椭圆知识点总结及经典习题

知识点

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数2aF1F2的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 （2aF1F2时为线段F1F2，2aF1F2无轨迹）。 2．标准方程： c2a2b2

x2y2①焦点在x轴上：221（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

aby2x2②焦点在y轴上：221（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）

ab注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

x2y21 或者 mx2+ny2=1 ②两种标准方程可用一般形式表示：mn二．椭圆的简单几何性质： 1.范围

x2y2 （1）椭圆221（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

aby2x2 （2）椭圆221（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

ab 2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比

2c2c，即称为椭圆的离心率，

a2ac2b2e1() 记作e（0e1），2aa e0是圆；

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆22ab22x0y01(ab0)的内部221.

ab22x0y01(ab0)的外部221.

ab（2）点P(x0,y0)在椭圆6.几何性质

xya2b222（1）点P在椭圆上， 最大角F1PF2maxF1B2F2, （2）最大距离，最小距离 7.直线与椭圆的位置关系

（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； （2）弦长公式： （3）中点弦问题：韦达定理法、点差法

例题讲解： 一.椭圆定义： １．方程

x22y2x22y210化简的结果是 2．若ABC的两个顶点A4,0,B4,0，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是

x2y23.已知椭圆＋=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为

169

二．利用标准方程确定参数

x2y21.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是 .

5kk3（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . （3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 .

2.椭圆4x225y2100的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,

x2y21的焦距为2，则m= 。 3．椭圆4m4．椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k 。 三．待定系数法求椭圆标准方程

1．若椭圆经过点(4,0)，(0,3)，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且a213，c212的椭圆的标准方程为 3．焦点在x轴上，a:b2:1，c6椭圆的标准方程为

4. 已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0），求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

变式：求与椭圆4x29y236共焦点，且过点(3,2)的椭圆方程。

四．焦点三角形

x2y21的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周长是 。 1．椭圆9252．设F1，F2为椭圆16x225y2400的焦点，P为椭圆上的任一点，则PF1F2的周长是多少？PF1F2的面积的最大值是多少？

x2y21上的一点，F1,F2是焦点，若F1PF2是直角，则F1PF2的面积3．设点P是椭圆2516为 。

变式：已知椭圆9x216y2144，焦点为F1、F2，P是椭圆上一点． 若F1PF260， 求PF1F2的面积．

五．离心率的有关问题

x2y211的离心率为，则m 1.椭圆4m22.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200，则此椭圆的离心率e为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在△ABC中，A300,|AB|2,SABC3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e ．

六、最值问题：

x2y21，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小1、已知椭圆4

值 。

x2y21两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____， 2.椭圆4

七、弦长、中点弦问题

1、已知椭圆4x2y21及直yxm线． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

x22已知椭圆y21，

2210，求直线的方程． 5 (1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为22的弦所在直线的方程

11 （2）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方程；

22

同步测试

1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )

A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线

x2y21左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______ 2、椭圆

169x2y21表示椭圆，则k的取值范围是( ) 3已知方程

1k1k A -10 C k≥0 D k>1或k<-1

4、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10，短轴长为6

(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)

x2y25.椭圆221(ab0)的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。

ab若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________

x2y26已知椭圆的方程为1，P点是椭圆上的点且F1PF260,求PF1F2的面积 43

7.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为

x2y28.椭圆1上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是

10036x2y21(a5)的两个焦点为F1、F2，且F1F28，弦AB过点F1，则△ABF29．已知椭圆225a的周长

y2y2x2x210、椭圆＋=1与椭圆＋=(0)有

3322 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对

y2x2y2x211、椭圆1与1（0259925 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴

x2y21上的动点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,则PF1PF2的最小值为12.点P为椭圆

2516__________ ,此时点P的坐标为________________.

感受高考

x2y2

1．分别过椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )

A．(0,1)

22

B.0， C.，1

22

2

D.0，

2

x2y2

2．椭圆100＋64＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )

643

A.3

913163B.3 C.3

64D.3 3．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( )

x2y2→·→＝0，

4已知点F，A分别是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FBAB则椭圆的离心率等于( )

A.

x2y25．已知椭圆4＋2＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、8

B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝3；正确结论的个数为( )

A．3 B．2 C．1

6．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )

A．圆

x2y2

7．过椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．

B．椭圆 C．双曲线

D．抛物线 D．0

3＋1

2

B.

5－13－1

C.22

D.5＋1

2

x2y2

8若椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

sinA＋sinCx2y2

9．已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆25＋9＝1上，则sinB＝________.

x2y2

10．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标； .

1

11．椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝2. (1)求椭圆E的方程；