2004-2005 年度第一学期
科目: 高等数学 I 班级: 姓名:
学号: 成绩:
一、填空题（ 3 5 15）
1、 f x
ln( x2)
的定义域是 _
x
3
2、 lim ( sin2x1
x sin )
2
x 0
x
x
3、 lim (1 3) x
e3
x
x
lim (13
) x
e3
x
x
4、如果函数 f ( x)
a sin x
1
sin 3x ，在 x
处有极值，则 a 3
3
5、
2
cos3 x (sin x
1)dx
4
2
3
二、单项选择题（ 3 5 15 ）
1、当 x
0 时，下列变量中与 x2
等价的无穷小量是（
）
A . 1
cos x
B . x x2 C . ex 1
D . ln(1 x) sin x
2、 设 f (x)在 x
a 处可导 , 则下列极限中等于 f ' ( a)的是 ( A
) 。
A ． lim f ( a)
f (a h)
B． lim f (a h)
f (a h)
h 0
h 0
h
h
C． lim f ( a 2h)
f ( a 2h) f (a
h
0
h
f (a)
D． lim
3h
h
0
h)
3、设在 a,b 上函数 f ( x) 满足条件 f
x 0, f
( x) 0 则曲线 y f x 在该区间上（ ）
A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的
D. 下降且凸的 4、设函数 f x 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（
）
b
x
A.
d
f
tt
f x x
a
f ( x)dx
f ( x)
B. d
a
(
) d
()d
dx
C. d f ( x) d x f ( x)dx D.
f (t )dt f (t) C
2
5、反常积分 0
A. 发散
xe
x2
d x （
）
B. 收敛于 1
C. 收敛于
1
D. 收敛于
1
2
三、算题（ 6' 8 48' ） 1、求极限 lim tan x 3 sin x
x 0
sin x
2、求 limln(sin x)
x
(2
2x)
2
3、求曲线x sin t
在当 t
处的切线方程和法线方程
y
cos2t
4
4、已知函数 y xsin x , x 0 ，计算
dy
dx
5、求积分e x dx
e
6、求积分
1
ln xdx
e
7、计算曲线 y
sin x,0 x 与 x 轴围成的图形面积，并求该图形绕旋转体体积。
2
y 轴所产生的
8、计算星型线 x
a sin 3 t , y a cos3 t, 0 t
2 , a 0 的全长 .
四、求函数求 y
x3 12x 10 的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（
7' ）
五、设 f ( x)在[ 0，1]上连续，且x
0
f ( x) , 证明：方程 x
0
f (t )dt 1 在[0,1] 上有且仅
有一根（ 5' ）
六、设 f (x)连续 , 计算
d
x
t f (x
2
t ) dt （ 5' ）
2dx
0
et，t
七、 设 f（ t）
0
t 2 1 t
, 计算： F（x）
x
f (t) d t （ 5' ）
6， t
0
答案：
一、填空题
1、（2， 3）∪（ 3， +∞）
2、2
3、
lim (1
x
3
x
)
x
e3
4、2
5、
2
cos3 x (sin x 1)dx
2
4 3
二、
1、D
2、A
3、B
4、A
5、C
三、计算题
1、解： lim tan x sin x = lim 1 cos x 3= 1
x 0
sin x
x 0
sin 2 x 2
2’
4’
1 cosx
2、解： limln(sin x)
sin x
1 4(= limcosx
x (2 = lim
2 x) x
2x)
x
4(
2x)=
8
2 2
2
3、解 : 当 t2
d y
曲线过点 (
,0),
由于
2 2 ,
4’
