天元区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

22． 已知集合Ax|x10，则下列式子表示正确的有（ ）

①1A；②1A；③A；④1,1A．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3． 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（ ） A．x3+2x2

B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2

B．等边三角形

D．等腰三角形

4． 在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 C．等腰直角三角形

5． 若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（ ）

A．0 B．10 C．﹣10 D．10或﹣10

6． 设a,b,cR，且ab，则（ ） A．acbc B．

11 C．a2b2 D．a3b3 ab7． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A．fx=x，gx44x44x24,gxx2 B．fx=x2C．fx1,gx8． 对于复数

1,x033 D．fx=x，gxx 1,x0具有性质“对任意

,必有

”,则当

,若集合

第 1 页，共 20 页

时,A1 B-1 C0 D

等于 ( )

9． 已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．已知命题p：∀x∈（0，+∞），log2x＜log3x．命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2．则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 11．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（ ） A．为直角三角形 C．为钝角三角形

B．为锐角三角形

D．前三种形状都有可能

+

12．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．

B．

C．

或 D．3

取得最小值时，实数a的值是（ ）

二、填空题

13．抛物线14．函数y=1﹣

的准线与双曲线

的两条渐近线所围成的三角形面积为__________

（x∈R）的最大值与最小值的和为 2 ．

15．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：

①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ．

第 2 页，共 20 页

16．设实数x，y满足

，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值

为 ．

2

17．M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，已知点F是抛物线y=4x的焦点，则△MNF的重心到准线距离为 ．

2ex1lnxxaaR，18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fx若曲线y2xxe1（e为自然对数的底数）上存在点x0,y0使得ffy0y0，则实数a的取值范围为__________.

三、解答题

19．（本题满分12分）设向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数 2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)

20．（本题满分12分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1ADa，E是棱CD上的一点，P是棱AA1 上的一点.

（1）求证：AD1平面A1B1D； （2）求证：B1EAD1；

（3）若E是棱CD的中点，P是棱AA1的中点，求证：DP//平面B1AE.

1，a2，求ABC面积的最大值. 2第 3 页，共 20 页

21．已知函数f（x）=2x2﹣4x+a，g（x）=logax（a＞0且a≠1）． （1）若函数f（x）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m的取值范围； （2）若f（1）=g（1） ①求实数a的值；

②设t1=f（x），t2=g（x），t3=2x，当x∈（0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小．

22．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2点

，M为BC的中

第 4 页，共 20 页

（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论． （Ⅱ）证明：AM⊥PM．

23．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为

相切．

，以原点为圆心，

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．

第 5 页，共 20 页

24．（本小题满分12分）

某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生 数有21人.

（1）求总人数N和分数在110-115分的人数； （2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占

1）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率； 3（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩 （满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩. 88 83 117 92 108 数学 物理 94 91 108 96 104 100 101 112 106 已知该生的物理成绩y与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？

附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)……(un,vn)，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分 别为：^n(uu)(vv)iii1(uu)ii1n，avu.

^^2第 6 页，共 20 页

第 7 页，共 20 页

天元区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，

∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，

∴sinθ＜0， ∴θ是第四象限角． 故选：D．

【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．

2． 【答案】C 【解析】

试题分析：A1,1，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 3． 【答案】A

【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，

因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2

，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），

所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2

，故选A．

4． 【答案】D

【解析】解：∵A+B+C=180°，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA， ∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D．

【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．

5． 【答案】D

【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10 当x≥0，时x=10，解得：x=10 故选：D．

第 8 页，共 20 页

的值，

6． 【答案】D 【

解

析

】

考

点：不等式的恒等变换. 7． 【答案】D111] 【解析】

考

点：相等函数的概念. 8． 【答案】B 【解析】由题意，可取

，所以

9． 【答案】A

【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，

若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件； 故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．

10．【答案】 B 【解析】解：命题p：取x∈[1，+∞），log2x≥log3x，因此p是假命题．

32

使得f（x0）=0，即∃x∈R，x=1﹣x．因此q是真命题．

32

命题q：令f（x）=x﹣（1﹣x），则f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），

可得￢p∧q是真命题．

第 9 页，共 20 页

故选：B． 础题．

11．【答案】A

【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基

22

【解析】解：设A（x1，x1），B（x2，x2），

将直线与抛物线方程联立得

2

消去y得：x﹣mx﹣1=0，

，

根据韦达定理得：x1x2=﹣1， 由得到则

⊥

=（x1，x12），

，

=（x2，x22），

=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，

∴△AOB为直角三角形． 故选A

【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．

12．【答案】C

【解析】解：∵a+b=3，b＞0， ∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0． ①当0＜a＜3时，f′（a）=当减． ∴当a=时，②当a＜0时，f′（a）=

﹣

+ +

取得最小值． =﹣（=﹣

）=﹣（

+，

）=f（a），

+

+

==

=

+

=f（a），

，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

第 10 页，共 20 页

当递减．

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调

∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．

+取得最小值．

+

取得最小值．

或时，

【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

二、填空题

13．【答案】

【解析】【知识点】抛物线双曲线 【试题解析】抛物线双曲线所以故答案为：14．【答案】2

【解析】解：设f（x）=﹣

，则f（x）为奇函数，所以函数f（x）的最大值与最小值互为相反数，

的准线方程为：x=2;

