2002年考研数学(三)真题及详细解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数an2na1n1]________. ，则limln[nn(12a)2ln[1【分析】将所求极限转换为limn1]n(12a)，利用等价无穷小代换化简求解，或

1nln[111]1n(12a)n(12a) limn1112ann利用重要极限。

【详解】法一：limln[nn2na1n]limnn(12a)11n(12a)n2na1n1112a]limln[1]limlne12a法二：limln[

nnnn(12a)n(12a)12a⑵ 交换积分次序：

140dyyyf(x,y)dxdyf(x,y)dx________.

121412y【分析】写出对应的二重积分积分域D的不等式，画出D的草图后，便可写出先对y后对x的二次积分

【详解】对应的积分区域DD1D2，其中

1D1(x,y)0y,yxy

4111D2(x,y)y,yx

422画出D的草图如右图所示，则D也可表示为 D(x,y)0x12,xyx 212y120x故

140dyyyf(x,y)dxdyf(x,y)dxdx2f(x,y)dy

x1214

122T⑶ 设三阶矩阵A212，三维列向量(a,1,1)。已知A与线性相关，则

304

1

a______。

【分析】由A与线性相关知，存在常数k使得Ak，及对应坐标成比例，由此求出a

122aa【详解】由于A21212a3 30413a4由A与线性相关可得：

a2a33a4，从而a1。 a11⑷ 设随机变量X和Y的联合概率分布为 Y 概率 X 1 0.07 0.08 220 0.18 0.32 1 0.15 0.20 0 1 22

则X和Y的协方差Cov(X,Y)_______。

【分析】本题主要考查利用随机变量X和Y的联合概率分布求简单函数的概率分布、利用数学期望的定义求随机变量的数学期望、协方差的计算等。 【详解】法一：由题设可得

X10， Y0.40.6011， 0.150.50.3510 0.720.28X2102， Y0.40.621022， XY0.50.5222从而 E(X)0.6， E(Y)0.5，E(XY)0.28

故 COV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.280.30.02 法二：由题设可得

222222X10， Y0.40.6222011， 0.150.50.352222从而E(X)00.410.60.6，E(Y)(1)0.1500.510.350.5

E(X2Y2)(1)2020.07(1)2120.0802020.1802120.32

100.15110.200.28 故 COV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.280.30.02

2

2222222222 评注：D(X)的定义D(X)E(XEX)，通常按公式D(X)E(X)(E(X))计算；222COV(X,Y)的定义COV(X,Y)E[(XEX)(YEY)]，但通常按公式 COV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)计算 ⑸ 设总体X的概率密度为

e(x),x f(x;)

x0,而X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为_______

t 【分析】根据矩估计的定义计算即可. 【详解】由于E(X)txf(x;)dxxe(x)dlimxde(x)

t(x)dx1 limetn1ˆ即为的矩估计量,因此ˆX1根据矩估计量的定义,满足E(X)X的Xi1 ni1二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

⑴ 设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内可导，则 （A）当f(a)f(b)0时，存在(a,b)，使f()0 （B）对任何(a,b)，有lim[f(x)f()]0

x（Ｃ）当f(a)f(b)时，(a,b)，使f()0 （Ｄ）存在(a,b)，使f(b)f(a)f()(ba)

【分析】本题主要考查零点定理、微分中值定理的理解及函数连续的概念。 【详解】由于函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内可导，只能说明

f(x)在开区间(a,b)内连续且可导，不能保证函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而零点

