平原县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知定义在R上的可导函数y=f（x）是偶函数，且满足xf′（x）＜0，的x的范围为（

）

B．（，1）∪（1，2）

C．（，1）∪（2，+∞）D．（0，）∪（2，+∞

=0，则满足

A．（﹣∞，）∪（2，+∞）

）　

2． 直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ A．0

B．1

）C．2

D．3

）

3． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（

A．B．C．D．

4． 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ 2）

5． 直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ A．

B．

C．

D．

）

）

）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，

A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

6． 直线在平面外是指（ A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行

D．直线与平面最多只有一个公共点

7． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正

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方形所组成，该八边形的面积为（ ）

A．2sin2cos2 C. 3sin3cos1

B．sin3cos3D．2sincos1）

8． 为得到函数ysin2x的图象，可将函数ysin2x的图象（

3A．向左平移C.向右平移

3个单位

3个单位

|x|个单位62D．向右平移个单位

3B．向左平移

9． 若当xR时，函数f(x)a（a0且a1）始终满足f(x)1，则函数y（

）

loga|x|的图象大致是x3【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．10．设定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，满足f（x）+f（y）=f（x+y），且f（3）=4，则f（0）+f（﹣3）的值为（ A．﹣2

B．﹣4

）

D．4

C．0

ìïx(1-x),0£x£111．函数f(x)(xÎR)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)=í，则

sinpx,116161616第 2 页，共 17 页

【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．

12．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（ A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内

）

二、填空题

13．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且|=　　　　　　．14．函数fxxex在点1,f1处的切线的斜率是 15．若x，y满足线性约束条件

|=2，则

.，则z=2x+4y的最大值为　　．16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），．

+

=．若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值为　　　　　xya,17．设x,y满足条件，若zaxy有最小值，则a的取值范围为 xy1,118．已知|a|2，|b|1，2a与b的夹角为

．33，则|a2b| ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）．（1）求a的值；

（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；（3）求函数f（x）=a

（x≥0）的值域．

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20．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

，OA⊥底面ABCD，OA=2

21．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fxxaxlnxaR.

2（1）若函数fx是单调递减函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数fx在区间0,3上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.

22．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直，导函数

f′（x）的最小值为﹣12．

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（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．

23．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；

（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．

24．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1（Ⅰ）求f（x）在区间[0，

]上的最大值；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．

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平原县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：当x＞0时，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此时函数单调递减，∵函数f（x）是偶函数，∴不等式即|

|＞，即

等价为f（|＞或

|）＜＜﹣，

，

解得0＜x＜或x＞2，

故x的取值范围是（0，）∪（2，+∞）故选：D

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．　

2． 【答案】B

【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，

∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．故选：B．　

3． 【答案】C

【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，底面是一个边长是侧棱长是

，

×2=6+

，

的等边三角形，

∴三棱柱的面积是3×故选C．

【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．　

4． 【答案】A

【解析】解：设g（x）=

，则g（x）的导数为：

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g′（x）=，

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，

∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是增函数，又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：A．　

5． 【答案】A

【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：．

故选：A．　

6． 【答案】D

【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．故选D．　

7． 【答案】A【解析】

试题分析：利用余弦定理求出正方形面积S111-2cos22cos；利用三角形知识得出四个等

22 =

腰三角形面积S24正确答案为A.

111sin2sin；故八边形面积SS1S22sin2cos2.故本题2考点：余弦定理和三角形面积的求解.

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【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角

1111sinsin求出个三角形的面积4S2sin；接下来利用余弦定理可求出正222222方形的边长的平方11-2cos，进而得到正方形的面积S111-2cos22cos，最后得到

形面积公式S答案.

8． 【答案】C【解析】

2sin2x的图象，试题分析：将函数ysin2x的图象向右平移个单位，得ysin2x故选C．

3333考点：图象的平移.9． 【答案】C【解析】由f(x)a始终满足f(x)1可知a1．由函数y|x|loga|x|是奇函数，排除B；当x(0,1)时，3xloga|x|0，此时y10．【答案】B

loga|x|0，排除A；当x时，y0，排除D，因此选C．x3【解析】解：因为f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0，

则f（0）+f（0）=f（0+0）=f（0），所以，f（0）=0；再令y=﹣x，

则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，所以，f（﹣x）=﹣f（x），所以，函数f（x）为奇函数．又f（3）=4，

所以，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣4，所以，f（0）+f（﹣3）=﹣4．故选：B．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．　