4
2
d x 4
所以 , 当 t
处的切线方程和法线方程分别为 :
2 )
y
2 2 ( x
4
2
1’
2
y
( x
2)1’
4 2
4、解 :
d y d(esin x ln x )
esin xln x
sin x
(cos x ln x
)
x sin x sin x
(cos x ln x
)
d x
dx
x
x
解: 令 u
x ,d x 2u d u , 则:
1’ 解: 令 u
x ,d x 2u d u , 则:
1’
5、令 u
x, d x 2u d u
,
e x dx
= 2ueu du 2ue
u
2eu d u 2(u 1)eu
c 2( x 1)e x
c
e
1 ln x d x
ln x d x [ x ln x]11
1
d x [ x ln x]1e
d x 2
6、解:1 e
1 e 1 ln x dx =
e
e1
e
e
1
7、解:面积 ssin x d x 2
2’
0
体积微分元 dV 2 x sin xdx
1’
所求体积 V
2 x sin xdx [ 2 xcos x]
0
2 cosxdx 4 2
3’
0
0
8、解: 弧微分 d s
3 a sin 2t d t
2’
2
弧长 s2 3
0
a sin 2t d t 6a
2
sin 2t d t 6a
4’
2
0
2
e
四、解 : y' 3x2
12, 令 y' 0,得驻点 x1 0, 得点 x3 0
2, x2 2
1’
y' ' 6x,令 y' '
由上可知 :函数的单调增区间为 : (-∞,-2),(2,+∞); 函数的单调减区间为 :(-2,2) 函数的极大值点 :(-2,26),极小值点 (2,-6) 凹区间为 :(0,+∞), 凸区间为 :(- ∞,0) 1 拐点为 :(0,10)
函数在 x 五、证 : 构造函数 ( x) x 上连续 在区间内可导
2’
1’ ’
f ( t) d t 1
’ 0
, [0,1] ,
1
(0)
1,
(1)
0
f (x) d x 0,
由连续函数的零点定理知 ,存在 ξ 在(0,1) 内使 ( ) 0 又因为
'( x) 1 f ( x) 0 所以函数在 (0,1) 的零点唯一 .
原命题得证 .
六、 解 : 令 : u x2 t 2 , d u
2t d t
2’d x
20
t f ( x 2 t ) d t = d [ 1 2
f (u) du] x f ( x2 )
七、解d x :当 0 时， d x
2 x
x
t
x
x
0
F ( x)
e d t e
当
x
0
t
x
t 2
1
x 0时， F (x)
f (t ) d t e d t
0 1
t 6 d t 1
3 arctan x’2
3
1
2’
2’
《高等数学IV1 》课程考试试卷
（A 卷）
学院
专业
学号
姓名
四
班级
题
一
二
三 五
六
七
八
阅卷
总分
号 得
教师
分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯
得 分
一、选择题（每小题 3 分，共 12 分）
2
(n )
1、设 f ( x)
(A) 0
x 0
3x
x x , 使 f
(0) 存在的最高阶数 n 为（
(D) 3
）
2
(B) 1
t
(C) 2
2、函数 y
(t 1)e dt 有极大值点（
）
（C） x
（ A ） x 1
（B ） x 1 1
（
（ D） x 0
）
3、已知函数 f (x) 的一个原函数是
sin 2x ，则 xf ' ( x)dx
2x cos2x sin 2x C
(C) 2x sin 2x cos2 x C
(A) 4、 x
2 是函数 f ( x) arctan
1
2xsin 2x cos2x C
(D) x sin2 x cos2 x C
(B)
的
（
）
2 x
（A ）连续点 （ B ）可去间断点 （ C）第一类不可去间断点 （D）第二类间断点
得 分
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 1、函数 y
