圆锥曲线联立及韦达定理

1、圆锥曲线与直线的关系

椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定：

x2y2椭圆：221(aabb0)

x2y2双曲线：221(a、bab直线：ykxm

0)

(PS：这里并没有讨论椭圆的焦点在y轴、双曲线的焦点在y轴与直线斜率不存的情况，做题需要补充)

（1）椭圆与双曲线联立：

1k222kmm2(22)x2x210 abbb (PS：联立时选择不通分，原因？看完就知道了) 类一元二次方程：AxBxC0

21k2A(22)，所以Aab判别式：B4AC

20，即方程为一元二次方程。

2km21k2m2(2)4(22)(21)

babb1k2m2化解得：4(2222)

abab1) 当0，方程无实根，直线与椭圆没有交点；

2) 当0，方程有两个一样的根，直线与椭圆相切；

（相切是因为重根，而不是只有一个根） 3) 当0，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.

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（2）双曲线与直线联立：

1k222kmm2(22)x2x210 abbb1k22km类一元二次方程中，A(22)，B(2)

abb1k2m24(2222)

abab1) 当A0,B0时，方程为10，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）

2) 当A0,B0时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线

的平行线）

3) 当A0,0时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；

4) 当A0,0时，一元二次方程有两个一样实数解，直线与双曲线相切； 5) 当A0,

PS：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程与最后判定的异同！

0时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.

2、联立方程与韦达定理

（1）韦达定理：

Ax2BxC0运用韦达定理的前提：A0,0

x1x2

BC2， x1x2， x1x2(x1x2)4x1x2 AAA（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：

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1k222kmm2(22)x2x210 abbb2km2b； x1x21k2a2b2m212x1x2b； 21k22ab1k2m222222abab

x1x21k222ab由ykxm可得到关于y的韦达定理：

y1y2(kx1m)(kx2m)k(x1x2)2m

2k2m1k222m(22)bab 21ka2b22m2a； y1y21k2a2b2y1y2(kx1m)(kx2m)k2y1y2km(x1x2)m2

m22kmk221k(21)km(2)m(22)bbab 21ka2b2m2k22y1y2a； 21k22ab2y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2

1k2m22k2222abab；

y1y221k22ab3 / 5

（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：

1k222kmm2(22)x2x210 abbb2km2x1x2b2；

1ka2b2m221x1x2b2；

1ka2b21k2m222222abab

x1x221ka2b2由ykxm可得到关于y的韦达定理：

y1y2(kx1m)(kx2m)k(x1x2)2m

2k2m1k22m(22)2bab 1k222ab2m2a； y1y221k22aby1y2(kx1m)(kx2m)k2y1y2km(x1x2)m2

m22kmk221k(21)km(2)m(22)bbab 21ka2b2m2k22y1y2a；

1k2a2b22y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2

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1k2m22k2222abab；

y1y221k22ab

PS：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带b项变号。

2x2y21。椭圆中a2原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是222aacc2，令b2a2c2；双曲线中

a2

c2，令b2a2c2。

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