无穷级数求和在实际问题中的应用

齐成辉

【期刊名称】《内江科技》 【年(卷),期】2018(039)011 【总页数】3页(P54-56) 【作 者】齐成辉

【作者单位】咸阳师范学院数学与信息科学学院 【正文语种】中 文

无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是表示函数、研究其性质以及进行数值计算的一种工具。作为一种研究数学的工具和思想，无穷级数的诞生推进了世界数学的发展，而级数求和则是研究级数的主要方向。所以如何将无穷级数求和应用到实际问题中就成了非常有意义的事情，本文试图通过具体问题的例举来说明无穷级数求和在实际问题中的应用，如在近似计算中的应用、在求极限中的应用、在积分计算中的应用、在经济中的应用等等。

无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个项之和的收敛性及其极限值的方法，是数学分析中的一个重要内容，它是表示函数、研究其性质以及进行数值计算的一种重要工具。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，所以当有些数列求和时就需要用无穷级数方法求和。而且用无穷级数求和方法可以产生新的未发现的函数，同时又可以对已知函数进行无穷级数表示、逼近，进而在数值近似计算中发挥重要作用。有了无穷级数求和理论后，让我们的视野进一步开阔，认识到更

广泛更重要的非初等函数类型，而且还得到了研究这些非初等函数的有效方法。 无穷级数求和的主要内容是幂级数求和与傅里叶级数求和。我们可以用无穷级数的和来准确地表示一个具有任意阶导数的函数，这就是所谓的幂级数，把函数写成幂级数的和，对研究函数的性质、图像、微分、积分、计算都有着非常重要的作用。一个不具备任意阶导数的性质较差函数（如分段函数），不能展开成幂级数的和，但可用傅立叶级数的方法把函数展开。幂级数求和在工程计算、股票分析、经济预测中是非常常用的方法，傅立叶级数求和则为研究物理学中的磁场、振动、力学带来了极大的方便性，因此无穷级数求和在数学与实际问题中都有着非常重要的意义。 1 研究意义与现状

无穷级数求和是高等数学中一个重要而有趣的研究课题，关于无穷级数求和的研究由来已久，不少学者针对无穷级数求和进行了深入且细致的研究。通过对学者们已有研究的归纳和总结，发现现有关于无穷级数求和的研究主要集中在关于无穷级数求和的方法研究上。例如武汉科技大学的孙珍，李寿贵，张爱丽等人发表在《数学杂志》中的《关于无穷级数求和的研究》一文，就利用阿拉伯法、柯西法和库麦尔法等判别收敛来研究了无穷级数求和的问题，得到了用其部分和近似级数和的误差界对。湘潭大学的于彬发表在《大学数学》中的《一类无穷级数的求和》，也是应用了微分方程的理论和线性代数中的克莱姆法则，范德蒙行列式，来得到一类无穷级数的求和公式。

除此之外学者们的研究更多是一些其他数学方法在无穷级数求和中的运用，例如南京理工大学的杨传富，赵培标发表在《高等数学研究》中的《积分恒等式及其在无穷级数求和中的应用》，文中借助L2[0,π]中标准正交基展开理论，得到积分恒等式，然后运用这个积分恒等式，通过定积分计算给出几个无穷级数求和公式的简单证明。

可以看出目前学者们的研究主要集中在无穷级数求和的方法上，缺少了对无穷级数

求和在实际问题应用中的探讨。但是在实际应用中很多需要求近似的地方也用到了无穷级数求和，比如国防工业弹道，火箭飞行轨迹与回收等领域。不仅在这些尖端领域，现实生活中的很多实际问题也能用到无穷级数求和来解决，实际上无穷级数求和的应用是非常广泛的，因此对无穷级数求和在实际问题中的应用的总结就显得非常有必要了。 2 无穷级数求和的应用

无穷级数在数学中的应用非常广泛，它的本质是一种特殊数列的极限。它是用来表示函数、研究函数性质、以及进行数值计算的一种重要工具，对微积分的进一步发展及其在各种实际问题上的应用有着非常重要的作用。下面结合实例介绍无穷级数求和在数学以及实际问题中的应用。 3 近似计算

