高等代数期末复习试题

数学系《高等代数》期末考试试卷

年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。 题号 一 二 三 四 五 总分 签 名 得分 一 装订线 得 分 阅卷教师 一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）

1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间V的维数dimV2,则V没有真子空间. ( ) 3. n维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间 为

的不变子空间. ( )

7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( ) 9. 若两个n阶实对称矩阵A,B均正定,则它们的和AB也正定. ( )

得 二 分 阅卷教师 二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分） 1. 下列命题不正确的是 ( ).

A. 若向量组{1,2,,r}线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；

B. 若向量组{1,2,,r}线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；

C.若向量组{1,2,,r}线性无关，且每一i可由向量{1,2,,s} 线

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性表示，则rs；

D. n(n0)维向量空间的任意两个基彼此等价.

2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).

A．向量空间V的可逆线性变换是V到V的同构映射； B．数域F上的n维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n阶矩阵所成向量空间同构；

C．若是数域F上向量空间V到W的同构映射，则1是W到V的同构

映射；

D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.

3．n阶矩阵A有n个不同的特征根是A与对角矩阵相似的 ( ).

A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件； C．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．

21x14．二次型q(x1,x2,x3)(x1,x2)31x 的矩阵是( ).

22121A．； B．3111；

310210C．310； D．110

0000005.实二次型q(x1,x2,x3)xAx正定的充分且必要条件是 ( ).

A．A0； B．秩为3；

C．A合同于三阶单位矩阵； D．对某一x(x1,x2,x3)0,有xAx0. 三 得 分 阅卷教师 三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）

1. 复数域C作为实数域R上的向量空间，它的一个基是________. 2. 设Fn{(x1,x2,,xn)xiF,i1,2,,n}是数域F上n元行空间，对任

意(x1,x2,,xn)Fn，定义((x1,x2,,xn))(0,0,x1,x2,,xn2)，则是一个线性变换，且的核Ker()的维数等于______.

3. 若A是一个正交矩阵，则A2的行列式A2=________.

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4. 在欧氏空间R3中向量1(1,0,0)与2(0,1,0)的夹角=______.

5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼

此等价，属于不同类的二次型互不等价.

得 四 分 阅卷教师 四． 计算题（每小题14分，共42分） 1．求齐次线性方程组

x1x2x3x403x12x2x3x40 x2x2x03425x14x23x33x40的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．

1002．设A021,求A的特征根及对应的特征向量.问A是否可以对角化？

032若可以，则求一可逆矩阵T，使T1AT为对角形.

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3． 写出3元二次型q(x1,x2,x3)x1x24x2x3的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项. 五 得 分 阅卷教师 4

五．证明题（每小题10分，共20分）

1．设1,2为n阶矩阵A的属于不同特征根，1,2分别是A的属于1,2的特征向量，证明12不是A的特征向量.

2．设是n维欧氏空间V的正交变换，且2为单位变换，某一规范正交基的矩阵，证明A为对称矩阵．

A是关于V的5

数学系《高等代数》期末考试试卷（A卷）

年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。 题号 一 二 三 四 五 总分 签 名 得分 一 装订线 得 分 阅卷教师 一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）

1．任意数域F可以看成是它自身上的向量空间. ( ) 2．欧氏空间的两个子空间的并还是子空间． ( ) 3.一个向量组存在两个极大无关组，它们所含向量的个数不相同. ( ) 4．两个向量空间之间的同构映射的逆映射1还是同构映射. ( ) 5．若数域F上的两个n阶矩阵A、B相似，则A、B合同. ( ) 6．任何一个n阶实对称矩阵A都相似且合同于一个实对角矩阵. ( ) 7．两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩. ( ) 8．向量空间V的可逆线性变换的核Ker()是空集. ( ) 9．两个n阶正交矩阵A、B的和还是正交矩阵. ( )

得 二 分 阅卷教师 二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分） 1. 下列命题正确的是 ( ) .

A. 线性变换保持向量长度不变； B. 对称变换保持向量的内积不变； C. 正交变换保持向量夹角不变； D. 线性变换保持向量的线性无关性. 2．两个n元实二次型等价的充要条件是( ) .

A．它们的秩相等； B．它们的惯性指标相等；

C．它们的符号差相同； D．它们有相同的秩和符号差.

3．数域F上所有对称矩阵的全体关于矩阵的加法及数乘所成的向量空间的维数是( ) .

n(n1)n(n1) A.； B.n1； C.n2； D. .

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4. 向量空间R2中的下列变换，只有( )不是 R2的线性变换. A. ((x,y))(y,x)； B. ((x,y))(x,y)； C.((x,y))(0,0)； D.((x,y))(xy,xy) 5．设U是一个n阶酉矩阵，则 ( ) .

A. U的行列式等于1； B. U的特征根的模为1； C. U的行列式的模等于1或1； D. U的特征根为1或1. 三 得 分 阅卷教师 三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）

222x32x1x32mx2x3是正定的，1. 3元实二次型f(x1,x2,x3)x12x2则m取值

范围为 .

2. 设A是n阶实对称矩阵,则A为正定的充要条件是 . 3. 向量空间R3中, 向量(1,2,3)在基{(1,1,1),(0,1,1),(0,0，1)}下的坐标为 .

4.设是数域F上向量空间V的线性变换，W是V的子空间，则W是的不变子空间的充分必要条件是 ．

5.在欧氏空间V中， ,VCa,b柯西-施瓦茨不等式成立，且等式成立：

,,,的充要条件是 ．

得 四 分 阅卷教师 2五． 计算题（每小题14分，共42分） 1．求齐次线性方程组

x1x2x3x40x1x2x33x40 x3x3xx02341的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．

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2002．设A013,求A的特征根及对应的特征向量.问A是否可以对角化？

011若可以，则求一可逆矩阵T，使T1AT为对角形.

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3． 写出3元二次型q(x1,x2,x3)x122x1x22x2x3的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.

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五 得 分 阅卷教师 五．证明题（每小题10分，共20分）

1．设是数域F上n维向量空间V线性变换(n0)，V，若n1()0,但

n()0,试证,(),2(),,n1()是V的一个基，并写出关于此基的矩阵．

2．设是n维欧氏空间V的正交变换，同时又是对称变换，一规范正交基的矩阵，证明A2为单位矩阵．

A是关于V的某10