一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜1
参考答案：
A
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】函数f（x）=ax3
﹣x2
（a＞0）在（0，3）内不单调?函数f（x）=ax3
﹣x2
（a＞0）在（0，3）内存在极值?f′（x）=0在（0，3）内有解，即ax2﹣2x=0在（0，3）内有解．即可得出a的取值范围．
【解答】解：f′（x）=ax2﹣2x．（a＞0）．
∵函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内不单调， ∴函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内存在极值，
∴f′（x）=0在（0，3）内有解，即ax2﹣2x=0在（0，3）内有解． ∵x≠0，∴可化为ax﹣2=0，∴， ∵x∈（0，3），∴，即．
∴实数a的取值范围是a．
故选：A．
2. 一个正三棱柱恰好有一个内切球（即恰好与两底面和三个侧面都相切）和一外接球（即恰好经过三棱柱的6个顶点），此内切球与外接球的表面积之比为（ ） A．1∶
B．1∶3
C．1∶ D．1∶5
参考答案： D 略
3. 已知对数函数是增函数，则函数
的图象大致是（ ）
参考答案：
B 略
4. 算法的有穷性是指（ ）
A． 算法必须包含输出 B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C． 算法的步骤必须有限 D．以上说法均不正确 参考答案： C
5. 设集合，
，记，则集合中元
素的个数有 (A)3个 (B)4个 (C)l个 (D)2个 参考答案： C 略
6. 若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞） C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）
参考答案：
B
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案． 【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；
观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确； 令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确． 故选B．
【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．
7. 设函数
，则使得
成立的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
B 【分析】
由题意结合函数的解析式分别确定函数的奇偶性和函数在区间上的单调性，然后脱去f符号
求解不等式即可.
【详解】∵函数为偶函数，
且在时，，
导数为，
即有函数在[0，+∞）单调递增，
∴
等价为
，
即，
平方得
，
解得：，
所求的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．
8. 已知双曲线
的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程
为 （ ）
（A）
（B） （C） （D）
参考答案： C 略
9. 抛物线的准线方程为
，则的值是（ ）
A．8
B．
C．
D．
参考答案：
C
10. 已知双曲线C：
的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线
与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．(1,2) B．(1,2] C．(2,3] D．[2,3)
参考答案：
A
双曲线
右顶点为，左焦点为，
，过点作垂直于轴的直线与双曲线相
交于两点，则
∵若
为锐角三角形，只要
为锐角，即
∴，即
即
∴ 故选A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某单位200名职工的年龄分布情况如右图，现要用系统抽样法从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________；若用分层抽样方法，则50岁以上年龄段应抽取__________人．
参考答案：
37 ， 8.
12. 已知点A,B是双曲线上的两点，O为原点，若
,则点O到直线AB
的距离为 参考答案：
13. 已知数列
中，，则数列通项公式
=___________ 参考答案：
14. 曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为 .
参考答案：
2 略
15. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）参考答案：
略
16. 复数的值是 .
参考答案：
－1 略
17. 函数f（x）=
的零点个数是 ．
参考答案：
2
【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论． 【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=
（舍去），
当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，
作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，
故函数f（x）的零点个数为2， 故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为
.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，
，求l的斜
率.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】 （Ⅰ）将
，
代入，即可得到圆的极坐标方程；（Ⅱ）将直
线的参数方程转化为一般方程，由，结合圆的半径为1，利用勾股定理求出圆心到直线的
距离，根据点到直线距离距离公式列方程求解即可. 【详解】（Ⅰ）将，
代入，
得到圆
的极坐标方程：
.
（Ⅱ）将直线的参数方程转化为一般方程得到
，
∵
，
，∴圆心
到直线的距离
，
解得，即直线的斜率为.
【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将
和
换成
和即可.
19. （本小题满分12分）已知函数＝．（Ⅰ）求函数
的单调区间；（Ⅱ）
当
时，证明：曲线
与
=
仅有一个公共点；（Ⅲ）设
,
为曲线上的两点，且曲线
在点
,处的切线互相垂
直，求
的最小值．
参考答案：
（Ⅰ）函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
．………………3分
(Ⅱ)因为，所以
令，，所以
在
上是增函数，…………………………………………………………………5
分 所以
，所以
,……………………………………………6分 “=”当且仅当
时成立，即函数
与
=
仅有一个公共点．…………………7分
（Ⅲ）由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为，点处的切线斜率为，故当点处的切线与点
处的切线垂直时，有
.当
时，对函数
求导，得.因为
，所以，
，所以
，
.因
此
，当且仅当
，即
且时等号成立．所以，函数的图像在点、处
的切线互相垂直时，
的最小值为
.………………………………………………………………………………………………………12分 20. （B卷）若，
（1）求
展开式中
的系数；（2）求
展开式中各项系数之和。
参考答案：
21. （本小题满分12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人.（以下问题用数字作答） （1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的情形？ （2）这6人同时加入6项不同的活动，每项活动限1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？
（3）将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率．
参考答案：
（1）
故共有63种不同的去法
……4分
（2）
故共有504种不同的安排方法
……… 8分
（3）
故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为 …… 12分
22. （本小题满分12分）
设命题p ：方程有两个不等的负实根； 命题q ：方程无实
根。 若命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数m的取值范围。 参考答案：
解：若命题p为真，则方程
有两个不等的负实根
，从而
，解得
………………………………（4分）
若命题q为真，则方程
无实根，从而
，解得
…………………（6分）
命题p或q为真命题，命题p且q为假命题
中有且仅有一个是真命题 …………………（8分）
解得
或
…………………（11分）
实数m的取值范围是…………………（12分）
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