定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足，从而不一定必有相应结论，所以（A）、（C）、（D）三选项都错； 由于可导必定连续，从而f(x)在开区间(a,b)内连续，所以对任何(a,b)，有

limf(x)f()，从而应选（Ｂ）

x 3

251an⑵ 设幂级数anx与bnx的收敛半径分别为与，则幂级数2xn的收敛半

33n1n1n1bnnn径为

（Ａ）5 （Ｂ）511 （Ｃ） （Ｄ） 335【分析】本题借用加强法来完成，即假设limnan1b与limn1都存在。 nbann【详解】假定所给幂级数的收敛半径可以按公式计算，则由题设知：

an1xn1bn1xn15111 lim， ()xlim()x

nnanxn3bnxn32an1n1x22222bn1ananbn52211bn1从而limxlimxlimlim()(3)x5x 2222n2nnnannanbn1anbn13x2bn所以应选（A）。

an评注：已知幂级数anx的收敛半径为R，未必有limR；当幂级数anxn的收nan1n1n1n敛半径为R，且limnaan存在时，才有limnR。 naan1n1⑶ 设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则线性方程组ABx0

（Ａ）当nm时仅有零解 （Ｂ） 当nm时必有非零解 （Ｃ）当mn时仅有零解 （D）当mn时必有非零解

【分析】根据齐次线性方程组有非零解的充要条件判定。

【详解】齐次线性方程组ABx0有非零解的充要条件是r(AB)m。而当mn时 r(AB)r(A)nm

所以当mn时线性方程组ABx0必有非零解。故应选（D)。

评注：涉及齐次线性方程组解的判定问题，均可转化为系数矩阵秩的分析。 ⑷ 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵(PAP)属于特征值的特征向量是

1T（A） P （B）P （C） P （D）(P)

1T1T【分析】本题主要考查特征值与特征向量的关系以及矩阵的基本性质。利用特征值的定义检验。

【详解】由已知A，于是

4

PTAPT， PTA(P1)TPTPT

又由ATA，可得(PAP)PP，可见矩阵(PAP)属于特征值的特征向量是P。

故应选（B)

⑸ 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则

（A）XY服从正态分布 （B）X2Y2服从分布

21TTT1TTX2（C）X和Y都服从分布 （D）2服从F分布

Y222【分析】主要考查正态分布的性质及分布、F分布的定义。利用服从标准正态分布的随机变量的性质及服从分布、F分布的随机变量的表达式对选项逐一检验，直到得到正确的选项。

【详解】由于X和Y不一定相互独立，故（A）、（B）、（D）不一定成立。由于随机变量。 X和Y都服从标准正态分布，所以X2和Y2都服从2分布。故应选（C）三、（本题满分5分）

22[ 求极限lim0x0xu20arctan(1t)dt]dux(1cosx)

【分析】考查未定式极限及变上限函数求导数。对分母使用等价无穷小代换，然后利用洛必达法则。

[【详解】法一：lim0x0xu20arctan(1t)dt]dux(1cosx)[lim0x0xu20arctan(1t)dt]du1xx22

 limx0x20arctan(1t)dt32x22xarctan(1x2)lim x03x6[法二：lim0x0xu20arctan(1t)dt]dux(1cosx)limx0x20arctan(1t)dt1cosxxsinx

2xarctan(1x2)2arctan(1x2)lim limx02sinxxcosxx0sinx2cosx6x四、（本题满分7分）

设函数uf(x,y,z)有连续偏导数，且zz(x,y)由方程xeyeze所确定，求du

5

xyz【分析】本题综合考查了多元函数微分法与隐函数微分法。 【详解】将已知条件给出的所有关系式求微分得

dufxdxfydyfzdz 

xyz(1x)edx(1y)edy(1z)edz(1x)exdx(1y)eydy从而 dufxdxfydyfz

(1z)ez(1x)ex(1y)ey)dx(fyfz)dy (fxfzzz(1z)e(1z)e评注：对多元函数求微分应充分利用微分形式的不变性，使计算简化。 五、（本题满分6分）