xe x 的图形的拐点是
。
2、曲线 y 1
e
x 0
e
x2 的渐进线是 t
2
。
3、
设 f ( x)
x
0
dt ，则
2
lim
h
0
f ( x h) f ( x h)
h
。
4、 lim (1
x ) x
。
得
三、求下列极限（每小题 6 分，共 12 分）。
分
cos(ex2
1)
1、 lim1
x 0
tan3 x sin x 。
2、 lim
1 1 。 x 0
ln 1 x x
得 四、计算下列微分或导数（每小题 6 分，共分
1、 y x arctan x ln 1 x 2
，求 dy 。
cosx
dy
2、 若 y (sin x) ,求 。
3、x R cost
d 2 y设。
，求
2
y Rsin t
dx
18 分）。
得 分
五、计算下列积分（每小题 6 分，共 18 分）。
1、
1
dx 。
x (1 x )
2、求
1
dx 。x(1 2ln x)
3、1 x
2
dx 。
0
1 x 2
得 六、若0
分
x 1，证明不等式
1
x 1 x
e 2 x （8 分）。
1得 分
x 2与直线
七、 设 D 为曲线 y
求： (1) D 的面积 S；
3x 4
2 y 4 0所围成的平面图形 ,
(2)D绕
轴旋转一周所得的旋转体体积 V （10
分）
得 分
八、求微分方程
dy
2y
dx x 1
x
5
(x 1)2 的通解（
10 分）。。
《高等数学 IV1 》统考试题（ A ）答案及评分标准
一、选择（每题 3 分，共 12 分）
１、 B
２、 D
３、 A
４、 C
二、填空（每题 3 分，共 12 分）
１、 (2, 2e )
2
２、 y
1 ３、 2e
2x
1
4、 2
e
三、计算下列极限（每小题
1、解：原式 = lim
6 分，共 12 分）。
（2 分）
( e x 2 4 1) 2
x 0
2 x
lim x4
x 0
（4 分）
2x4
1 2
（6分）
2、 解：原式 = lim x ln(1
x 0
x)
x ln(1 x)
1
lim x ln(1 x)
x2 x 0
（3 分）
lim
x 0
1
1 x
2 x
lim x 1
0
2x 2 x
1
x
（3 分）
四、求下列导数和微分（每小题
1、解： dy
6 分，共 18 分）。
arc tan x
x
2
x 1 x
2
1 x
dx
（3 分）
arctanxdx
（6 分）
２、解： y
(ecos xlnsin x )
（2分）
（4 分）
（6 分）
ecos x lnsin x (
sin x ln sin x cot x cos x)
= (sin x)cosx (
sin x ln sin x cot x cos x)
３、解：解：
dy dx
cot t
（3 分）
d 2 y (
'1
cot)1
t
（6 分）
dx2
R sin t
R sin3 t
五、计算下列积分（每小题 6 分，共 18 分）。
1、解：
1
dx 2
1
2
d x
（3 分）
x (1 x)
1 ( x )
2arctan x c
（6 分）
2、解：
1
1
dx
d ln x
(2分 )
x(1 2 ln x) 1 2ln x
1 1
d (1 2ln x)
（4分 ）
21
1 2ln x
ln | 1 2ln x | c
（6 分）
2
3、解：令 x
sint ,
(1
分 )
2
原式 =
2
sin t dt
1
2 (1
cos 2t ) dt
（ 6 分）
0
2
0
4
六、解：即证
(1
) 2 x (1
) 0 ，
x e
x
令
f (x)
(1 x)e2 x (1 x) ，
f ( x)
(1 2x)e2x
1，f (x) 4xe2 x ,
当 0
x 1时 , f ( x)
0 ,
f (x)
且 f (0) 0 ,
f (x) 0
f ( x)
0,
f ( x)
0.七、解：解 : 曲线 y1
且 f (0)
x2
与直线 3x 2 y 4
0的交点为 (2,1)和(4,4).
