2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟4

一、填空题（每小题6分，共60分）

1．若过点P(1,3)作圆x2y29的切线，则两切点所在的直线方程为_________________;

22．已知f(x)5x13x，则f(x)的值域为_________________; 23、如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是 ． 4、已知sincos244，则sincos ． 25、将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和皆是质数，并且首尾两项之和也是质数，你的填法是： ．

x2y21上一点，F1是其左焦点，Q在PF1上且满足6、已知P是椭圆

2591,OQOPOF1OQ3,则点P到该椭圆左准线的距离为 ．

27、正三棱锥DABC的底面边长为1，侧棱长为2，过点A作截面与侧棱BD,CD分别相交与点E,F，当AEF的周长最小时，AEF的面积为 ． 8、等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn，若对任意的正整数n都有

Sn5n3，则Tn2n1a20= ． b79、已知1x50a0a1xa2x2a50x50,则a12a23a3+25a25的值为

10、将1,2,3,4,5,6,7,8的每一个全排列皆看成一个八位数，则其中是11倍数的八位数的个数为 ．

1

二、解答题（每小题20分，共100分） 11．设数列an的前项和为Sn，已知a11,（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）证明：对一切正整数n，有

12、设a,b,c为正数，证明：

2Sn12an1n2nnN. n3311a1a217. an4ababacaca2abb2a2acc24．

ababacac

22y2x2213、设椭圆221(ab0)与抛物线x2py(p0)有一个共同的焦点F，PQ为它们

ab的一条公切线，P、Q为切点，证明： PFQF．

14、如图， C为半圆弧O的中点，点P为直径BA延长线上一点，过点P作半圆的切线PD，D为切点，DPB的平分线分别交AC、BC于点E、F；

15、若整数a,b既不互质，又不存在整除关系，则称a,b是一个“联盟”数对；设A是集

M1,2,

,2014的n元子集，且A中任两数皆是“联盟”数对，求n的最大值．

2

2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟4 参考答案

1、x3y9. 2、22, 3、5 4、

78 5、(1,2,3,8,5,6,7,10,9,4)，1,6,7,4,3,2,5,8,9,10

6、5 7、35564 8、649 9、50248 10、3456

二、解答题（每小题20分，共100分） 11、(Ⅰ)解: an11,Sn2a1n16nn1n2nN ① ∴Sn1n12a1n16nn1n1n2 ∴ann1nnSnSn12an12a(n1)n2 ②

即n1a从而an1annan1n(n1),n1nn1(nN,n2)

当n1时,由②式得a112a21,∵a11, ∴a24

由①式得a12a112623,∵a11, ∴a24,

从而an1an1nn1对任意nN都成立.

所以ann是以1为首项,1为公差的等差数列,即annn,所以数列an的通项公式ann2. (Ⅱ)证:

11a1a11122111a2n23n21112223341(n1)n

511111171742334n1n4n4 12、证：由于(ab)24ab,(ac)24ac，因此，

ababab4，acacac4。 „„„5'

只要证，a2abb2a2acc2ab2abacac2，„10'

两边平方，即要证(a2abb2)(a2acc2)a22ab2acbc， „„„„15’

再平方 ，得(abc)20，此为显然． „„„„20’

3

13、证：设Px1,y1在抛物线上，Q(x2,y2) 在椭圆上，焦点F0,p，则抛物线切线方程为2x1xpyy1，椭圆切线方程为

y2yx2x21它们为同一直线， 2aba2x2b2y2a2b2y1y2a2,x1x22b2. ① „„„„ 4'

x1ppyy1pp12py2py1y2a22242 ② „„„„ 8' x1x22b2kFPkFQpk2, 设公切线PQ方程为ykxm，代入抛物线方程并由0m2x1pkpk2PQ:ykx,与抛物线切线方程比较可得12

2y1pk2将公切线方程代入椭圆方程，并令

p2k40makba2k2b2p2k44b2k2a20，两曲线有相同焦点，

42222pp24b222222cp4c4(ab)，代入上式解得k „„„„ 12’ 22p1p24b2p24b22a2a22pa22pa2p，y1p,y22p22ppy1p24b24a24b24b22 „„„„ 16’

4a2p22b2，代入②式，得 y1+y22pp12p2b2pa2a2b2b2a242p1 222b2bkFPkFQPFQF . „„„„20'

14、证：连接OD、DE，

ODPD,COPO,

4

DPBDOPDOPDOC „„„„ 4' DPBDOC2DAC2DBC2DPF.

即 DACDPE,DPFDBF „„„„ 8'

P、A、E、D;P、B、F、D分别四点共圆。

DECDPA,DFCDPA,DECDFC „„„„12' D、E、F、C四点共圆， „„„„ 16' CDFCEFPEAPDA. „„„„ 20'

15、解：称这种子集A为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有504个元素．为此，取A2kk504,505,,1007， 以下证，504就是n的最大值．

„„„4’

今设A是元素个数最多的一个联盟子集，Aa1,a2,,an，若aj是集A中的最小数，显

然aj1，如果aj1007，则得2aj2014，即2ajM，显然2ajA，（因2aj与aj有整除关系）． „„„„8’

今在A中用2aj替代aj，其它元素不变，成为子集A，则A仍然是联盟子集，这是由于对于A中异于aj的任一元素ai，因aj与ai不互质，故2aj与ai也不互质；再说明2aj与ai没有整除关系：因ajai，则2ajai；又若ai2aj，设2ajkai，

（显然k1,2，否则ai,aj有整除关系），则k2，于是aiaj，这与aj的最小性矛盾！ „„„„16’

因此A仍然是联盟子集，并且仍是n元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于1007为止，于是得到n元联盟子集Bb1,b2,即B1008,1009,,bn，其中1007bj2014．

,2014，因任两个相邻整数必互质，故在这1007个连续正整数中至多能

取到504个互不相邻的数，即n504．

又据前面所述的构造可知，n的最大值即为504． „„„„20’

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