的两条渐近线方程为：

即f（x）的最大值与最小值之和为0． 将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的最大值与最小值的和为2． 故答案为：2．

【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．

15．【答案】 ①② ．

【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即

，（x＞0）．

的图象，所以此时函数y=1﹣

（x∈R）

第 11 页，共 20 页

对于①，联立，消y得7x﹣18x﹣153=0，

2

2

∵△=（﹣18）﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．

对于②，联立2

，消y得x=

，∴y=2是“单曲型直线”．

对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．

对于④，联立2

，消y得20x+36x+153=0，

2

∵△=36﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．

故符合题意的有①②． 故答案为：①②．

【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．

16．【答案】 6 ．

【解析】解：∵ =（2x﹣y，m），=（﹣1，1）． 若∥， ∴2x﹣y+m=0， 即y=2x+m，

作出不等式组对应的平面区域如图： 平移直线y=2x+m，

由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大． 由解得

，

，代入2x﹣y+m=0得m=6．

即m的最大值为6． 故答案为：6

第 12 页，共 20 页

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．

17．【答案】

．

2

【解析】解：∵F是抛物线y=4x的焦点， ∴F（1，0），准线方程x=﹣1， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6， 解得x1+x2=4，

∴△MNF的重心的横坐标为， ∴△MNF的重心到准线距离为． 故答案为：．

【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．

18．【答案】,

e12ex11e2x2ex1【解析】结合函数的解析式：y2x可得：y'， 22xe1e1令y′=0，解得：x=0，

当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，

第 13 页，共 20 页

则当x=0时，取最大值，最大值为e， ∴y0的取值范围（0，e]，

x2lnx1lnxxaaR可得：f'x结合函数的解析式：fx， xx2x∈（0，e），f'x0， 则f（x）在（0，e）单调递增， 下面证明f（y0）=y0．

假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0． 同理假设f（y0）=clnxxax． xlnx1lnx设gx，求导g'x， 2xx令函数fx当x∈（0，e），g′（x）>0， g（x）在（0，e）单调递增， 当x=e时取最大值，最大值为ge当x→0时，a→-∞， ∴a的取值范围,.

e1， e1点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.

第 14 页，共 20 页

20．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.

第 15 页，共 20 页

21．【答案】

【解析】解：（1）因为抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上，对称轴为x=1， 所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增， 因为函数f（x）在[﹣1，3m]上不单调， 所以3m＞1，…（2分） 得

，…（3分）

第 16 页，共 20 页

（2）①因为f（1）=g（1），所以﹣2+a=0，…（4分） 所以实数a的值为2．…

②因为t1=f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， t2=g（x）=log2x， t3=2x，

所以当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），…（7分） t2∈（﹣∞，0），…（9分） t3∈（1，2），…（11分） 所以t2＜t1＜t3．…（12分）

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 22．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP； 证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形， 所以CM平行且相等于DN， 所以四边形MCNA为矩形，

所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP， 所以CN∥平面AMP．

（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，

因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2所以PE⊥平面ABCD，CM=所以PE⊥AM， 在△AME中，AE=

222

所以AE=AM+ME，

，M为BC的中点

， =3，ME=

=

，AM=

=

，

所以AM⊥ME， 所以AM⊥平面PME 所以AM⊥PM．

第 17 页，共 20 页

【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．

23．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）， 椭圆的离心率为

，即有=

，即a=

c，b=

=c，

222

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x+y=b，

直线y=x+即有a=

与圆相切，则有，

+y2=1；

=1=b，

则椭圆C的方程为

（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0）， 由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称， 即有

+

=0，即

+

=0，

即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①

设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得

222

（1+2k）x+4ktx+2t﹣2=0，

2222

判别式△=16kt﹣4（1+2k）（2t﹣2）＞0， 22

即为t﹣2k＜1②

x1+x2=，x1x2=，③

y1=kx1+t，y2=kx2+t，

代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0， 将③代入，化简可得t=2k，

第 18 页，共 20 页

则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）． 即有直线l恒过定点（﹣2，0）． 将t=2k代入②，可得2k＜1，

2

解得﹣＜k＜0或0＜k＜．

，0）∪（0，

）．

则直线l的斜率k的取值范围是（﹣

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．

24．【答案】（1）60，n6；（2）P【解析】

8；（3）115. 15试

题解析：

（1）分数在100-110内的学生的频率为P1(0.040.03)50.35，所以该班总人数为N2160， 0.35分数在110-115内的学生的频率为P21(0.010.040.050.040.030.01)50.1，分数在110-115内的人数n600.16.

（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为A1,A2,A3,A4，女生为B1,B2，从6名学生中选出3人的基本事件为：(A1,B1)，(A2,A3)，(A2,A4)，1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B2)，(A(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,A4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)共15个.

其中恰 好含有一名女生的基本事件为(A1,B1)，(A(A2,B1)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，1,B2)，(A2,B2)，

(A4,B2)，共8个，所以所求的概率为P（3）x1008. 151217178812100；

76984416y100100；

7由于与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到

第 19 页，共 20 页

^497b0.5，a1000.510050，

994∴线性回归方程为y0.5x50，

^∴当x130时，y115.1

考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.

【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,

,b,一定要将题目中所给数据与公式中的a,b,c相对应,再进一步求解.在求解过程中,关键在于正确求出系数a

,b的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数由于a

为b,常数项为这与一次函数的习惯表示不同.

第 20 页，共 20 页