无穷积分敛散性判别法

郑汉彬

摘 要：无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的—个先决条件。由于判别方法比较多,学生不易掌握,从而是数学分析的一个难点,也一直是一个重要的研究课题。本文就一些常见和不常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判别法判定无穷积分的敛散性。

关键词：无穷积分；瑕积分；收敛性；判别法

无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条件。由于判断方法比较多,不易掌握,从而是数学分析和高等数学的一个难点。最原始的判别方法是对积分区间无穷型的反常积分先将积分限视为有限的积分区间,按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,再用极限去判定原积分是否收敛。

本文以文献中相关定理为基础,并对相关的文献资料中给出的无穷积分敛散性判定方法的相关理论进行总结及一定的改进和补充,使之能够更广泛地应用于无穷积分敛散性判定中,对比了各种类型的无穷积分敛散性判定方法的应用以及在应用过程中应注意的一些巧妙方法,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误。

1 无穷积分的敛散性

定义1 设函数

baf(x)在[a,)上有定义,且对ba,f(x)在上

[a,b]可积,当

limfxdxJ

b

存在,称此极限J为函数f(x)在区间[a,)上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为

Jafxdx

这时称积分a发散.

f(x)dx是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分af(x)dx2 无穷积分敛散性的判别法

如何判断一个无穷积分的敛散性,这是无穷积分理论的重要内容之一。对此,我们首先建立一个收敛准则,然后再介绍几种常有的敛散性判别法。

2.1 柯西收敛准则

因为无穷积分af(x)dx的收敛问题即是极限

AalimAf(x)dx的存在问题,所以由极限的柯西收

敛准则立刻可以得到无穷积分的收敛准则。

定理1 无穷积分a时,有

f(x)dx收敛的充分必要条件是对任何0,都存在Aa,使当A2A1AA2A1fxdx

一般来说,利用柯西收敛准则判断一个无穷积分的收敛性,其难度是比较大的。实践证明,在不少情况下,将所给的无穷积分与一个已知其敛散性的无穷积分相比较,可以有效地确定该无穷积分的敛散性。我们可以给出下面的比较判别法。

2

2.2 比较判别法

定理2 设定义在[a,)上的函数f和g都在任何有限区间[a,u]上可积,满足

f(x)g(x),x[a,) 则当ag(x)dx收敛时af(x)dx必收敛；当af(x)dx发散时, ag(x)dx必发散.

比较判别法是一种非常重要和常见的无穷积分敛散性判别法,在很多情况中都会用到,常常会收到

比较明显的效果。上面介绍的是比较判别法的一般形式,比较判别法也有极限形式。

2.3柯西判别法

定理3 设f定义于[a,)(a0),且在任何有限区间[a,u]上可积,则有

1,x[a,),f(x)dxpp1x且时a收敛；

(i) 当

f(x)(ii) 当

f(x)1,x[a,),xp且

p1时af(x)dx发散.

当无穷积分af(x)dx收敛,但无穷积分af(x)dx不收敛,称无穷积分af(x)dx为条件收敛。上

面介绍的比较判别法和柯西判别法都只能判定无穷积分的绝对收敛性,对于条件收敛的判定则是无能为力的。下面再介绍两种适用范围更广的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。

2.4 狄利克雷判别法

3

定理4 若aF(x)f(x)dxau在[a,)上有界,g(x)在[a,)上当x时单调趋于0,则

f(x)g(x)dx收敛.

2.5阿贝尔判别法

定理5 若af(x)dx收敛,g(x)在[a,)上单调有界,则af(x)g(x)dx收敛.

上面介绍的柯西收敛准则,比较判别法,柯西判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法是最常用的五

种判别无穷积分敛散性方法,我们必须熟练和准确地掌握这几种判别方法。下面介绍几种不常见的对

数判别法,比值判别法等判别方法,对我们学习和研究无穷积分的敛散性也有所帮助。

2.6 对数判别法

定理6 设f(x)在[a,)上恒正可积,且

1f(x)qlnxln

xlim

f(x)dx(i)当1q时,无穷积分a收敛,

(ii)当q1时,无穷积分af(x)dx发散.

