3，…，m+1），
∵q∈（1，]，∴则1＜qn﹣1≤qm≤2，（n=2，3，…，m+1），
∴
b1≤0，＞0，
因此取d=0时，|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立， 下面讨论数列{
}的最大值和数列{}的最小值，
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①当2≤n≤m时，﹣==，
当1＜q≤时，有qn≤qm≤2，
从而n（qn﹣qn﹣1）﹣qn+2＞0， 因此当2≤n≤m+1时，数列{
}单调递增，
故数列{}的最大值为．
②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0， ∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，
当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，
因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，
故数列{}的最小值为，
∴d的取值范围是d∈[，]．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．
数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2
，求BC的长．
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【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长． 【解答】解：连接OC， 因为PC为切线且切点为C， 所以OC⊥CP． 因为圆O的半径为2，所以BO=OC=2，所以
，
， ，
所以∠COP=60°，
所以△COB为等边三角形， 所以BC=BO=2．
【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．
B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．（10.00分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标． 【分析】（1）矩阵A=阵A﹣1．
（2）设P（x，y），通过【解答】解：（1）矩阵A=
•
=
，求出
=
，即可得到点P的坐标．
，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩
．
，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，
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从而：A的逆矩阵A1=（2）设P（x，y），则
•
﹣
． =
，所以
=A﹣1
=
，
因此点P的坐标为（3，﹣1）．
【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分） 23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（求直线l被曲线C截得的弦长．
【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．
【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x， ∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆． ∵直线l的方程为ρsin（
﹣θ）=2，∴y=4．
，
． ﹣
=2，
﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，
∴直线l的普通方程为：x﹣圆心C到直线l的距离为d=
∴直线l被曲线C截得的弦长为2
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．
D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值． 【分析】根据柯西不等式进行证明即可．
【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2， ∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4 是当且仅当
时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，
∴x2+y2+z2的最小值为4
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【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，
【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{间直角坐标系O﹣xyz， （1）由|cos值；
|=
}为基底，建立空
可得异面直线BP与AC1所成角的余弦
（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ， 可得sinθ=|cos的正弦值．
【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 设AC，A1C1的中点分别为O，O1， 则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，
第25页（共28页）
|=
，即可得直线CC1与平面AQC1所成角
故以{}为基底，
建立空间直角坐标系O﹣xyz， ∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（C（0，1，0）， A1（0，﹣1，2），B1（
，0，2），C1（0，1，2）．
， ． =
=； ）
， ．
，0，0），
（1）点P为A1B1的中点．∴∴|cos
|=
，
∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：（2）∵Q为BC的中点．∴Q（∴
，
设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），
由，可取=（，﹣1，1），
设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ， sinθ=|cos
|=
=
．
，
∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为
第26页（共28页）
【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．
26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2……in的一个逆序，排列i1i2……in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3（2），f4（2）的值；
（2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．
【分析】（1）由题意直接求得f3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f4（2）的值；
（2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）=n﹣1．
为计算fn+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n，则当n≥5时，fn（2）=[fn（2）﹣fn﹣1（2）]+[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2），则fn（2）（n≥5）的表达式可求． 【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，
第27页（共28页）
有
μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3， ∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴fn（0）=1．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）=n﹣1．
为计算fn+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n．
当n≥5时，fn（2）=[fn（2）﹣fn﹣1（2）]+[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）
=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=因此，当n≥5时，fn（2）=
．
．
【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．
第28页（共28页）
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