设f(sinx)2xx，求f(x)dx sinx1x【分析】先求出f(x)的表达式，再计算不等积分。

【详解】法一：令usinx，则sinx2u，xarcsinu，从而f(u)arcsinu u于是

xarcsinxf(x)dxdx2arcsinxd1x 1x1xx1x11dx

1xx 21xarcsin21xarcsinx2xC

法二;令xsint，则

2xsinttf(x)dxf(sin2t)2sintcostdt2sin2tdt

costsint1x 2tsintdt2tdcost2tcost2sintC、 21xarcsinx2xC

评注：被积函数中含有反三角函数或对数函数，一般应考虑使用分部积分法。 六、（本题满分7分）

设D1是由抛物线y2x和直线xa,x2及y0所围成的平面区域；D2是由抛物线y2x和直线y0,xa所围成的平面区域，其中0a2

22 6

（Ⅰ）试求D1绕x轴旋转而成旋转体的体积V1；D2绕y轴旋转而成旋转体的体积V2；

（Ⅱ）当a为何值时，V1V2取得最大值？试求此最大值。

【分析】这类求旋转体体积应用题正确做出草图，明确平面域D1,D2对于问题的分析求解非常重要，然后利用公式求出V1,V2；第二问利用导数便可解决。

【详解】 做出D1,D2草图 如右图所示 （Ⅰ）由旋转体体积公式可得

4(32a5)V1(2x)dx

a5222V22x(2x2)dxa4

0a4(32a5)a4，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：VV1V2（0a2） 5则V4a(1a)，从而V在(0,2)内有唯一驻点a1，且V(1)40。因此当a1时，V1V2取得最大值，此时最大值为七、（本题满分7分）

3129。 5x3x6（Ⅰ）验证函数y13!6!x3n(3n)!(x)满足微分方程

x yyye

x3n（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果求幂级数的和函数

n0(3n)!【分析】考查幂级数的运算、e的麦克劳林级数及求解二阶常系数非齐次微分方程。

xx3n【详解】（Ⅰ） 由于y(x)，所以

(3n)!n0x3n1x3n2y(x)， y(x)

(3n1)!(3n2)!n1n1x3n2x3n1x3nxnex 从而yyyn1(3n2)!n1(3n1)!n0(3n)!n0n! 7

2（Ⅱ）特征方程为10，特征根为1,213i。 2从而对应的齐次方程的通解为：Ye*x1x2(C1cos33xC2sinx) 22设yAe是原方程的通解，代入原方程得：A1x211x*，于是ye 33所以非齐次方程通解为ye(C1cos331xC2sinx)ex。 223 又因为和函数满足y(0)1,y(0)0，代入上式得C1x2131xex（x）和函数为ye2cos。

3232，C20。故所求幂级数的3八、（本题满分6分）

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)0。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[a,b]，使

baf(x)g(x)dxf()g(x)dx

ab【分析】本题主要考查闭区间上连续函数的介值定理、最大最小值定理及定积分的保号

性定理．本题只要证明

baf(x)g(x)dxb介于f(x)在[a,b]上的最大、最小值之间即可。

ag(x)dx【详解】由于f(x)在[a,b]上连续，所以在该区间上存在最大、最小值，不妨分别记为M,m．

从而对任意的x[a,b]，恒有mf(x)M． 又因为g(x)0，因此mg(x)f(x)g(x)Mg(x) 根据积分的保号性可得

bamg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx，所以有

aabb mbaf(x)g(x)dxbag(x)dxM

根据闭区间上连续函数的介值定理可得，存在一点[a,b]，使得

8

baf(x)g(x)dxbag(x)dxf()

从而命题成立． 九、（本题满分8分） 设齐次线性方程组

ax1bx2bx3bxaxbx123bx1bx2bx3bxn0bxn0axn0

其中a0,b0，n2。试讨论a,b为何值时，方程仅有零解、无穷多组解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。