利用无穷级数可以计算一些函数值的近似值，而且可以计算一些定积分的近似值，但要注意必须在展开式有效的区间上按精确度计算出来[1]。 3.1 函数值的近似计算

对于一个很难计算的数值如无理数可用无穷级数逐渐逼近得到较为准确的值[2]。 例1 求1n2的近似值，精确到。

3.2 定积分的近似计算

对于一些函数如，它们的原函数不能用已知的初等函数表示，计算它们的定积分很困难。通常解法是先将被积函数化成幂级数展式，再逐项积分，最后求出定积分的近似值[3]。

例2 计算积分的近似值，精确到。

4 在求极限中的应用

求极限的方法虽然很多，但有一些极限题目求解仍然很困难，例如极限式是连乘积或和式形式，极限含有项、 的指数项等。在学习了无穷级数后，我们可以用无穷级数理论来求某些数列和函数的极限，这些方法为求极限问题提供了一种新的解题思路[4]。

4.1 利用级数收敛的必要条件求极限

一个数列的极限不易求出，如能将看成某级数的通项，而对此级数收敛性的判定又较容易，则可由级数收敛的必要条件得出这个数列的极限为零[5]。这种思路曾用于证明函数等幂级数展式中余项是趋于零的。对那些含有项、的指数项或关于的连乘积的数列极限（特别是证明极限为零的题目），可采用这种方法。 例3 求极限。

4.2 利用函数的幂级数展式求极限

根据所求函数极限的结构，将其中一项或数项展为x的幂级数，然后代入所要求的极限式中求出极限。这一方法的优点是能将复杂函数表为幂函数，从而方便地求出函数的极限。 例4 求极限

4.3 利用级数的和式求极限

求与n有关的和式极限是较难解决的题目，但若这种和式能归结为一个已知和式的级数，则由于，极限问题便能解决。 例5 求极限。

5 在积分计算中的应用

当用直接法求被积函数的原函数过于困难或者被积函数过于复杂的时候，可利用函数的级数展开把原来复杂的被积函数表示成幂级数的形式，即无穷个简单函数的和，之后利用积分[6]的性质[7]把求无穷个简单函数和的积分转化成求无穷个简单函数积分的和，这是级数在积分计算中比较直接的应用，也是最重要的应用，一般常用的是函数的幂级数展开。 例6 求积分。

6 在经济中的应用

为了更好地适应商品经济发展的新形势，有必要对无穷级数在经济上的应用，作进一步探讨。下面结合实例介绍无穷级数在经济学中的应用。 6.1 银行存放款问题

设R表示最初存款，D表示存款总额（即最初存款“创造”货币总额），r表示法定准备金占存款的比例，且，当存款与放款一直进行下去时，则：

若记称为货币创造乘数[8]。若最初存款是既定的，法定准备金率r越低，银行存款和放款的总额越大，这是一个等比级数问题[9]。

例7 设最初存款为1000万元，法定准备金率为20%，求银行存款总额和贷款总额。

解：根据题意，存款总额由级数决定，其和为。贷款总额由级数决定，其和为。 6.2 投资费用

设初期投资为P，年利率为r，t年重复一次投资。这样第一次更新费用的现值为第二次更新费用的现值为以此类推，投资费用D为下列等比数列之和：

例8 建钢桥的费用为38000元，每隔10年需要油漆一次，每次费用为40000元，

桥的期望寿命为40年；建造一座木桥的费用为200000元，每隔2年需油漆一次，每次费用为20000元，其期望寿命为15年，若年利率为10%，问建造哪一种桥较为经济?

解：根据题意，桥费用包括两部分：建桥费用+油漆费用。

对建钢桥，建钢桥费用为，其中，则，油漆钢桥费用为，故建钢桥的总费用的现值为。类似地，建木桥的费用为，油漆木桥费用为，建木桥总费用的现值为。 由于，可知建木桥更为有利。 【参考文献】

【相关文献】

[1] 同济大学数学系.高等数学6版[M].北京:高等教育出版社,2007:179-180 [2] 刘玉琏.数学分析讲义下册[M].北京:高等教育出版社,2003:56-57 [3] 汪晓勤,韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京:科学出版社,2002:32-34 [4] 复旦大学数学系.数学分析下册3版[M].北京:高等教育出版社,2007.4:7-8 [5] 华东师范大学数学系.数学分析下册4版[M].北京:高等教育出版社,2010:62-63 [6] 张春平.无穷级数求和探讨[J].沈阳师范大学学报,2008,26(3):279-280 [7] 王艳萍.无穷级数和的几种求法[J].高等数学研究,2005,27(03):42-44

[8] 周海兵,张欣星.幂级数在高等数学中的应用[J].高等函授学报:自然科学版,2006,19(4):24-26 [9] 林伟初,国安学.高等数学(经管类)下册[M].上海:复旦大学出版社,2009:102-104