4
(1) D=
41 3x 4
(
x 2
)dx
1
；
2
2
4 3
(2) V
4[(
3x 4 8
) 2
(1 x 2 2
) ]dx 。
2
2
4
5
八、解：首先求对应的齐次方程的通解：
dy 2 y 0
（1分）
dx x 1 dy 2dx y
x 1
（1 分） （2 分）
（4 分）
. （6 分）
（ 8 分）(1 分 )
(5 分)
(10 分)
y c(x
1)2
（4分）
用常数变易法，把
c 变成 u(x) ，即令
y u( x)( x dy dx
1)2 ，则有
2u( x)( x 1)
（5 分） （6 分）
u (x)( x 1)2
代入到原方程中得
u (x)
u(x)
y [
2
3
1
(x 1)2 ，两边积分得
2
3
( x
1)2 c ，故原方程的通解为
3
3
(x 1)2
c]( x 1)2
（8 分）
（9分）
（10 分）
高等数学 A 参考答案及评分标准
考试科目：高等数学 A 上
考试班级： 命题教师：
考试方式：
闭卷
1
一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共 1．已知当 x
4 小题，每题 4 分，共 16 分）
。
0 时， (1 ax 2 ) 3 1 与1 cosx 是等价无穷小，则常数 a
2．
x y
cost 2 t cost
2
2
t
，则
1 2 u
dy
cosudu(t 0)dx
。
1
3．微分方程 ydx
( x2 4x)dy
0 的通解为 。
4．
e
dx
。
1
x(2 ln 2 x)
二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）
1．如果 f (x)
eax , x 0
处处可导，则（
0
）。
b(1 x
2 ), x
( A) a
b 1；
f ( x) 在 x
( B) a 0, b
1； (C ) a 1,b 0 ；
( D ) a 2, b
1 。
2．函数 y x0 处连续，且取得极大值，则 f ( x) 在 x0 处必有（
）。
( A) f ( x0 ) 0 ； (C ) f ( x0 )
( B) f ( x0 ) 0
0或不存在 ； (D ) f ( x0 ) 0且 f (x0 ) 0 。
3．若
ln x
x
为 f ( x) 的一个原函数，则
xf ( x) dx （
）。
( A)
ln x
x
C ；(B)
1 ln x
x 2
C；(C)
1
C ；( D )
1 2 ln xx
C 。
x
x
4．微分方程 y
( A) y
sin x 的通解是 (
C 3 ；
)。
cos x 1 C1 x2 C 2 x
2 sin x
( B) y cos x C1 ；
(C ) y
1 C1 x 2 C 2 x 2
C3 ；
(D ) y
2sin 2x ；
三、解答下列各题（本大题共 2 小题，共 14 分）
1．（本小题 7 分）
x 0
(et
1 t) dt
2求极限 lim
x 0
4
xsin x
2．（本小题 7 分）
设 y( x) (2 x)
tan x
2
, ( 1
x 1) ，求 dy 。
2
四、解答下列各题（本大题共 4 小题，共 28 分） 1．（本小题 7 分） F ( x)
x 1
t(t 4) dt ，求 F (x) 的极值及 F (x) 在 [ 1,5] 上的最值。
2．（本小题 7 分）
求
x3 1 x2
d x 。
3．（本小题 7 分）
设 f (t)
t 2 1
e
x
2
dx ，计算 I
1 0
tf (t)dt 。
7 分
4．（本小题 7 分）
求积分
arcsin x
dx 。
1 2
x(1 x)
3 4
五、解答下列各题（本大题共 1．（本小题 9 分） 求由曲线 y
3 小题，共 26 分）
e2 x ， x 轴及该曲线过原点的切线所围成平面图形的面积。
2．（本小题 9 分）
求微分方程 y 4 y
4 y 3e2 x 2x 的通解。
3 ．（本小题 8 分） 设 f ( x) 可导，且 f (0)
0 ， F (x)
x
t
n 1
f (x
n
t )dt ，证明
n
0
lim F ( x)
1 f (0) 。 x 0
x 2n
2n
答案：
一、填空题
1、 a
3 2 、
dy t
3 、 (x 4) y 4
2
dx
4 I1
arctan2
2
2
二、选择题
1、B 2、C 3、D 4、A
三、计算题
x( e
t
1 t)2
dt x
(et
1 t )2
dt
1、解： lim0
0
(e x
1
x)
2
4
lim
x 0
x 0
lim
x0
x sin
x
x5 =
5x
4
3 分
lim2(ex 1 x)(ex 1) x
1 x) x
3
lim2(e
3
x 0
x 0
20 x
20 x
lim ( ex
1 x)
lim ex
1 1
x 010 x2
2、解：取对数 x 0
20 x
20
ln y tan