【分析】设A是系数矩阵，则A是n阶方阵，从而r(A)n，即A0时方程组只有零解；当r(A)n，即A0时方程组有无穷多组解，利用初等行变换求出通解。 【详解】设A是方程组的系数矩阵，则

abAbbbabbbbbb10bb[a(n1)b]ba1ab0010001bbb101abb1bbb1b

ba [a(n1)b][a(n1)b](ab)n1

000ab⑴ 当ab且a(1n)b时，A0，方程组有唯一解——零解； ⑵ 当ab时，方程组有无穷多组解，此时对A进行初等行变换,有

10 A0从而原方程组的同解方程组为

10010 0xn0

x1x2x3其基础解系为

9

1(1,1,0,,0)T，2(1,0,1,,0)T，

，n1(1,0,0,,1)T

方程组的全部解为 xk11k22kn1n1（k1,k2,,kn1为任意常数）

⑶ 当a(1n)b时，方程组有无穷多组解，此时对A进行初等行变换,有

11n11nA1111x1xnxx2n 

xn1xn其基础解系为

110111n1011n0101000101 1100从而原方程组的同解方程组为

(1,1,1,方程组的全部解为

,1)T

xk（其中k为任意常数） 十、（本题满分8分）

设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2A0，已知A的秩r(A)2

（Ⅰ）求A的全部特征值；

（Ⅱ）当k为何值时，矩阵AkE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。 【分析】本题考查特征值与特征向量的性质及正定矩阵与特征值之间关系。（Ⅰ）A的特征值必须满足A,(0)，利用特设条件A2A0可求得的值，但所求的是否是全部特征值呢？是几重特征根？这须利用条件A的秩r(A)2来解决；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果写出AkE的全部特征值，当其全部特征值都大于零时，矩阵AkE为正定矩阵。

【详解】（Ⅰ）设是矩阵A的一个特征值，对应的特征向量为，则 A， A

2 于是(A2A)(2)，由条件A2A0可得，(2)0，解得

2222222

0，2

10

因为实对称矩阵必可对角化，且r(A)2，从而A200020 000从而矩阵A的全部特征值为：2,2,0；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知矩阵A的全部特征值为：2,2,0，从而矩阵AkE的全部特征值为k2,k2,k。

于是当k2时，矩阵AkE为正定矩阵。

十一、（本题满分8分）

假设随机变量U在区间[2,2]上服从均匀分布，随机变量 X1,若U11,若U1， Y1,若U11,若U1

试求：（Ⅰ） X和Y的联合分布；（Ⅱ）D(XY)

【分析】首先通过所给的X和Y的取值，判断出(X,Y)的几种可能取值，以及取这些可能值的条件，计算(X,Y)的各组值的概率，确定X和Y的联合分布；（Ⅱ）利用方差公式算出D(XY)或通过X和Y的联合分布，写出XY和(XY)的概率分布，从而利用公式算出D(XY)。

【详解】（Ⅰ）随机变量(X,Y)的可能取值为(1,1)、(1,1)、(1,1)、(1,1)，而

2PX1,Y1PU1,U1PU11211du 44PX1,Y1PU1,U1P0

11du 142211PX1,Y1PU1,U1PU1du

144于是X和Y的联合分布 Y 1 1 X 10 1 4111 24PX1,Y1PU1,U1P1U11 11

（Ⅱ）法一：由于D(XY)E(XY)[E(XY)]

22111[(1)1]0[1(1)][11]0 42411122222 E(XY)[1(1)][(1)1]0[1(1)][11]2

424而E(XY)[1(1)]所以D(XY)2

法二：由（I）可知XY和(XY)的概率分布为：

2XY214012221， (XY)4201241 2可见E(XY)0，E(XY)2，从而D(XY)2。 十二、（本题满分8分）

假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间E(X)为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。 【分析】X服从指数分布，而指数分布由参数确定，且EX定的值。根据题意YminX,2

【详解】设X服从参数为的指数分布，由于EX 因此X1，有已知条件可以确

15，可见参数。 511E()，其概率密度为 5x11e5,x0 f(x)5

0,x0 根据题意YminX,2，所以

F(y)PminX,2y

当y0时，F(y)PminX,2yPXy0； 当0y2时，F(y)PminX,2yPXy 当y2时，F(y)PminX,2y1；

12

y01xy11e5dx1e5； 50,y01y 于是Y的分布函数F(y)为：F(y)1e5,0y2。

1,y2 13