必修1《函数的零点与方程的根》(有答案)

知识点梳理

函数的零点：对于函数

yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。

yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数

零点存在性定理：如果函数

yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。

函数与方程思想：若若

y=f(x)与x轴有交点x0f(x0)=0

y=f(x)与y=g(x)有交点(x0，y0)f(x)=g(x)有解x0。

知识应用

考点一 函数零点的求法

1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

2. 已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．

3. 若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是___________

4.函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．

x2＋2x－3，x≤0

5.函数f(x)＝的零点个数为( )

－2＋lnx，x＞0

A．0 B．1 C．2 D．3

解析 法一 由f(x)＝0得

x≤0，x＞0，或解得x＝－3，或x＝e2. 2x＋2x－3＝0－2＋ln x＝0，因此函数f(x)共有两个零点． 法二 函数f(x)的图象如图所示 可观察函数f(x)共有两个零点．答案 B

1

对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在

定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．

考点二 零点存在性定理

1.根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间( ) －1 x 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.78 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)

2

2．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )

x

A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e,3)

1－

3. 设函数y＝x3与y＝()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )

2

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

4. 若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．

补充：若方程ax2x10在（0，1）内有解，求 a 的取值范围。

考点三、 二分法

1．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )．

A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 答案 B

考点四 一元二次方程根的分布

【例】►是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由． [审题视点] 可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验． 88

解 ∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9a－92＋9＞0

∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．

2

f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 1

所以a≤－5或a≥1.

检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.

令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1. 1136

(2)当f(3)＝0时，a＝－5，此时f(x)＝x2－5x－5. 1362

令f(x)＝0，即x2－5x－5＝0， 解之得x＝－5或x＝3.

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方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－5. 综上所述，a＜－5或a＞1.

例.已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，

(1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；

(3)方程的一根大于1，一根小于1.

专题：函数的性质及应用 分析：令f（x）ax2－2(a＋1)x＋a－1，（1）由x1•x2a10求得a的范围． a(2a2)24a(a1)0a10（2）由a，求得a的范围． f(1)a2(a1)a10（3）当a＞0时，由f（1）＜0，且a＞0，求得a的范围；当a＜0 时，由f（1）＞0，求得a的范围．再把这两个a的范围取并集，即得所求． 解答： 解：关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，令f（x）= ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0， a1（1）由x1•x20，解得0＜a＜1，故当0＜a＜1时，该方程有一正一负两根． a(2a2)24a(a1)0a10（2）由a，解得a∈∅，∴不存在实数a使方程的两根都大于1． f(1)a2(a1)a10（3）由f（1）=a-2（a+1）+a-1＜0，且a＞0，求得 a＞0； 由f（1）=a-2（a+1）+a-1＞0，且a＜0，求得a无解． 综上，当 a＞0时，方程的一根大于1，一根小于1． 变式训练 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

3

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

（1）－设二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0所对应的函数为f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.

(1)要使方程的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则结合函数图象(如图)，

有 解得－(2)要使方程两根均在区间(0，1)内，则结合函数图象(如图)，

有

解得即－1、若函数f(x)mx2mx1的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）

(A)0m4 (B) 0m4 (C) m4 (D) 0m4 2、对于1a1，不等式x(a2)x1a0恒成立的x的取值范围是（ ） (A) 0x2 (B) x0或x2 (C) x1或x3 (D) 1x1 3、求函数f(x)x2ax1在区间[ 0 , 2 ]上的最值

解：对称轴为xa （1）a0时，f(x)minf(0)1 ， f(x)maxf(2)34a

2（2）0a1时，f(x)minf(a)a1 ，f(x)maxf(2)34a 2（3）1a2时，f(x)minf(a)a1 ，f(x)maxf(0)1

22（4）a2时 ，f(x)minf(2)34a ，f(x)maxf(0)1

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