11．【答案】C

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12．【答案】B

【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n∴m∥l且n∥l由平行公理4得m∥n

这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内

所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误．故选B．

【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．　

二、填空题

13．【答案】　（﹣

【解析】解：∵则：AD：BD=1：5

即D分有向线段AB所成的比为

，

，

设OC与AB交于D（x，y）点

，

）　．

则

解得：

∴

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又∵|∴

|=2

=（﹣

，，

））

故答案为：（﹣

【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，

可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式　

14．【答案】2e【解析】

进行求解．

试题分析：fxxe,f'xexe，则f'12e，故答案为2e.

xxx考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.15．【答案】　38　．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，

平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由

，解得

，

即A（3，8），

此时z=2×3+4×8=6+32=32，故答案为：38

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16．【答案】　1　．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

再左右扩展知f（x）为周期函数．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．故答案为：1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．　

17．【答案】[1,)【解析】解析：不等式xya,表示的平面区域如图所示，由zaxy得yaxz，当0a1xy1,时，平移直线l1可知，z既没有最大值，也没有最小值；当a1时，平移直线l2可知，在点A处z取得最小在点A处z取得最大值，综上所述，a1．

值；当1a0时，平移直线l3可知，z既没有最大值，也没有最小值；当a1时，平移直线l4可知，

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yl4l3Ol2Al1x18．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a与b的夹角为∴|a2b|2，ab1，3(a2b)2|a|24ab4|b|22．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），∴a2=，∴a=

（2）∵f（x）=（）x在R上单调递减，又2＜b2+2，∴f（2）≥f（b2+2），（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，∴

≤（）﹣1=3

∴0＜f（x）≤（0，3]　

20．【答案】

【解析】解：方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NE∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP

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∵∴

，∴，，

所以AB与MD所成角的大小为（3）∵AB∥平面OCD，

．

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，∵

，

，

∴，所以点B到平面OCD的距离为．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），

，

O（0，0，2），M（0，0，1），（1）

，

设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则即取∵

•

，解得=（

，

，﹣1）•（0，4，

）=0，

•

=0，

•

=0，

，

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∴MN∥平面OCD．

（2）设AB与MD所成的角为θ，∵∴∴

，AB与MD所成角的大小为

，．在向量

=（0，4，

=

）上的投影的绝对值，

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为由

所以点B到平面OCD的距离为

．

，得d=

【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．　

21．【答案】（1）a22；（2）22a【解析】试题分析：

（1）原问题等价于fx0对0,恒成立，即a2x得a22；19.31对0,恒成立，结合均值不等式的结论可x第 14 页，共 17 页

2x2ax10在0,3上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数a的（2）由题意可知fxx19取值范围是22a.

3试题解析：

（2）∵函数fx在0,3上既有极大值又有极小值，

2x2ax10在0,3上有两个相异实根，∴fxx即2x2ax10在0,3上有两个相异实根，

0a22或a22a032 ，得{0a12 ，记gx2xax1，则{4g0019ag30319即22a.

322．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c，∴c=0．∵f′（x）=3ax2+b的最小值为﹣12，∴b=﹣12．

又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为，则f′（1）=3a+b=﹣6，得a=2，∴a=2，b=﹣12，c=0；

（2）由（1）知f（x）=2x3﹣12x，∴f′（x）=6x2﹣12=6（x+列表如下：

x （﹣∞，﹣

）

﹣

（﹣

，

）（x﹣）），

（

，+∞）

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f′（x） f（x）∵f（﹣1）=10，f（

+ 增）=﹣8

0 极大

）和（

，f（3）=18，

﹣ 减，+∞）．

）=﹣8

0 极小

+ 增

所以函数f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣

∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（　

23．【答案】

．

【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为所以，直线l的方程为由

消y并整理，得

…

…

，准线方程为．

设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，

又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，所以p=1…

（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…由方程组

可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…

当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．把y=﹣1代入y2=2x，得

．

．…

（1）

这时．直线m与抛物线只有一个公共点

当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．解得于是，当

．

且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这

时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…因此，所求m的取值范围是

．…

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【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　

24．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+2×=sin2x+cos2x=

sin（2x+

]，，=

]，

时，f（x）min=

sin（

+…6分）=1，

），﹣1

∵x∈[0，∴2x+∴当2x+

∈[

，即x=

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=∴sin（∴∴B=

+

+=，

）=，

，

由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．　

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