曲线的曲率

在§2-7中研究了平面曲线的弯曲方向(下凸或上凸)，而没有考虑到曲线的弯曲程度.我们将用曲线的曲率表示曲线的弯曲程度，在研究物体的运动(包括与运动有关的工程或机械设计)时，它有很重要的理论和实际意义.

AB的全曲率规定为直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图2-38，弧的全曲率与弧AB的全曲率相起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏差. 可是，弧CD同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些.这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关.因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为s的弧的全曲率同弧长s的比值/s，称为该弧的平均曲率.它有点像质点运动的平均速度.像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限

dKAlimlim

BAss0sdsAB在点A处的曲率 (其中为弧AB的全曲率, s为弧AB的长度). 定义为弧

s B D  C B O  R s  A 图2-38 A 图2-39

对于半径为R的圆周来说(图2-39)，由于sR，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为

Klimd1

s0sdsRy 曲率圆 对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可 能不尽相同，但是当弧上点A处的曲率KA0时， 我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧 在点A相切(即有公切线)且半径RA1/KA.这样 的圆周就称为弧上点A处的曲率圆；而它的圆心称 为弧上点A处的曲率中心.如图2-40中那个抛物线 在原点O或点A(1,a)的曲率圆.

yax2 A 曲率圆 R x O 图2-40

(1,a) 请读者注意，因为曲率有可能是负数，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．径也有可能是负数.保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向.在实际应用中，有．．．．．．．．时把绝对值KA称为曲率.

对于用方程yy(x)(axb)表示的弧(图2-41)，由于

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120 第2章 微分和微分法·导数的简单应用 y(x)tan， arctany(x)

所以，若有二阶导数y(x)，则

dy(x)dx 21y(x)y 曲率圆 A yy(x)

注意到ds1[y(x)]2dx，则弧上点Ax,y(x) 处的曲率为 Kdy(x) (2-10) ds1[y(x)]2321KO θ 图2-41

x x 当y(x)0时，曲率半径为 R1[y(x)]2y(x)32 (2-11)

其中，y(x)0时，曲率K和曲率半径R都大于0，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方 (图2-41).反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方.

例32 对于图2-40中那个抛物线yax2，因为y2ax,y2a，所以

1(14a2x2)322a(曲率) K, (曲率半径) R 2232K2a(14ax)显然，原点O(0,0)处有最大曲率K2a，最小曲率半径R依次为

1. 点A(1,a)处的曲率和曲率半径2a(14a2)322aK， R

2a(14a2)32可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大.

xx(t)对于用参数方程(t)表示的曲线弧，其中x(t)和y(t)有二阶导数且

yy(t)(t)0] (t)]2[y(t)]20 [不妨认为x[x因为

(t)(t)dy(t)dt(t)x(t)y(t)(t)dyyd2yddydyyx， 2 3(t)(t)dxxdxdxdxdxxdtx(t)dx[x(t)]把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得 (曲率公式) Kyxyx (2-12) 2232y)(x2y2)32(xyx0) (2-13) (yx(曲率半径公式) Ryxyx习 题

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§2-8 曲线的曲率 121 1.求下列曲线的曲率和曲率半径：

xa(tsint) ⑴ xy1(双曲线)； ⑵y22px(抛物线)； ⑶.

ya(1cost)p2sgny12x3答案：⑴K；⑵；⑶. KK(y0)(p2y2)32(1x4)3222ay112.在对数曲线ylnx上，求出曲率绝对值最大的点. 答案：,ln2.

223.极坐标系中曲线的曲率公式 证明：极坐标系中曲线rr()的曲率公式为

xr()cosr22r2rr [提示:] K2232(rr)yr()sin并由此求下列曲线的曲率:

⑴ ra(阿基米德螺线)； ⑵ raem(对数螺线)； ⑶ ra(1cos)(心形线)； ⑷ r2a2cos2(双纽线).

3r1223aK 答案：⑴K；⑵；⑶；⑷. KK22322aa(1)2r2rr1m

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