x ln( 2 x)
2 分
2
两边对 x 求导：
y
sec2 x ln( 2 x)
1 tan x 5 分
y
2 2
x 2 2
dy y dx x) x
x)x]dx
[sec2
1
(2tan
2
x ln( 2 tan
2
2
x 2 2
四、 1、解： F (x)
3
7
t (t
4) dt
x
2x2
2 分
x
1
3
3
则 F ( x)
x 2
4x ，令 F ( x)
x 2 4x
0 ，解得 x
0, x 4
F (x) 2x 4 ， F (0)
4
0 ，所以 x 0时， F ( x) 的极大值是 7
；
3
Cx
F (4)
4 0 ，所以 x 4 时， F (x) 的极小值是
25 ； 3
5 分
F( 1)
0， F (5) 6 ，比较得 F ( x) 在 [ 1,5] 上的最大值是
7 3
，最小值是
25 。
2、解：令 x
x3
sin t ， sin 3 t cost
1 1 x 3
tf (t )dt
0 t
4
3
d x
2
costdt(1 cos t )d cost
2
cost
1
3
cos t C
5 分
1 x 2
1 x
3
2
3
C
1
2
3、解： I
1
1
f (t)dt
1 2
1 2
t 2te
dt
2 0
1 t 4 1 1 1
e
0
1 2 t 2
1)
1 f (t) 0
1
1 2 t 0
f (t )dt
3 分
2
3 4 1 2
(e
0
4、解：
4
3 4 arcsin x
1 2
dx
2
4 3 4arcsin x
1 2
d
x 2
arcsin
xd arcsin x 4 分
x(1 x)
2 3 4
1 2
(1 x)
(arcsin
x)
7
144
2
0
五、 1、解：设切点为 ( x0 ,e2 x0 ) ，则切线方程 y
e2 x
2e2 x0 (x
x0 )
又切线过原点，将 (0,0) 代入得切点 1 , ) ，则切线 y 2ex
5 分
0
1
2
2 x
2
S
edx
2x
0
(e
2ex)dx
e 4 4r
2、解：齐方程的特征方程 r 2 齐方程的通解是 Y
4
0，特征根 r1 r2
2
C1e2x C 2 xe2 x
4 分
设非齐次方程的一个特解为 y* 解得 A
Ax2 e2 x Bx C ，代入原方程 3 x 2 e2 x 2
1 x 1 2 2
1 x 2
x
n
3
2
, B
1
,C
1 ，故 y*
8 分
2 2
非齐次方程的通解 y C1e2 x
C 2 xe2 x 3 x 2 e2x
2
nt n 1dt
1 ； 2
3、证明：令 u
F ( x)
xn
n
t n ，则 du
1
x
0
t
n 1
f ( x
x 0
n
t )dt
n
n f (u)du n x
0
1 n
f (u) du
0
n
3 分
f (u) du
n
n 1
lim F ( x)
x 0
lim
x 0
x
2n
nx2 n
lim f ( x ) nx
2n
n 2nx 1 x 0
lim f ( x ) f (0)
n2nx x 0
1 f (0)
2n 8 分
课程名称： 高等数学 A (上) 课程类别： 必修
考试方式： 闭卷
注意事项：1、本试卷满分 100 分。
2、考试时间 120 分钟。
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得分
得分
评阅人
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答
3 分， 案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题
共18分）
1. D ；2 C；3 B；4 B； 5 B；6 A。
得分
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
得分
2
1.
lim f ( x) f ( x)
g (x) g (0) x 0
1
；2
x 1
1
；3 (0,0),( 3,12e 3 )
x
f (t )dt
2
4
y(50)
x sin x 50cos x ；5 lim
1
x
1
1
2
；6 y
1
sin x c
三、计算下列各题（每小题
5 分，共 30 分）
1. lim(cos x sin x)
x 0
x
1
得分
解： lim(cos x
x 0
sin x) x lim e
1
x
ln(cos x sin x)
x 0 sin x cos x lim e x 0 1 e
（2 分）
cosx
sin x
（4 分）
（5 分）
2. 已知 f (u) 可导， y
f [ln( x
1
x2 a2 ] ，求 y ' x x
2
2 2
a2
解 y '
f '[ln( x
x
a )] x
x2 a2
x2
a 2 )]
（4 分）
1 f '[ln( x
（5 分）
22x a
3.
y(x) 由方程 y xey 1确定，求 y\" .
