圆锥曲线的概念与解题常见思路总结

曲线名称 标准方程 2圆（Circle） xyr（r0） 22椭圆 （Ellipse） x2y21（ab0） a2b2P双曲线（Hyperbola） x2y21（a,b0） a2b2PF1F2抛物线（Parabola） y22px（p0） AP PF1PF22a PF1PF22a 抛物线的切点弦性质 抛物线的切点弦中点与极点连线的中点在抛物线上； 特别地，若切点弦过抛物线焦点F，则APB为直角且PFAB 定义 AF1BF2F1F2（2aF1F2） （02aF1F2） PM2BM1 PF1体系一 光学性质 PF2（0且1） O焦点三角形面积S△PF1F2b2tanP2 焦点三角形面积S△PF1F2b2cot F1F22 F 切线方程 x0xy0y21 a2b切线方程 x0xy0yr2 F1F2切线方程 x0xy0y21 a2b切线方程 y0ypxx0 从圆心射出的光线的反射光线仍经过圆心 P从一个焦点射出的光线的反射光线过另一个焦点 从一个焦点射出的光线的反射光线的反向延长线经过另一个焦点 极坐标方程ep 1ecos 从焦点射出的光线的反射光线与对称轴平行 等张角线 对线段AB张角相同的点的轨迹 lHF Pl l体系二 ABPFPHe PFHPFPHe HP PFPH 通径长 F通径长 d2b2ep a2通径长 d2b2ep ab a222d2p B定义 AO BO kPAkPBb a2A2 BOP直线与圆锥曲线 弦长公式 l1k2x1x21m2y1y2nt1t2 kPAkPBP1 kPAkPBAP体系三 垂径定理 AM O OA b2 aA2 kOMkAB1 BkOMkABBOMBkOMkABb22 a面积公式 111S底×高水平宽×铅直高l1l2sin 222位置关系 椭圆的等效判别式a2A2b2B2C2 双曲线的等效判别式C2a2A2b2B2 M圆锥曲线的解题常见思路

关键词 一般情况 过定点的直线 定点在y轴上时用斜截式表示 定点在x轴上时用倒斜横截式表示 弦长 面积 点与曲线的位置关系 ★ 引入参数控制运动，以交点坐标为中间变量表示其他所有几何量 ★ 弦长公式 ★ 两点间距离公式 ★ 若方程Px2QxR0的两根时，两根之差为x1x2 P★ 利用共线或平行条件进行等积变换 ★ 将点代入圆锥曲线方程中再将方程改写为不等式 ★ 利用直线方程消去纵（横）坐标 定点不在轴上时用参数方程表示 提示 →将直线方程代入曲线方程（联立）→通过韦达定理消去另一坐标 有时也直接求解坐标 ★ 三角形面积公式 ★ 四边形的面积公式l1l2sin ★ 四边形的对角线往往是相关的 ★ 面积比往往转化为共线线段比 定比分点 共线、平行、垂直 12★ 注意参数的取值范围，需要保证直线与圆锥曲线相交 焦点 中点 关键词 直线与圆锥曲线的位置关系 ★ 联立直线与曲线方程后通过判别式判断 ★ 两个焦点 → 体系一 ★ 一个焦点 → 补焦点 → 体系一 → 补准线 → 体系二 ★ 注意取中点构造中位线 ★ 中点坐标公式 xx1x2yy2，y1 22★ 弦所在直线过焦点时，可补对应准线后构造相似三角形 ★ 利用斜率或向量表示 ★ 共线也可以利用点在另外两点所确定的直线上表示 ★ 直接利用等效判别式判断 提示 ★ 利用定比分点坐标公式或利用直线的参数方程转化． ★ 注意利用极坐标方程 ★“x2x1（1）” xx2x1x21． 12关键词 以AB为直径的圆过C 垂直平分线 关于直线…对称 关于原点对称的两点 与原点连线相互垂直 ★ 以AB为直径的圆过C ACB90 ★ P在AB的垂直平分线上 PAPB PMAB（M为AB中点） ★ A、B关于l对称 l是AB的垂直平分线 ★ 有关斜率的问题 → 体系三 ★ 注意取中点构造中位线 ★ 斜率的比值计算可以平方后用圆锥曲线的方程进行整理 ★ 利用相关直线设直线斜率 ★ 化齐次联立 ★ 注意“姐妹圆” 111 R2a2b2 222rab提示 MCMA（M为AB中点） ★ 注意对称变换下的几何不变量 关键词 与定点的两连线垂直 向量的运算 成锐角（直角、钝角） 过…与…交点的曲线 其他 ★ 利用相关直线设直线斜率 ★ 平移坐标系转化为与原点的连提示 线相互垂直的问题 ★ 向量数乘 → 共线 向量和差 → 平行四边形法则 向量相等 → 形成平行四边形 向量数量积 → 投影长度 ★ 转化为向量夹角 借助向量数量积的符号判断 ★ 利用交点曲线系得到曲线方程 ★ 当运动由圆锥曲线上的单点驱动时注意利用圆锥曲线的参数方程 ★ 极限思想，利用切线方程得到定点或定值的具体数据 ★ 在求形如x1tx2t的值时，可以将方程整理为形如 AxtBxtC0的形式 2★ 利用仿射变换 改造椭圆为圆 改造斜交直线为垂直直线