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注1 我们在利用对数判别法讨论无穷积分的敛散性时,被积函数必须是恒的。

1f(x)q1f(x)dxlnx时,无穷积分a的敛散性无法确定。我们必须利用别的判定方法对

ln当

xlim其进一步判定。

2.7 比值判别法

正项级数的敛散性判别法很多,例如比值判别法,根值判别法,拉贝判别法等,但非负函数无穷积分的敛散性判别法却不多,正项级数与非负函数无穷积分本有相似之处,我们可以建立非负函数无穷积分1分1f(x)dx,其敛散性与正项级数敛散性判别法相似,于是我们得到无穷积

f(x)dx的比值判别法。

定理7 设x[1,),A1,有f(x)0,f(x)在[1,A]上可积,且

f(x1)lf(x)

xlim则当l1时无穷积分1f(x)dx收敛,当l1时无穷积分1f(x)dx发散.

上面得出了无穷积分1f(x)dx的比值判别法,我们同理也可得出无穷积分1f(x)dx

的根值判别法：设x[1,),A1,有f(x)0,f(x)在[1,A]上可积,若

1x 则当l1时无穷积分1

xlimfxl

f(x)dx收敛,当l1时无穷积分1f(x)dx发散.

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2.8 求导极限判别法

f(x)f(x),

定理8 设函数f(x)在[a,)上可导,且f(x)0,若

lim

则,当0时, af(x)dx收敛；

当0时, af(x)dx发散；

当0时, af(x)dx敛散性不确定.

以上对数判别法,比值判别法和求导极限判别法都有被积函数非负这一约束条件, 当上式的比值

q1,l1,0时,无穷积分的敛散性都不确定,都要求我们作进一步的讨论。在很多情况

下,这三种

方法是可以相互通用的。

2.9 极限审敛法的等价定理

我们将无穷积分运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较,可得到了相应无穷积分敛散性极限审

敛法的等价定理,从而可运用等价定理灵活地判断无穷积分的敛散性。

定理9 设f(x)在[a,)上连续,且f(x)0.

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f(x)0(1)(x)(i)如果存在在常数p1,

xp即有界,则af(x)dx收敛；

f(x)1(ii)如果

是x(x)的同阶或低阶无穷小,则af(x)dx发散.

3 判别法的应用

例1 求证反常积分sinx0xdx收敛,其中被积函数在x0的值定义为

1.

证明 对任何A2A10,按分部积分公式有

AA22sinx Axdxcosx1xAA2cosxA11x2dx

从而有

A2sinxAxdx1A11A2A2121A1x2dxA1

对于任给的0,取

A2,于是当A2A1A时,就有

A2sinxAxdx221A2A

由柯西收敛准则知反常积分sinx0xdx收敛.

2例2 证明反常积分sinx01xpdxp0是收敛的.

证明 因为

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sinx221xpdx=1sinx01xpdx+sinx2011xpdx

所以只须证明sinx211xpdx收敛即可.记

f(x)xsinx2,g(x)1x(1xp)

则对任意u1,

u 11fxdxu1xsinx2dx2cosu2cos11g(x)在[1,)上单调递减,并且xlimg(x)xlim1x(1xp)0.

由狄利克雷判别法可知无穷积分sinx211xpdx收敛.

例3 讨论axx!1xxdxa0的敛散性.

解 因为

ax1(x1)!f(x1)(x1)x1xlimf(x)xlimaxx!xxaxlima(x1)exx

所以由比值判别法知：

当ae时,积分axx!1xxdxa0收敛；

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当ae时,积分1axx!dxa0xx发散；

当ae时,xlimx(f(x)1111)limx((1)x)xf(x1)ex2 .

由拉贝判别法知1exx!dxxx发散.

综上所述,当ae时,积分1axx!dxa0xx收敛；

当ae时,积分1axx!dxa0xx发散.

4 结束语

无穷积分涉及到一个所谓收敛性问题，关于无穷积分敛散性的判定,在目前的文献中有不少的介绍,本文就一些常见的判定方法和不常见的判定方法做了一个归纳，并列举了相关例题，这样将有助于我们灵活地运用各种判别方法判断无穷积分的敛散性。

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[5] 何忆捷. 对一类反常积分收敛判别题的研究[J]. 高等数学研究， 2005，8(6)：29-30.

Detemination methods of convergence and divergenceof Infinite Integral

ZHENG Han-bin

Abstract:the fundamental problem of the infinite integral is determination problem of convergence and divergence, which is a prerequisite of solving infinite integral’s approximation.As determination methods are many and are difficult for students to master, infinite integral is a difficulty of mathematical analysis, which has also been an important research topic. In this paper, some common and uncommon methods of determining infinite integral are given an inductive, and are also given some typical examples, which would help us flexibility to use all kinds of determination methods to determine convergence and divergence of infinite integral.

Key words: infinite integral；defect integral；convergence；determination method

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