解：两边同时求导得： y'
ey xey y' 0
y'
ey
yxe 1
（2 分）
2
对上式两边同时求导得： 即： (1 xe ) y
所以： y
y''
xeye y
y'
e y xe0
y'y
y'
xey y'' 0
y''2e y
3 yy'
y
'
2
''
2e xe
y3xe ) (1
x2
1 1)(x 1)
x2
1
2 y
e (3 y)
3y) (2
2 y
（5 分）
4
(x
2
dx
解：
1 1 1 1 x 1 dx 1
c 1
1
( x2
1)( x 1) dx 2 x 1 dx 2
1
1
ln | x2 1|
( x 1)2
dx（3分）
（5 分）
2
x
xdx
5
1
5 4x
解：设 5
1
4x t , x
5 t2
4
, dx
t 2
dt
1
1
xdx 5 4x
1
(t
2
（ 2 分）
5) dt
（ 4 分）
8
3
1 (5t 1 t 3 ) |13 1 8 3 6
（5 分）
6
20
e2x cosxdx
解：
20
e
2 x cos xdx
1 e2x cos x |02
2 1 2
1 2
22 x0
e sin xdx
（2 分）
11
( e2 x sin x |02 1 2 2 2
2 e2 x cos xdx)
（4 分）
0
20
e2x cos xdx
2 e 5
（5 分）
得分
四．设 f ( x)
2ex a x x2 bx 1 x
0
0
选择合适的 a,b ，使得 f (x) 处处可导。（本题 6 分）
解： 因为 f ( x) 在 x
0 处连续，所以有 lim( x2
bx
lim(2 ex a)
x 0
1)
x 0
即 a 1
（3 分）
又因为 f ( x) 在 x
lim 2ex
x 0
0 处可导，所以有
lim(2 x b)
x 0
即 五. 设 x
b 2
（6 分）
0 ，常数 a e，证明 (a
x) a aa x （本题 6 分）
得分
解：设 f ( x) a ln( x a)
(a x)ln a
0
（2 分）
f '(x)
a
ln a a
x
所以 f ( x) 单调减少，而 f (0) 即
( a x)a
0 ，当 x
0 时， f ( x) f (0)（5 分）
aa x
（6 分）
六 设函数 f (x)
ln sec x , x (
, ) ，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性 2 2
（本题 6 分） 解： f ' ( x)
在 (
得分
tan x
（2 分）
,0), f ' ( x) 2
0 ，所以函数 f (x) 在 (
,0) 单调减少 2
) 单调增加
（3 分）
在 (0, ), f ' ( x) 0，所以函数 f ( x) 在 (0,
（4 分）
2
2
f \" ( x) sec2 x 0 ，所以该函数的图形是凹的
（6 分）
七 解微分方程
dy
y
x
（本题 6 分） 得分
dx
x2 y2
解 微分方程变形为
y
dy
x
（1 分）
dx
1 1 ( y )
2
x
令 uy
du
，则 u x
u
（2 分）
x
dx 1
1 u 2
将上式分离变量两边积分得
1 1 u 2 du dx
（4 分）
u 1 u2
x
则 ln( 1 u2
1)
ln | x | c
即 y2
2c( x c)
（6 分）
八 设曲线 y
x2 ( x 0) 上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及
试求
（1）过切点 A 的切线方程
（2）有上述所围成的平面图形绕
x 轴一周所得旋转体的体积（本题解：（1）设 A 的坐标为 ( x0 , y0 ) ，那么过 A 的切线方程 可表示为 y 2x0 x x02
（2 分）
切线与 x 轴的交点 (
x0
,0) ，所以所围成的面积为
2
x0
2
S
2 x2 dxx0
x0 (x 2 2x0 x x02 )dx1
x0
3
（5 分）
0
2
12
所以 x0 1 ，即 A(1,1)
（6 分）
（2）平面图形绕 x 轴一周所得旋转体的体积为
V1
4
1
0 1 (2 x
1)dx
（10 分）
xdx
2
30
轴围成的面积为
1 ，12 10 分）
得分
x
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