在高考数学复习中应关注
平面向量与其它知识的交汇
O永胜县第一中学
周
彤
以能力立意命题。将知识、能力与素质融为一体全面检测考生的数学素质是高考数学命题的指导思想，在知识网络的交汇处设计考题是高考命题的新特点和大方向。而平面向量及其运算是高中数学的新增内容，平面向量融数、形于一体，它具有代数与几何的双重特点，是中学数学知识的一个重要交汇点。以这一知识和方法为媒介可以和高中数学中的其它知识板块如函数、方程、数列、平面几何、三角。解析几何的内容建立紧密的联系，并贯穿其中、交汇渗透，使数学问题的情境新颖别致。
一、平面向量与函数的交汇
例1．已知平面向量i=(x／j-．一1)，E：({，一x／．T)．
(1)求证：i上E：
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使i=i+(t‘
一3)6，；一k；i+tF,，且王上；，试求函数关系式k=f(t)；
(3)根据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)一k=O的解的情况．
证明：(1)(略)(2)(略)
k=二t(t‘一3)
4
(3)讨论方程÷t4
(t。一3)一k=O的解的情况．
方程解的个数可以看作是曲线f(t)=÷t4
(t‘一3)与
直线g(k)=k的交点个数．(下略)
小结：本题借助向量的坐标表示及运算判断
i上歹，求出k训入)，是将向量问题实数化．正是化归
思想的体现，再运用导数知识和数形结合研究函数的性质及讨论方程的根的情况，使本题的思想与方法达到高潮。
二、平面向量与方程的交汇
例2iE、苫是三个非零的向量，且i上6，x∈R．若
x．、】【2是方程矗‘+f；x+i=o的两个实数根．
求证：x。鼍
证明：(略)
小结：考虑平面向量基本定理，运用反证法解方程问题．
三、平面向量与数列的交汇
例3．设hJ为首项是一10，公差是2的等差数列，Ih。}
为首项是一了1，公差是{的等差数列，o为坐标原点．
向量积=(一l，1)。商=(1，1)，点列P。满足醒一。积
+b。魂(aEN‘)，
(1)证明：P。、P2、……、R共线；
(2)若点P。(k∈N)表示点列P。中处于第一象限的点，求k的值。
(1)证明：(略)
(2)解：(略)k的值为6或7．
小结：(1)首先运用平面向量的坐标运算求出P．
的坐标，通过消参求得直线的方程．(2)求出醒的坐
标，利用P。所在的象限，求出k的取值范围．注意n∈N．求出k值。
四、平面向量与平面几何的交汇
例4．如图，在正方形ABCD中，N为边Bc上一点，满足AN=CD+CN，M为边BC的中点．
求证：￡DAN：2么MAB．
证明：如图建立平面直角坐标系，使A在原点O，
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设正方形边长为(1l，则有B(1，0)．C(1．1)，D(0，1)，M
，{)，设N的坐标为(1。n)，9IqAN=俯，又
AN=CD+CN=l+(1一n)=2一n
不难得出：￡DAN=2￡MAB．小结：本题主要运用平面向母的数量积和三角
函数的倍角公式解决平面几何问题。
五、平面向量与三角函数的交汇
例5-设向量晶(c∞专，9in专)，向量良“in寻，
cos扣'x∈[。，詈]，
(1)求i}；及I；+f；|；(2)若函数f(x)=i6+、／丁li+f；I，求f(x)的最小
值、最大值。
解：(1)吾6=sin2x
．．．1吾+612：(j+13)2=j2+2ai．6+f；2=、／丁(sinx+cosX)
x∈[o，要]
(2)由(1)得：“x)=sin2x+、／丁、厂丁(sinx+cosx)
=sin2x+2(sinx+eosx)
令l-sinx+COSX：、／丁sin(x+!!_)
4
．’x∈[p。要]，t∈[1，订]
．．．t2=1+2sinxcosx
．．．2sinxcosx=t2一1
．．y-t2-1+2t：(t+1)2-2
t∈[1．、／虿]
由l≤t≤订可得2≤(t+1)2--2
1+2订
．．当l-l时，y。=2；当t=、／虿时，t=2X／2+1．小结：本题主要是运用平面向量的运算解决三角函数的定义域与值域等有关问题。
六、平面向量与解析几何的交汇
例6．已知椭圆毛+之=1(a>b>o)的左、右焦点
a
b
分别是F，(-c，0)、F：(c，O)，Q是椭圆外的动点，满
足I莉l=2a，点P是线段F．Q与该椭圆的交点，点T在线
段F：Q上，并且满足肃
贰=o，W：1．o．
+18．，’
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’
(1)设x为点P的横坐标，证明l市l-a+蔓x；
a
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)试问：在点T的轨迹c上，是否存在点M，使AF．MF，的面积S=b2，若存在，求￡F。MF：的正切值；若不存在．请说明理由。
解：(1)(略)
(2)设点T的坐标为(x，Y)
当I衍I：0时．点(a，0)和点(一a，0)在轨迹上，
当I衍I≠o且I记I≠o时，由商记=0，得耐上市
又l葡I=l最l，所以T为线段F：Q的中点。
AQF2F2，J耐l-{J确I-a
所以有x2+y2：a2
综上所述．点T的轨迹C的方程是x‘+y‘=a．．
(3)CI存在点M(xo，y。)，使S=b‘的充要条件是
x02+y。2：a2
①
且妻2cIy。bb2
②
2由①得W≤a；由②得叫=旦
C
．2
所以，当。≥垒时，存在点M，使s：b2，
C
2
当a<生时，不存在满足条件的点M．
C．2
当a≥生时，碱=(-c-xo，一y。)
斌武=l面JJ武1．cos／_F。MF2
s={l耐…碇hin[F。MF2=b2
得tan／_F．MF2=2．
小结：借用平面向量的知识，降低了解析几何中的运算难度和减小了运算量，这也是一种很好的方法．
向世知识作为一个全新的知识，在高中数学学习中起到了沟通初等数学和高等数学的桥梁，向量是既有大小又有方向的量，它很好的体现了数与形的统一．使我们在研究数学问题时能“透过现象看本质”．借用了向量的工具性、沟通性可以将各种数学问题转化为向量的几何运算与代数运算．从而使问题得到解决．
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