线面垂直与面面垂直典型例题(新)

线面垂直与面面垂直 基础要点

线面垂直

线线垂直 面面垂直 1、若直线a与平面,所成的角相等，则平面与的位置关系是（ B ） A、//

B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上结论都不正确

2、在斜三棱柱ABCA1B1C1,BAC90,又BC1AC,过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H ，则H一定在（ B ） A、直线AC上 B、直线AB上

C、直线BC上

D、△ABC的内部

3、如图示，平面⊥平面，A,B,AB与两平面,所成的角分别为过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A,B，则AB:AB（ A ） A、2:1 B、3:1

和，46A C、3:2 D、4:3

B`BA`B14、如图示，直三棱柱ABB1DCC1中，ABB190,AB4, C1BC2,CC11DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是 5.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB2,

D1DCABC1B1若棱AB上存在点P，使得D1PPC,则棱AD长

A1的取值范围是 。

DC

AB题型一：直线、平面垂直的应用

1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 已知PAAC,PA6，BC8，DF5.

求证：(1) PA平面DEF错误!未找到引用源。；(2) 平面BDE平面ABC 错误!未找到引用源。.

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

1

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

证明： (1) 因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DE∥PA.

又因为PA ⊄ 平面DEF，DE 平面DEF， 所以直线PA∥平面DEF.

(2) 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝11PA＝3，EF＝BC＝4. 22又因 DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE丄EF.

又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC. 又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.

2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，E、F分别为A1C1、BC的中点. （1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求证：C1F//平面ABE. 证明：（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，

BB1底面ABC,BB1AB,ABBC,AB平面B1BCC1,

AB平面ABE,平面ABE平面B1BCC1.

(2)取AB的中点G，连接EG，FG

E、F分别为A1C1、BC的中点, FGAC,FG1AC, 2ACACFGEC1，FGEC1,则四边形FGEC1为平行四边形， 11，ACAC11，C1FEG,EG平面ABE,C1F平面ABE,C1F平面ABE.

3．如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC．求证BCAC．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面PAC内作ADPC，交PC于D．因为平面PAC平面PBC于PC，

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

2

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC．又因为BC平面PBC，于

是有ADBC①．另外PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC．由①②及ADPAA，可知BC平面PAC．因为AC平面PAC，所以BCAC． 说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

4. 过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，BSC90，ASCASB60，若截取SASBSCa

(1)求证：平面ABC平面BSC； (2)求S到平面ABC的距离．

分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线．

(1)证明：∵SASBSCa， 又ASCASB60，

∴ASB和ASC都是等边三角形， ∴ABACa，

取BC的中点H，连结AH，∴AHBC．

在RtBSC中，BSCSa，∴SHBC，BC22222a，

a222a22a)∴AHACCHa(，∴SH． 222a2a2222在SHA中，∴AH，SH，SAa，

222∴SASHHA，∴AHSH，∴AH平面SBC．

∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．

或：∵SAACAB，∴顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心，

又BSC为Rt，∴H在斜边BC上，

又BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，

∴AH平面BSC．∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC． (2)解：由前所证：SHAH，SHBC，∴SH平面ABC，

∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH222BC2a， 22放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 3

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

∴点S到平面ABC的距离为

2a． 25、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB,AG⊥SD S

F G ED AB

6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为23的菱形，ADC60，M是PB中点。 (1)求证：PACD

P(2)求证：平面PAB平面CDM

C

D

7.在多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE面ABC，AE//CD。 (1)求证：AE//平面BCD； (2)求证：平面BED平面BCD

题型二、空间角的问题

ECMBAADBC1.如图示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

BACDF放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

EA1B1C1D1G4

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

AB1,BB131，E为BB1上使B1E1的点，平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延

长线于G，求：

（1）异面直线AD与C1G所成的角的大小 （2）二面角AC1GA1的正弦值

2.如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角MN的大小．



分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．

解：在射线AP上取一点B，作BH于H，连结AH，则BAH为射线AP与平面所成的角，

BAH30．再作BQMN，交MN于Q，

连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQMN，

BQH为二面角MN的平面角．

设BQa，在RtBAQ中，BQA90,BAM45,AB2a,在Rt△

BHQ中，

2aBH222BHQ90,BQa,BHa,sinBQH,

2BQa2放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

5

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

BQH是锐角，BQH45,即二面角MN等于45．

说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．

3. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求二面角ABD1P的大小． P是AD的中点．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1，BD1在平面AD1上的射影就是AD1．再过P作AD1的垂线PF，则PF面ABD1，过F作D1B的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了．

解：过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F，连结EF． ∵AB面AD1，PF面AD1，

∴ABPF，又PFAD1，∴PF面ABD1．

又∵PEBD1，∴EFBD1，∴PEF为所求二面角的平面角． ∵RtAD1D∽PFA，∴

PFAP． DD1AD1而AP21，DD11，AD12，∴PF．

42513．∵PEBD1，∴BEBD． 2222PF1，，在RtPEF中，sinPEF

2PE2在PBD1中，PD1PB在RtPEB中，PEPB2BE2∴PEF30．

4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点，

P放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

N6

E所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

（１）求证：MN∥平面PAD （２）若二面角P－DC－A为

，求证:平面MND⊥平面PDC 45.已知正方体中ABCDA1B1C1D1，E为棱CC1上的动点， （1）求证：A1E⊥BD (2)

当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD

（3）在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1BDE的大小为45？如果存在，试确定E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由。

题型三、探索性、开放型问题

1.如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O。设PA平面ABCD，EC//PA,且PA=2。问

当CE为多少时，PO平面BED。

P EAB

O

DC

2.已知△ABC中，BCD90,BCCD1,AB⊥平面BCD，ADB60,E、F分别是AC、AD上的动点，且

AEAF(01) ACAD（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC （2）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 7