线性代数试卷及答案(最新整理)

《 线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）一二三四五六 七总 分1．设A经过初等行变换变为B，则（ B ）.(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。(A)r(A)r(B)； (B)(D)r(A)r(B)；无法判定r(A)与r(B)之间的关系。）。(C) r(A)r(B)； 2．设A为n (n2)阶方阵且|A|0，则（ C (A)A中有一行元素全为零； (B)A有两行（列）元素对应成比例；A的任一行为其余行的线性组合。(C)A中必有一行为其余行的线性组合； (D)3. 设A,B是n阶矩阵(n2), ABO,则下列结论一定正确的是: ( D )(A) AO或BO;(B)B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O 的解.(C)BAO;(D)R(A)R(B)n.4．下列不是n维向量组1,2,...,s线性无关的充分必要条件是（ A ）(A)存在一组不全为零的数k1,k2,...,ks使得k11k22...kssO； 第 1 页 共 6 页(B)不存在一组不全为零的数k1,k2,...,ks使得k11k22...kssO(C)1,2,...,s的秩等于s；(D)1,2,...,s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示1aa...aa1a...a5．设n阶矩阵(n3)A.....，若矩阵A的秩为n1，则a必为（ .....aaa...111(A)1； (B)； (C)1； (D).1nn1a106．四阶行列式0b40a2b300b2a30b10的值等于（ 0a4）。）。(A)(C)a1a2a3a4b1b2b3b4； (B)a1a2a3a4b1b2b3b4；(a2a3b2b3)(a1a4b1b4).*(a1a2b1b2)(a3a4b3b4)； (D)7．设A为四阶矩阵且Ab，则A的伴随矩阵A的行列式为（ C ）。(A)b； (B)2b2； (C)b3； (D)1b4（　 C　）8．设A为n阶矩阵满足A3AInO，In为n阶单位矩阵,则A(A) In； 　(B)A3In；　　 (C)A3In；　　 (D)　3AIn9．设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ C ）。(A)(C)A与B的秩相同； A与B的特征矩阵相同； (B)(D)A与B的特征值相同；A与B的行列式相同； 第 2 页 共 6 页10．设A为n阶矩阵,则A以0为特征值是A0的（ D）。(A)(C)充分非必要条件； 既非充分又非必要条件； (B)(D)必要非充分条件；充分必要条件； 二．填空题（每小题3分，共18分）1．计算行列式0004004304324321。2. 100123100010456001_______________________。001789010。3．二次型f(x1,x2,x3)x1x2x2x3x3x1对应的对称矩阵为 4．已知1(0,0,1)，2(22,22,0)，3(22,22,0)是欧氏空间A3的一组标准正交基，。则向量(1,1,1)在这组基下的坐标为 7415．已知矩阵A471的特征值为13(二重),212,则x___________。44x6．设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A1,2,3，B(123,12243,13293)。如果|A|1，则|B| 23121,B10,三．(8分) A12010331。AXB, 求X。 第 3 页 共 6 页四．（10分）设向量组1(1,1,2,3)，2(1,1,1,1)，3(1,3,3,5)，4(4,2,5,6)，TTTT5(3,1,5,7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。x1x2px3五．（12分）讨论线性方程组x1px2x3pxxx12321解的情况，并在有无穷多解时求其解。1 第 4 页 共 6 页124六．（14分）设A222，、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵T，（1）421使得TAT为对角矩阵。1七．（8分）对任意的矩阵A,证明：(1) AAT为对称矩阵, AAT为反对称矩阵；(2) A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）1B2C3D4A5B6D7C8C9C10D二、填空题（每小题3分，共18分） 第 5 页 共 6 页1、 256； 1322、 465； 7985、 4； 6、 2 。01213、20112212；0124、 1,2,0； 三． 解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此XAB.为了求A1B,可利用下列初等行变换的方法：12312101001211201023103310272111410001103013010101221010231027810144001103101413210027810144011030―――――（6分）2781所以XAB144.―――――（8分）103四．解：对向量组1,2,3,4,5作如下的初等行变换可得：1111(1,2,3,4,5)21311000从而14323556021100003111431022625011310226271231――――（5分）0000111100004313100000001,2,3,4,5的一个极大线性无关组为1,2，故秩{1,2,3,4,5}＝2（8分） 第 6 页 共 6 页且3212，4132，5212――――（10分）五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：

11pp21p211110p11p3001p1p212p011p1210p11p3(4分)00(2p)(p1)42p1p1p1p11p02pp22342p(1)当p10,且(2p)(p1)0时,即p1,且p2时,系数矩阵

与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分）(2)当p1时,系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无

解.――――（6分）

(3)当p2时,此时方程组有无穷多组解.方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为

111221100221122112211033301110333000011011111（8分）000故原方程组与下列方程组同解:

x31x1x2x31令x30,可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0);

T它对应的齐次线性方程组x1x30的基础解系含有一个元素,令

x2x30 第 7 页 共 6 页

x31,可得1(1,1,1)T为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为k00k11,这里k0,k1为任意常数.――――（12分）六．解：（1）由于A的特征多项式1|IA|242422(3)2(6)21故A的特征值为13（二重特征值），36。――――（3分）424x10当13时，由(1IA)XO，即：212x20得424x30基础解系为1[1,2,0],2[1,0,1]，故属于特征值13的所有特征向量为k11k22,k1,k2 不全为零的任意常数。――――（6分）TT524x10x0得基当36时，由(3IA)XO，即：2822425x30础解系为3[2,1,2]，故属于特征值 26的所有特征向量为k33,k3 为非零的任意常数。------(8分)(2)将T1,2正交化可得：11[1,2,0]T,。再将其单第 8 页 222,1421[,,1]T1,155得：位共 6 页化 15251,,0,155TT2452552,,215153T212将3单位化得：3,,。――――（12分）333则1,2,3是A的一组单位正交的特征向量，令13232355415525T1,2,3521555033。――――（14分）1则T是一个正交矩阵，且TAT36七．证明：(1) 因为(A为对称矩阵。――――（2分）同理,因为AT)TAT(AT)TAAT, 因此AAT(AAT)TAT(AT)TATA(AAT),因此AAT为反对称矩阵。――――（4分）(2) 因为A11(AAT)(AAT),――――（6分）2211TT而由(1) 知(AA)为对称矩阵, (AA)为反对称矩阵,因此任何22矩阵A 都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。――――（8分） 第 9 页 共 6 页