高等数学(下)期末复习题及解答

一、求偏导数及全微分(本题共有3个小题，每小题6分，共18分) 1．设二元函数zxsin(xy)（x0），求dz。 解：

zxy1y3yx3xycos(xy)，

23zyxlnxxcos(xy) （4分）

y33dz=[yxy13xycos(xy)]dx+[xlnxxcos(xy)]dy （6分）

23y332．设zf(x,y)满足x2y3zxyz90，求

222222zx,zxy2

解：设F(x,y,z)x2y3zxyz9，则Fx2xy，Fyx4y，

Fz6z1，

zxFxFz2xy16z，

zyFyFzx4y16z （3分）

zxy2yx(z(16z)(2xy)6)(16z)2zy12x24y54xy36z12z1(16z)3222

（6分）

3．设zx(xy,y)，其中具有二阶连续偏导数，求

2zy、

zxy2。

解：设uxy,vy、

2uxy、

uyx、

dvdy2y。zx(u,v)

zy2x(uuyvvy)x1(xy,y)2xy2(xy,y)] （3分）

222zxyxy2(z)2x1(xy,y)x(221uux)2y2(xy,y)2xy(22uux)（4分）

2x1(xy,y)2y2(xy,y)xy11(xy,y)2xy21(xy,y) （6分）

22222二、重积分 (本题共有4个小题，第4、5题每小题4分，第6、7题每小题6分，共20分)

1x4．化二次积分的顺序dxfx,ydy为极坐标系下的二次积分。

0x21x解：D:xyx,0x1，I=dxfx,ydy=f(x,y)d （2分）

0x22DD:04,0tansec，I2240dtansec0f(cos,sin)d （4分）

22225．设If(xy)dxdydz，其中是曲面zxy和z4xy围成

的空间区域。将三重积分I化为球坐标系下的三次积分（不作计算）。 解：:02,02242,0r2，dVdxdydz2rsindddr（2分）

2If(xy)dxdydz11y0d40d0f(rsin22)rsindr （4分）

26．计算二重积分dy010yex3dx。

x3解：dy011yyex3dx=dxx0yedy1210xe2x3dx1610ex3d(x) （5分）

316ex310e16e （6分）

7．计算三重积分 Ix2y2dxdydz，其中是由xoz平面上的曲线zx22绕z轴

旋转所成的曲面与平面z1和z2所围成的空间区域。

解：xoz平面上的曲线zx22绕z轴旋转所成的曲面为z22xy222

则平面z1和z2之间，D(z):xy2z

Ixy22dxdydz21dz3(xy)dxdy （2分）

22D(z)(xy)dxdy2220d2z0d2z （4分）

2D(z)I221zdz223z321143 （6分）

三、曲线积分 (本题共有3个小题，每小题6分，共18分) 8.ILyds，其中L是抛物线yx上点O0,0与A1,1的之间的一段弧。

22解：L：yx ，0x1，ds1y/2dx11214xdx （2分）

32I10x14xdx2181014xd(14x)22(14x)2210112(551) （6分）

9.IcosxLy22ydx2ycosx2y23xdy，其中L为正弦曲线ysin2x上自

x0到x的弧段。

解：设P(x,y)cos(xy)2y ，Q(x,y)2ycos(xy)3x，

Py2ysin(xy)2，

2Qx2ysin(xy)3 （2分）

2设L1是y0上自x到x0的有向线段，L与L1所为平面区域为D

ILL1P(x,y)dxQ(x,y)dyQxsinxL1P(x,y)dxQ(x,y)dy （3分）

I(DPy)dL1P(x,y)dxQ(x,y)dy=dDL1P(x,y)dxQ(x,y)dy

=0dx0dy0cosxdxcosx0sinx02 （6分）

10.计算ydxxdyLxy22，其中L为曲线

xa22ya221沿逆时针方向。

解：（解法一）L的方程为：xacos,yasin，:02 （2分）

ydxxdyLxy22=2asin(asin)acosacosa20d=2（6分）

（解法二）曲线L上任意点都满足x2ya，L所围的平面区域为：xya， 1a222222ydxxdyLxy22=

1a2格林公式ydxxdyLD2dxdy1a22a22 （6分）

四．证明题(本题共有2个小题，每小题6分，共12分) 11．设zarctanxy，而xuv,yuv，证明：

 z u z vuvuv22

1解：

zxy1(yuxy)2yxy22，

zy1(xy2xy)2xxy22，

xu1，

xvzu1，1，

xv1， （2分）

zxxuzyyuyxxy22，

zvzxxvzyyvyxxy22（4分）

zuzv2yxy222(uv)(uv)(uv)22uvuv22 （6分）

12．证明：存在函数u(x,y)使得

(3xy8xy)dx(x8xy12ye)dydu(x,y)，并求该函数。

2232y证：设P(x,y)由于

Py23xy8xy,Q(x,y)x8xy12ye （1分）

Qx2232y3x16xy，存在函数u(x,y)，使得d[u(x,y)]P(x,y)Q(x,y)dy

xyu(x,y)x(x,y)(0,0)P(x,y)dxQ(x,y)dy=P(x,0)dx+Q(x,y)dy （4分）

002y322y=0dx+(x8xy12ye)dy=xy4xy12(y1)e （6分）

y300五．应用题(本题共有4个小题，每小题8分，共32分)

x2y2z2613． 求曲线在点 (1,-2,1)处的切线及法平面方程。

xyz0dydzxyz0xyz6dxdx解：对对x求导得：，

xyz01dydz0dxdx222dydxzxyz，

dzdxxyyz （4分）

曲线在点 (1,-2,1)处的切向量为n(1,dydx,dzdx(1,2,1)z1)(1,0,1) （6分）

曲线在点 (1,-2,1)处的切线为：

x11y20y2，即 （7分）

xz201曲线在点 (1,-2,1)处的法平面为：(x1)(z1)0，即xz0 （8分） 14．求函数uxyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。

ux解：yz，

ux(5,1,2)2，

uyxz，

uy(5,1,2)10

uzxy，

uz(5,1,2)5

从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的单位向量为：n(312,) （6分） 131313,4un(5,1,2)ux(5,1,2)134+

uy(5,1,2)133+

uz(5,1,2)1312 =

9813（8分）

15．在椭球面xy22z241的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处的切平面在三

个坐标轴上的截距之平方和最小。 解：设M(x,y,z)为椭球面xy22z241的第一卦限部分上一点，

曲面xy22z241在点M(x,y,z)为的法向量为：n(2x,2y,z2z2) （2分）

其切平面方程为2x(Xx)2y(Yy)(Zz)，即：xXyYz4Z1 ，（3分）

此切平面在三个坐标轴上的截距分别为：

114,,， xyz截距之平方和f(x,y,z)1x121y216z2，（4分）

下面求f(x,y,z)1x2y216z2在满足条件xy22z241下的极值

F(x,y,z,)1x21y216z2(xy22z241) （5分）

2Fx32x04xx124Fx32y0x2y2,z28x2y1y2 4z22z64321xy12Fxz04z322z2xy1024z2210Fxy41xy2 （7分） z2所求点为M(,1122,2) （8分）

1xy,且(x,y,z)xy，求其质量。

222216．一物体占有区域:0z解：m(xy)dxdydz22，:02,02,0r1，

dVdxdydzrsindddr（2分）

2m20d20d10rsinrsindr 2222220sind310rdr （5分）

422(1cos)d(cos)2(cos14cos)2 （8分） 35053015